5.1-5.2 分式的意义 分式的基本性质-浙教版七年级《数学》下册考点解惑

.1—5.2分式的意义分式的基本性质一、分式的意义1.分式的定义：分式是表示两个数相除的式子，其中分母不为零。分式由分子和分母组成，分子可以是任何整式，分母是一个不为零的整式。2.分式的表示方法：分式通常用一条横线（分数线）将分子和分母隔开，分子位于分数线的上方，分母位于分数线的下方。3.分式与整式的区别与联系：整式没有分母，而分式有分母；整式的运算规则与分式的运算规则有所不同。但分式可以看作是整式的特殊形式，整式也可以看作是分母为1的分式。二、分式的基本性质1.分式的等价变换：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。2.分式的化简：化简分式是指将分式简化为最简形式，即将分子和分母的公因式约掉。3.分式的符号性质：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。巩固课内例1:分式有无意义1．根据下列表格中的部分信息，分式可能是（

）…012……无意义**0*…A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了分式无意义的条件和分式值为0的条件，熟练掌握分式的性质是解题的关键．由表格可知，当时，分式无意义；当时，分式的值为0，结合选项即可判断．【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义；当时，分式的值为0，分式可能是．故选：B．2．当时，无意义；当时，这个分式的值为0．【答案】0【分析】本题主要考查了分式无意义的条件和分式值为0的条件，分式无意义的条件是分母为0，分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，且分母不为0，据此求解即可．【详解】解：∵分式无意义，∴，∴；∵分式的值为0，∴，且，∴；故答案为：；0．3．当取什么值时，分式无意义，有意义？【答案】时，分式无意义，时，分式有意义【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解；分式无意义分母等于0列方程求解．【详解】解：当，即时无意义，当，即时有意义．巩固课内例2:分式值为零1．若分式的值为0，则x的值为（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据平方根解方程，解题的关键是掌握分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零．据此列式解答即可．【详解】解：∵分式的值为，∴且，解得：，即的值为．故选：C．2．如果分式的值为0，那么x的值为．【答案】1【分析】分式的值为零：分子为零且分母不为零．本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．【详解】解：依题意得且，则且．解得．故答案为：1．3．阅读下列解题过程，并回答问题．实数满足什么条件时，分式的值为0？解：且，即时分式的值为0．仿照上述解法，解答问题：当实数满足什么条件时，分式的值为0？【答案】【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，掌握“分式的值为0时，分子为0，而分母不为0”是解本题的关键．根据分式的值为0时，分子为0，而分母不为0列不等式求解．【详解】解：由题意可得且，即时，分式的值为0．巩固课内例3:行程问题1．一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需小时，如果该车的速度每小时增加千米，那么从A城到B城需要（

）小时．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意求出全程，及后来行驶的速度，相除即可得到时间．【详解】解：一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需小时，故全程为60t千米，该车的速度每小时增加千米后的速度为每小时（60+v）千米，则从A城到B城需要小时，故选：B．【点睛】此题考查了分式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．2．小红家距学校，若小红步行上学的速度为，则小红步行的时间为；若小红计划用到学校，则小红步行的速度为．上述式子中，是分式的有．【答案】，【分析】本题考查了分式的定义，形如的形式，A，B都时整式，且中含有字母的式子叫做分式．根据时间路程速度和速度路程时间列式，然后根据分式的定义求解即可．【详解】∵小红家距学校，若小红步行上学的速度为，∴小红步行的时间为；若小红计划用到学校，∴小红步行的速度为；∴上述式子中，是分式的有，．故答案为：；；，．3．设轮船在静水中的速度为v,该船在流水(水流速度为u)中从A顺流到B,再从B逆流返回到A所用的时间为T;假设当河流为静水时,该船从A到B再返回A,所用时间为t,A、B两地之间的距离为s.(1)用代数式表示时间T.(2)用代数式表示时间t.(3)你能确定T与t之间的大小关系吗?说明理由.【答案】(1)T=+.(2)t=.(3)T＞t.【详解】(1)由航行时间=，顺水速度是v+μ，顺水时间为，逆水速度是v-μ，逆水时间为，总时间为T=+.(2)由航行时间=，路程为2s，速度为v，时间为t=.(3)T=+==，t==，分子相同，只要比较分母即可，分母越小，分式的值越大，v2-μ2＜v2，所以T＞t.巩固课内例4:化简(约分)1．化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查分式的化简，将分母化简后，分子分母同时约去公因式即可解答．【详解】解：．故选：C2．化简：（1）；（2）．【答案】/【分析】本题考查了分式的约分；（1）直接约分即可求解；（2）先把分子分母因式分解，再约分，即可求解．【详解】解：（1）故答案为：．（2），故答案为：．3．化简：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查分式的约分；（1）分子分母提取公因式后约分即可；（2）分子分母提取公因式后约分即可；（3）分子分母因式分解后约分即可；（4）分子分母因式分解后约分即可．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）．