第5讲-因数与倍数（知识梳理+易错专练）-2023-2024学年六年级小升初数学备战专项讲义

第5讲-因数与倍数（知识梳理+易错专练）2023-2024学年六年级小升初数学备战专项讲义1、因数和倍数。如果数a能被数b整除(b≠0),a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数.一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身.一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数.因数和倍数是相互依存的。2、2.3.5的倍数数的特征。2的倍数数的特征:个位上是0,2,4,6,8,5的倍数数的特征:个位上是0或53的倍数数的特征:各个位上的数字的和能被3整除能同时被2,5整除的数的特征:个位是0能同时被2,3,5整除的数的特征:个位是0,而且各个位上的数字的和能被3整除。3、偶数和奇数。一个自然数,不是奇数就是偶数偶数:能被2整除的数叫做偶数奇数:不能被2整除的数叫做偶数最小的偶数:0最小的奇数:1偶数+偶数=偶数奇数+奇数=偶数偶数-奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×奇数=奇数偶数×奇数=偶数4、质数与合数。质数:只有1和它本身两个因数合数:除了1和它本身还有别的因数1既不是质数也不是合数最小的质数:2最小的合数:5、最大公因数和最小公倍数。公因数,最大公因数:几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数;其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。公倍数,最小公倍数:几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。互质数:公因数只有1的两个数叫做互质数。互质数的几种特殊情况:两个数都是质数,这两个数一定互质。相邻的两个数互质。1和任何数都互质。6、求最大公因数和最小公倍数的方法。如果较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公因数;较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数互质,它们的最大公因数就是1;最小公倍数就是它们的积。一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．（2分）20以内的质数共有个．A．7 B．8 C．9 D．102．（2分）已知，那么和的最大公因数是A． B． C．6 D．13．（2分）在数215，402，1705，415，318，1040中，是5的倍数的有个。A．2 B．3 C．4 D．54．（2分）同时是2、3、5倍数的最大三位数是A．120 B．990 C．960 D．9305．（2分）用3和6这两张数字卡片组成的所有两位数，一定都是A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数6．（2分）哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，其中的一个命题是“每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇素数之和”。例如，，，，。下列式子中反映这个猜想的是A． B． C． D．7．（2分）如果，，那么与的最大公因数是A．6 B．15 C．30 D．608．（2分）小红有30张邮票，小明的邮票是小红的3倍，小张的邮票张数是小红的5倍。根据这些已知条件可知画线段图时需要把作为一倍的量先画。A．小红 B．小明 C．小张二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9．（2分）两个质数的和是36，差是22，这两个质数的积是。10．（2分），，与的最大公因数是，最小公倍数是。11．（2分）能同时被2、3、5整除的最小的三位数是，最大的两位数是，则与的差如果是合数请把它分解质因数，如果不是合数请写出与的差，。12．（2分）哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。比如：。13．（2分）（1）省略万位后面的尾数是720万；（2）千位上的数字是最小的合数；（3）十位是最小的质数；（4）个位是最小的偶数；（5）它是3的倍数。这个数最小是，最大是。