广东数学高考试题及答案

广东数学高考试题及答案

单项选择题（每题2分，共10题）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\capB=(\)\)A.\(\{1,2\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{3,4\}\)D.\(\{1,4\}\)2.函数\(y=\log_2(x-1)\)的定义域是（）A.\((0,+\infty)\)B.\((1,+\infty)\)C.\([1,+\infty)\)D.\((2,+\infty)\)3.若向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-1,x)\)，且\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)，则\(x=(\)\)A.\(\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.\(2\)D.\(-2\)4.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，则\(a_5=(\)\)A.\(9\)B.\(10\)C.\(11\)D.\(12\)5.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，则\(\cos\alpha=(\)\)A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)6.曲线\(y=x^3\)在点\((1,1)\)处的切线方程为（）A.\(y=3x-2\)B.\(y=2x-1\)C.\(y=4x-3\)D.\(y=5x-4\)7.不等式\(x^2-3x+2\lt0\)的解集是（）A.\((1,2)\)B.\((-\infty,1)\cup(2,+\infty)\)C.\([1,2]\)D.\((-\infty,1]\cup[2,+\infty)\)8.已知函数\(f(x)\)是奇函数，当\(x\gt0\)时，\(f(x)=x^2-2x\)，则\(f(-1)=(\)\)A.\(-1\)B.\(1\)C.\(3\)D.\(-3\)9.圆\((x-1)^2+(y+2)^2=4\)的圆心坐标和半径分别是（）A.\((1,-2)\)，\(2\)B.\((-1,2)\)，\(2\)C.\((1,-2)\)，\(4\)D.\((-1,2)\)，\(4\)10.已知\(a=2^{0.3}\)，\(b=0.3^2\)，\(c=\log_20.3\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系是（）A.\(a\gtb\gtc\)B.\(a\gtc\gtb\)C.\(b\gta\gtc\)D.\(b\gtc\gta\)多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，是偶函数的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\ln|x|\)D.\(y=2^x\)2.已知直线\(l_1:ax+y+1=0\)，\(l_2:x+ay+1=0\)，若\(l_1\parallell_2\)，则\(a\)的值可以是（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(2\)3.一个正方体的棱长为\(2\)，则下列说法正确的是（）A.正方体的表面积为\(24\)B.正方体的体积为\(8\)C.正方体的体对角线长为\(2\sqrt{3}\)D.正方体的面对角线长为\(2\sqrt{2}\)4.下列三角函数值为正的有（）A.\(\sin120^{\circ}\)B.\(\cos(-60^{\circ})\)C.\(\tan225^{\circ}\)D.\(\sin(-30^{\circ})\)5.已知函数\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega\gt0)\)的图象经过点\((0,\frac{1}{2})\)，且最小正周期为\(\pi\)，则\(\omega\)，\(\varphi\)的值可以是（）A.\(\omega=2\)，\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)B.\(\omega=2\)，\(\varphi=\frac{5\pi}{6}\)C.\(\omega=4\)，\(\varphi=\frac{\pi}{12}\)D.\(\omega=4\)，\(\varphi=\frac{11\pi}{12}\)6.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)满足\(c\ltb\lta\)，且\(ac\lt0\)，则下列不等式一定成立的是（）A.\(ab\gtac\)B.\(c(b-a)\gt0\)C.\(cb^2\ltab^2\)D.\(ac(a-c)\lt0\)7.椭圆\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的性质正确的有（）A.长轴长为\(6\)B.短轴长为\(4\)C.焦距为\(2\sqrt{5}\)D.离心率为\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)8.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,m)\)，\(\overrightarrow{b}=(n,1)\)，则下列说法正确的是（）A.若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(m\cdotn=1\)B.若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)，则\(m+n=0\)C.\(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{(n+1)^2+(m+1)^2}\)D.\(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{(n-1)^2+(m-1)^2}\)9.下列关于函数\(y=\tanx\)的说法正确的是（）A.定义域为\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)B.是奇函数C.最小正周期为\(\pi\)D.在区间\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)上单调递增10.已知\(a\)，\(b\)为正实数，且\(a+b=1\)，则下列说法正确的是（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant4\)C.\(a^2+b^2\geqslant\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\leqslant\sqrt{2}\)判断题（每题2分，共10题）1.空集是任何集合的真子集。（）2.函数\(y=x^3\)在\(R\)上是增函数。（）3.若\(a\gtb\)，则\(a^2\gtb^2\)。（）4.直线\(x=1\)的斜率不存在。（）5.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，则\(\alpha=\beta\)。（）6.圆\(x^2+y^2=1\)的圆心是原点，半径为\(1\)。（）7.等差数列的通项公式一定是关于\(n\)的一次函数。（）8.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，则\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\)。（）9.函数\(y=\cosx\)的图象关于\(y\)轴对称。（）10.双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的渐近线方程是\(y=\pm\frac{b}{a}x\)。（）简答题（每题5分，共4题）1.求函数\(y=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)的最小正周期和单调递增区间。-答案：最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。由\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant2x+\frac{\pi}{6}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)，解得\(k\pi-\frac{\pi}{3}\leqslantx\leqslantk\pi+\frac{\pi}{6},k\inZ\)，即单调递增区间为\([k\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{6}],k\inZ\)。2.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，求\(a_n\)和前\(n\)项和\(S_n\)。-答案：设公差为\(d\)，\(a_3=a_1+2d=1+2d=5\)，得\(d=2\)。\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2\)。3.已知直线\(l\)过点\((1,2)\)，且斜率为\(-1\)，求直线\(l\)的方程。-答案：由直线的点斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)（其中\((x_0,y_0)\)为直线上一点，\(k\)为斜率），可得\(y-2=-1\times(x-1)\)，整理得\(x+y-3=0\)。4.求函数\(f(x)=x^2-4x+3\)在区间\([0,3]\)上的最大值和最小值。-答案：\(f(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1\)，对称轴为\(x=2\)。在区间\([0,3]\)上，\(f(0)=3\)，\(f(2)=-1\)，\(f(3)=0\)，所以最大值为\(3\)，最小值为\(-1\)。讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=\frac{1}{x}\)与\(y=x^2\)在\((0,+\infty)\)上的单调性差异及应用场景。-答案：\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上单调递减，\(y=x^2\)在\((0,+\infty)\)上单调递增。在研究成本与产量关系（成本随产量增加而减少）时可能用\(y=\frac{1}{x}\)；研究面积与边长关系（面积随边长增大而增大）时可能用\(y=x^2\)。2.探讨在解析几何中，直线与圆的位置关系的判断方法及其实际意义。-答案：判断方法有几何法（比较圆心到直线距离\(d\)与半径\(r\)大小，\(d\gtr\)相离，\(d=r\)相切，\(d\ltr\)相交）和代数法（联立直线与圆方程，看判别式\(\Delta\)，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相离）。实际意义如规划道路与圆形区域的关系等。3.说一说如何利用三角函数的性质来解决实际生活中的周期性问题。-答案：先确定问题的周期性，再根据三角函数周期、最值等性质建模。比如潮汐现象，可通过收集数据确定周期，设三角函数模型\(y=A\sin(\omegax+\varphi)+k\)，利用已知条件求出参数，进而预测潮汐变化规律。4.讨论在数列中，如何根据已知条件选择合适的方法求通项公式。-答案：若已知\(a_1\)及\(a_{n+1}\)与\(a_n\)的差为常数，用等差数列通项公式；若已知\(a_1\)及\(a_{n+1}\)与\(a_n\)的比为常数，用等比数列通项公式。已知\(S_n\)与\(a_n\)关系时，利