巩固课内例5:已知字母关系求分式值1．若，则的值为（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】此题考查了分式的求值，根据题意确定到是解题关键．根据题意得到，把代入，再约分即可．【详解】解：∵，∴，∴，故选：D．2．当时，分式的值是．【答案】/0.5【分析】本题考查了求分式的值，把代入计算即可．【详解】解：把代入，得．故答案为：．3．先化简，再求值：，其中.【答案】；【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的性质化简，然后将字母的值代入，即可求解．【详解】解：；当时，原式．巩固课内例6:计算(多项式除以多项式)1．下列各式中从左到右变形正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了分式的约分，利用分式的基本性质逐项判断即可．【详解】解：，则A不符合题意，无法约分，则B不符合题意，无法约分，则C不符合题意，，则D符合题意，故选：D．2．分式中分子、分母的公因式是．【答案】/【分析】本题考查了公因式，完全平方公式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．先把分式的分母分解因式，然后即可找出分子、分母的公因式．【详解】解：分子、分母的公因式是，故答案为：．3．甲、乙两位同学各给出一个算式：甲：；乙：．(1)______同学给出的算式是正确的；(2)对于不正确的算式，请你给出正确的计算过程，并直接写出结果为的条件．【答案】(1)甲(2)；结果为的条件为且【分析】本题考查分式的基本性质，分式的值为的条件，分式有意义的条件，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．（1）分别利用分式的基本性质化简，即可判定；（2）由（1）可得正确过程，利用当结果为时，分子为，且分式有意义，即可求解．【详解】（1）解：甲：，正确；乙：，故乙错误；故答案为：甲；（2）解：乙：，由当结果为时，分子为，且分式有意义，则且，则且．类型一、分式的定义1．在，，，，，中，分式的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．【详解】解：在所列代数式中，分式有，，，，共4个．故选：D．2．下列各式、、、不是分式的是【答案】【分析】根据分式的定义：形如，B中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可．【详解】解：、、、中：、、是分式，共3个，分母不含字母，不是分式，是整式；故答案为：．【点睛】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．3．下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？，，，，，，，，，，．【答案】整式：，，，，，，；分式：，，，【分析】本题考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．根据分式的定义、整式的定义逐一判断即可．【详解】解：整式有：，，，，，，；分式有：，，，．类型二、最简分式1．分式中，最简分式有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题主要考查了分式的化简，平方差公式，熟悉掌握等式的性质是解题的关键．直接利用分式的性质性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案．【详解】解：∵，∴不是最简分式；∵，∴是最简分式；∵，∴不是最简分式；∵，∴不是最简分式．∴最简分式有1个．故选：Ａ．2．已知三张卡片上面分别写有6，，，从中任选两张卡片，组成了三个不同的式子：，，．其中是最简分式的有个．【答案】1【分析】直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式分析得出答案．【详解】解：分母中不含字母，不是分式，，不是最简分式，其中是最简分式的有：，共1个．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，熟知相关定义是解题的关键．3．下列说法正确吗？请说明理由．(1)是最简分式；(2)能约分为；(3)与相等．【答案】(1)不是最简分式，理由见解析(2)不能约分为，理由见解析(3)与相等，理由见解析【分析】本题主要考查了分式的约分和最简分式的定义，熟知分式的约分方法和最简分式的定义是解题的关键．（1）分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式，因此只需要判断原分式能否约分即可得到结论；（2）原分式是最简分式，故不能约分据此可得结论；（3）把分式约分即可得到结论．【详解】（1）解：不是最简分式，理由如下：∵，∴不是最简分式；（2）解；不能约分为，理由如下：∵是最简分式，不能约分，∴不能约分为；（3）解：与相等，理由如下：∵，∴与相等．类型三、约分1．下面的约分，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了分式的化简．根据分式的基本性质作答．【详解】解：A、，故该选项不符合题意；B、，故该选项不符合题意；C、，故该选项不符合题意；D、，故该选项不符合题意；故选：B．2．，括号里应填；【答案】a【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质求解即可．【详解】∵，，，∴括号里应填a，故答案为：a．3．约分：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题主要考查了约分，正确将原式分解因式找出公因式是解题关键．（1）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案；（2）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案；（3）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案；（4）首先将分式的分子与分母分解因式，进而约分得出答案．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．类型一、分式求值1．