14．（2分）一个两位数，如果个位上和十位上的数都是合数，且它们只有公因数1，则这个两位数最大是，这个两位数最小是．15．（2分）汪明在信息课上编制了一个计算小程序，输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数（如图）。如果用表示输入的数，那么输出的数是，输出的数是偶数。（填写：“不可能”、“可能”或“一定”16．（2分）小小辩论赛：公因数只有1的两个数互质。观察下面的数学现象：3与5互质，5与8互质，3与8也互质；4与7互质，7与9互质，4与9也互质。正方：根据上述现象，可得出这样一个结论：若与互质，与互质，则与一定互质。你（作为反方）是否同意正方观点？如果不同意，请举例进行辩论。反方：三．判断题（共4小题，满分8分，每小题2分）17．（2分）330同时是2、3、5的倍数。18．（2分）两个数的最大公因数一定是这两个数的公因数的倍数。19．（2分）两个奇数相加，和一定是偶数；两个奇数相乘，积也一定是偶数。20．（2分）一个三位数，个位上的数字是0，并且是3的倍数，这个数一定是2、3、5的公倍数．．四．计算题（共1小题，满分6分，每小题6分）21．（6分）求下面每组数的最大公因数。36和1013和2384和5625和75五．解答题（共9小题，满分54分，每小题6分）22．（6分）新图书馆开馆了，小红每隔3天去图书馆一次，小灵每隔4天去一次，请问小红和小灵某天在图书馆相遇后，请问经过几天她们有可能会在图书馆再次相遇？23．（6分）一些贝壳，4个4个地数，最后多1个；5个5个地数，最后多2个；6个6个数，最后多3个．这些贝壳至少有多少个？24．（6分）把63个玻璃球装在几个盒子里，每个盒子装得同样多，刚好装完．（1）有几种装法？（列出算式）（2）如果有67个球呢？25．（6分）数学辩论题．观察下面的数学现象：3与5互质，5与8互质，3与8也互质；4与7互质，7与9互质，4与9也互质正方：根据上述现象，可得出这样一个结论：若与互质，与互质，则与一定互质．你（作为反方）是否认同正方观点？如果不同意，请举例予以辩论．26．（6分）有三名围棋选手，年龄在10岁到20岁之间，这三名选手年龄的最小公倍数是336．这三名选手的年龄各是多少岁？27．（6分）有一张长方形硬纸片，长70厘米，宽50厘米．如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的小正方形的边长最大是几厘米？28．（6分）张明是个初中生，有一次，他参加数学竞赛所得的成绩、名次和他的年龄三者的积是2910．张明的成绩、名次和年龄分别是多少？29．（6分）某校六年级同学做课间操，每行12人或者16人都正好是整行，这个班最少有多少人？30．（6分）8是4的倍数，9是3的倍数，8与9是相邻的自然数，15是3的倍数，16是4的倍数，15与16是相邻的自然数，如果将8、9或15、16看作一组，求在中共有多少组相邻的自然数，一个是3的倍数，另一个是4的倍数．

参考答案一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．【分析】在大于1的自然数中，除了1和它本身外没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外还有别的因数的数为合数．据此用枚举法找出20以内的质数即可．【解答】解：根据质数与合数的定义可知，20以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，共8个．故选：．【点评】质数与合数是根据因数的多少进行定义的．2．【分析】由，可知和是倍数关系，是较小数，根据倍数关系的两个数的最大公约数是较小数，据此解答然后选择．【解答】解：已知，那么和的最大公因数是：；故选：．【点评】解答本题关键是理解：，可知和是倍数关系．3．【分析】5的倍数的特征：个位上的数字是0或者5的数，据此解答。【解答】解：在数215，402，1705，415，318，1040中，是5的倍数的有215，1705，415，1040，一共有4个。故选：。【点评】本题考查了5的倍数特征。4．【分析】根据能被2、5整除的数的特征，可以得出：该三位数的最高位（百位）9，个位是0；进而根据能被3整除的数的特征：即该数各个数位上数的和能被3整除，得出：十位上的数是9；继而得出结论．【解答】解：由分析知：个位数是0，百位数是9；因为，18能被3整除，故选：．【点评】解答此题的关键是先根据能同时被2、5整除的数的特征，判断出个位数，进而根据题意判断出百位是9，进而根据能被3整除的数的特征，推断出十位上的数，继而得出结论．