高考数学文科二轮复习中档大题规范练3

3.立体几何1.(2017·江苏)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以AB∥EF.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.2.(2017·全国Ⅱ)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)证明：直线BC∥平面PAD；(2)若△PCD的面积为2eq\r(7)，求四棱锥P－ABCD的体积.(1)证明在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，故BC∥平面PAD.(2)解如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝eq\f(1,2)AD及BC∥AD，∠ABC＝90°，得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.设BC＝x，则CM＝x，CD＝eq\r(2)x，PM＝eq\r(3)x，PC＝PD＝2x.如图，取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，所以PN＝eq\f(\r(14),2)x.因为△PCD的面积为2eq\r(7)，所以eq\f(1,2)×eq\r(2)x×eq\f(\r(14),2)x＝2eq\r(7)，解得x＝－2(舍去)或x＝2.于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2eq\r(3).所以四棱锥P－ABCD的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(22＋4,2)×2eq\r(3)＝4eq\r(3).3.(2017·黑龙江七台河模拟)如图所示，菱形ABEF⊥直角梯形ABCD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∠ABE＝60°，AB＝2AD＝2CD＝2，H是EF的中点.(1)求证：平面AHC⊥平面BCE；(2)求此几何体的体积.(1)证明连接AE，在菱形ABEF中，因为∠ABE＝60°，所以△AEF是正三角形，又因为H是EF的中点，所以AH⊥EF，又EF∥AB，所以AH⊥AB，因为菱形ABEF⊥直角梯形ABCD，菱形ABEF∩直角梯形ABCD＝AB，所以AH⊥平面ABCD，所以AH⊥BC，在直角梯形ABCD中，∠BAD＝∠CDA＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2，所以AC＝BC＝eq\r(2)，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，又AH∩AC＝A，AH，AC⊂平面AHC，所以BC⊥平面AHC.又BC⊂平面BCE，所以平面AHC⊥平面BCE.(2)解连接DH，过点C作CG⊥AB，由面面平行的性质知，CG⊥平面ABEH，因为AH＝eq\r(3)，所以S直角梯形AHEB＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×(2＋1)＝eq\f(3\r(3),2)，V四棱锥C－ABEH＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)×1＝eq\f(\r(3),2).由(1)知，CD⊥平面AHD，FH⊥平面AHD，又S△AHD＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),2)，所以V三棱锥F－AHD＝eq\f(1,3)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6)，V三棱锥C－AHD＝eq\f(1,3)CD·S△AHD＝eq\f(1,3)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6)，所以此几何体的体积V＝VC－AHD＋VF－AHD＋VC－ABEH＝eq\f(\r(3),6)＋eq\f(\r(3),6)＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),6).4.(2017·吉林长春模拟)已知四棱锥P－ABCD中，底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝BC＝1，AB＝2，M为PC的中点.(1)在图中作出平面ADM与PB的交点N，并指出点N所在位置(不要求给出理由)；(2)求平面ADM将四棱锥P－ABCD分成上、下两部分的体积比.解(1)N为PB中点，截面如图所示.(2)因为MN是△PBC的中位线，BC＝1，所以MN＝eq\f(1,2)，AN＝eq\f(\r(5),2)，且AN⊥AD，所以梯形ADMN的面积为eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1))×eq\f(\r(5),2)＝eq\f(3\r(5),8)，P点到截面ADMN的距离为P到直线AN的距离d＝eq\f(2,\r(5))，所以四棱锥P－ADMN的体积V1＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(5),8)×eq\f(2,\r(5))＝eq\f(1,4)，而四棱锥P－ABCD的体积V＝eq\f(1,3)×2×1＝eq\f(2,3)，所以四棱锥被截的下部分的体积V2＝V－V1＝eq\f(2,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,12)，故上、下两部分体积比eq\f(V1,V2)＝eq\f(3,5).5.(2017·湖北华师一附中模拟)如图所示，边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE，且∠DAE＝30°.(1)求证：平面ABCD⊥平面ADE；(2)求几何体A－BDE的体积.(1)证明∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，又∵AD⊥CD，AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面ADE，∴CD⊥平面ADE，又CD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE.(2)解由(1)知，CD⊥平面ADE，AB∥CD，∴AB⊥平面ADE.在Rt△ADE中，AD＝2，∠DAE＝30°，∴DE＝1，AE＝eq\r(3)，∴V三棱锥A－BDE＝V三棱锥B－ADE＝eq\f(1,3)S△ADE·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×2＝eq\f(\r(3),3)，即几何体A－BDE的体积为eq\f(\r(3),3).6.(2017·河北唐山模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC⊥PB，PC与平面ABCD所成角的正切值为eq\f(\r(2),2)，△BCD为等边三角形，PA＝2eq\r(2)，AB＝AD，E为PC的中点.(1)求AB的值；(2)求点E到平面PBD的距离.解(1)连接AC，∵PA⊥底面ABCD，∴∠PCA即为直线PC与平面ABCD所成的角，∴tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝eq\f(\r(2),2)，PA＝2eq\r(2)，得AC＝4.∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又∵BC⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.∵△BCD为等边三角形，AB＝AD，∴∠ACB＝30°，又在Rt△ACB中，AC＝4，∴AB＝ACsin30°＝