已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键．将分式变形为，然后代入求值即可．【详解】解：∵，∴，故选：C．2．已知，则．【答案】3【分析】本题主要考查了分式的化简求值，利用字母代替数是解题的关键．由题意可知，代入分式计算化简即可解答．【详解】解：∵，∴，即，∴，故答案为：3．3．已知，求下列各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了分式求值，完全平方公式，实数的运算，熟知完全平方公式是解题的关键．（1）根据完全平方公式可得，据此可得答案；（2）根据（1）所求结合完全平方公式可得，据此可得答案．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴．类型二、计划问题1．某学校整修校门口的道路，但是在实际施工时，调整了施工进度，设原计划每天整修道路，根据等量关系列出方程，则符合这个方程的是（

）A．实际每天比原计划多修，结果延期天完成B．实际每天比原计划多修，结果提前天完成C．实际每天比累计划少修，结果延期天完成D．实际每天比原计划少修，结果提前天完成【答案】B【分析】本题考查了分式方程的应用，根据所列分式方程，找出选用的等量关系是解题的关键．由代表的含义找出代表的含义，再分析所列方程选用的等量关系，即可找出结论．【详解】解：设原计划每天整修道路，则表示：实际施工时，每天比原计划多修，方程，其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间，原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前20天完成．故选：B．2．某工厂计划生产产品，如果每天比原计划多生产，可提前2天完成．设原计划每天生产产品，则可列方程为．【答案】【分析】本题考查分式方程的应用，先根据题意得到现在计划每天生产产品，再根据提前2天完成列分式方程即可．【详解】解：设原计划每天生产产品，则现在计划每天生产产品，根据题意，得，故答案为：．3．为了改善城市环境，提升市容市貌，某区计划在街道两旁种植900棵景观树．由于社区志愿者的支援，实际每天种植的棵数是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务．原计划每天种树多少棵？【答案】原计划每天这种树棵【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原计划每天种树x棵，则实际每天种树棵，根据工作时间＝工作总量＋工作效率，结合实际比原计划提前2天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：设原计划每天种树棵，则实际每天种树棵，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，答：原计划每天这种树棵．类型三、分式的基本性质(最高次项化正)1．不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】略2．不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得．【答案】【分析】本题考查分式的性质，根据题中要求，利用分式的性质，给分子、分母同乘以即可求解．【详解】解：，故答案为：．3．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了分式的基本性质及分式的符号法则，解题的关键是正确运用分式的基本性质、分式的符号法则求解．（1）先将分式的分子分母按字母进行降幂排列，分子分母同时添上带负号的括号，再根据分式的基本性质，将分子分母都乘以即可得到答案；（2）先将分式的分子分母均按字母进行降幂排列，将分母添上带负号的括号，再根据分式的符号法则，将分母的负号提到分式本身的前边即可得到答案．【详解】（1）解：；（2）解：．类型四、分式的基本性质(各项系数化整)1．不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查的是分式的基本性质的应用，把分子分母扩大100倍即可.【详解】解：．故选：C2．不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得．【答案】【分析】根据题意可知，为了把各项系数化成整数，分子分母分别乘以10，可得到答案．【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分子分母同乘以10，即故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的概念与性质，分子分母共同乘以相同的数，分式值不变．3．不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了分式的基本性质，关键是熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变的知识点．（1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，再由分式的符号规律，将分母上的符号提到分式前面即可得到答案；（2）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，即可得到答案可得答案．【详解】（1）解：；（2）解：．类型一、分式变形求值1．下列运算中，错误的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，将选项依次进行判断，即可得到答案．正确运用分式的基本性质是解决本题的关键．【详解】解：A、把分式分子分母同时乘以，即可得到分式，即，A选项运算正确，B、把分式分子分母同时乘以，得，即，B选项运算错误，C、分式，C选项运算正确，D、分式分子分母同时乘以10得：，D选项运算正确，故选：B．2．已知，则的值为．【答案】【分析】本题考查分式的基本性质，掌握基本性质的运用是解答的关键．先将化为，再代入所求分式中求解即可．【详解】解：∵，∴，即，，∴，故答案为：．3．已知，求分式的值．【答案】【分析】本题考查分式的化简求值，根据可得，代入求解即可．【详解】解：∵，∴，∴原式．类型二、规律问题1．已知：，，，，……，若（a、b为正整数）符合前面式子的规律，则a+b的值是（

）．A．109 B．218 C．326 D．436【答案】A【分析】通过观察已知式子可得分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1，即可求解．【详解】解：由，，，，……，可知分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1，∴在中，b＝10，a＝102－1＝99，∴a＋b＝109，故选：A．【点睛】本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键．2．给定下面一列分式：，，，，…（其中），根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第n个分式．【答案】【分析】第个：，第个：，第个：，第个：，据此找出第个分式即可求解．【详解】解：由题意可知第个：，第个：，第个：，第个：，第个：；故答案为：．【点睛】本题主要考查了探究分式规律问题，找出规律是解题的关键．3．观察下列等式：；①；②；③…(1)请写出第四个等式：_____________；(2)观察上述等式的规律，猜想第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性．【答案】(1)(2)，详见解析【分析】此题考查数字的变化规律，根据数字的特点，得出分式运算的规律；利用规律解决问题是解题的关键．（1）根据规律，进行解答便可；（2）把得出的规律用字母n表示出来，并运用分式的运算法则进行验证．【详解】（1）解∶．故答案为∶；（2）解：第个等式是．左边右边，等式成立．类型三、新定义问题1．对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：.已知：T(0，1)=3，，若m满足不等式组，则整数m的值为（

）A．-2和-1 B．-1和0 C．0和1 D．1和2【答案】C【分析】①已知两对值代入T中计算求出a与b的值；②根据题中新定义解已知不等式组，再求不等式组的整数解；【详解】依题意得，即：b=3,即a=1所以整理得解得所以整数解是0，1故选：C【点睛】此题考查了分式的性质，求一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义法则是解本题的关键．2．定义一种新运算：对于任意的非零实数，，．若，则的值为．【答案】【分析】本题考查了求分式的值；根据新定义以及已知条件，可得，代入代数式，即可求解．【详解】解：∵，∴，即∴故答案为：．3．我们定义：方程的解为整数的方程为“青竹”方程，其中的整数解称为“湘一结”．（1）一元一次方程：（）为“青竹”方程，求整数a的值；（2）已知关于x，y的“青竹”方程：（，且a为整数），其中一个“湘一结”为1，请求出另一个“湘一结”；（3）已知关于y的“青竹”方程：，求整数x的值和其中的“湘一结”．【答案】（1）或；（2）；（3）或16或或；或【分析】（1）根据“青竹”方程的定义即可求解；（2）根据题意将x=1代入，根据a、y均为整数，先求出a的值，再代入求解y值即可；（3）根据完全平方数求解x的值，从而得到y的值．【详解】（1）∵（），∴，∵（）为“青竹”方程，a为整数，∴为整数，∴或∴或；（2）设x=1，则代入得，又∵a，y为整数∴，∵，∴a=0或1或-2或-3，当时，，当时，，当时，，当时，∴（3）∵是关于y的“青竹”方程，∴是一个完全平方数，设（m是整数），∴，∴，∵，∴或，或或或或，或或，由得，此时，由得，此时，由的，此时，由得，此时，由得，此时，由得，此时，由得，此时，由得，此时，∴或16或或；或．【点睛】本题考查根据新定义解方程，解题关键是掌握新定义的意义及分式和完全平方数．1．要使分式有意义，x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解．【详解】解：当，即时，分式有意义，故选：B．2．甲工程队在天内挖水渠，乙工程队在天内挖水渠，两队合挖水渠，需要的天数为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】此题还考查了分式的应用，解答此类问题的关键是要明确：工作量工作效率工作时间，工作效率工作量工作时间，工作时间工作量工作效率．首先根据工作效率工作量工作时间，分别用两队挖的水渠的长度除以用的时间，求出甲乙两队每天挖多少米；然后根据工作时间工作量工作效率，用两队合挖水渠的长度除以甲乙两队的工作效率之和，求出需要的天数为多少即可．【详解】解：（天两队合挖米水渠，需要的天数为天．故选：A．3．下列各式从左到右的变形中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，依次分析各个选项，即可求出答案．【详解】解：A、，变形正确，符合题意；B、，变形错误，不符合题意；C、，变形错误，不符合题意；D、的分子和分母不能约分，，变形错误，不符合题意；故选：A．4．若分式的值为0，则的值是．【答案】【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，解题的关键是熟悉分式的概念：形如其中B中含有字母且，这样的式子叫做分式．根据分式的值为0，则分母不为0，分子为0进行计算即可．【详解】解：∵，，解得，∴x的值为，故答案为：．5．如果代数式有意义，那么实数的取值范围是．【答案】【分析】本题考查分式有意义的条件，对于分式，要使其有意义，它的分母不等于零，解不等式即可得到答案．熟记分式有意义的条件是解决问题的关键．【详解】解：如果代数式有意义，则，，故答案为：．6．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“友好分式”．例如分式是友好分式．若为整数，且关于的分式是“友好分式”，则的值为．【答案】6或【分析】本题主要考查了分式的约分，因式分解，读懂题意是关键．根据题意对分母分解因式，从而可以求出相对应的a的值．【详解】解：由题意可得可以分解因式，且a为整数，∴，或，∴当时，，符合题意；当时，，可以约分，不符合题意；当时，，不可以约分，符合题意；当时，，不可以约分，符合题意；由以上可得：的值是6或．故答案为：6或．7．当时，求的值【答案】【分析】把直接代入计算即可．【详解】解：当时，．【点睛】本题考查了分式的求值，仔细计算是正确解题的关键．8．已知．(1)求的值．(2)求的值．【答案】(1)7(2)【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，熟知完全平方公式是解题的