5．【分析】合数是在大于1的整数中，除了能被1和本身整除外，还能被其他数除外）整除的数；质数是一个自然数，只有1和它本身两个因数；奇数是在整数中，不能被2整除的数；偶数是在整数中，能被2整除的数。【解答】解：36是偶数，也是合数；63是奇数，也是合数。则用3和6这两张数字卡片组成的所有两位数，一定都是合数。故选：。【点评】此题考查了奇数、偶数、质数和合数等，要求学生掌握。6．【分析】1不是质数也不是合数，7不是偶数，9不是偶数。【解答】解：哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，其中的一个命题是“每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇素数之和”。反映了这个猜想。故选：。【点评】本题考查的主要内容是奇数和偶数，质数和合数的应用问题。7．【分析】把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数。【解答】解：因为，，所以与的最大公因数是。故选：。【点评】熟练掌握用分解质因数的方法求两个数的最大公因数的方法是解题的关键。8．【分析】根据题意可知，小红的邮票张数小明的邮票张数，小红的邮票张数小张的邮票张数，所以画图时，用一条线段表示小红的邮票张数，用这条线段的3倍表示小明的邮票张数，用这条线段的5倍表示小张的邮票张数；据此解答。【解答】解：根据分析可知，画线段图时需要把小红作为一倍的量先画。故选：。【点评】本题考查了借助画图来解决问题，关键是找到表示一倍的量。二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9．【分析】，，两个质数的和是36，差是22，所以这两个质数是29、7，求这两个质数的积，用即可．【解答】解：，，所以这两个质数是29和7；答：这两个质数的积是203．故答案为：203．【点评】求出这两个质数是多少是解答此题的关键．10．【分析】把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。【解答】解：因为，，与的最大公因数是，最小公倍数是。故答案为：21；210。【点评】熟练掌握用分解质因数的方法求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法是解题的关键。11．【分析】能同时被2、3、5整除的最小的三位数是，首先考虑百位是1的情况，同时是2和5的倍数，则个位是0或5，要求最小，所以个位取0，此时百位是1，个位是0，再根据3的倍数的特征可知，十位可以为2，这个最小三位数就是120；能同时被2、3、5整除的最大的两位数是，首先考虑十位是9的情况，同样的，个位为0时能满足是2和5的倍数，这个最大两位数就是90，此时页满足是3的倍数，因此，，30是个合数，把30分解质因数，。【解答】解：答：与的差如果是合数请把它分解质因数：。故答案为：。【点评】本题考查2、3、5倍数的特征。12．【分析】根据质数的定义，除了1和本身外，没有其它因数的数叫质数；16以内的质数有：2、3、5、7、11、13，即可解答此题。【解答】解：故答案为：3；13（答案不唯一）。【点评】此题考查了质数的意义以及拓展应用，要熟练掌握。13．【分析】因为千位上的数字是最小的合数，即4，那么省略万位后面的尾数用的是“四舍法”，所以万级的数字是720；十位是最小的质数，即2；个位是最小的偶数，即0；只有百位上的数字没有确定，则当这个数最小时，百位上是0；当这个数最大时，百位上9；再根据3的倍数特征（各个数位上的数字相加的和是3的倍数）进行验证或调整，据此解答。【解答】解：万万百位上是0时，，15是3的倍数，所以7204020是3的倍数且最小；百位上是9时，，24是3的倍数，所以7204920是3的倍数且最大。答：这个数最小是7204020，最大是7204920。故答案为：7204020；7204920。【点评】本题考查偶数、质数与合数的意义、3的倍数特征以及整数近似数的求法。14．【分析】10以内的合数有：4、6、8、9，它们的最大公因数是1，说明个位和十位上的数是互质数，那么4与9、8与9是互质数，再按从大到小的顺序排列出来，据此解答．【解答】解：根据分析可知这个两位数可能是98或94或89或49，这个两位数最大是98，这个两位数最小是49．故答案为：98，49．【点评】本题主要考查质数和合数的意义，以及互质数的意义．15．【分析】根据奇数与偶数的初步认识即可解答。【解答】解：如果用表示输入的数，那么输出的数是，输出的数一定是偶数。故答案为：；一定。【点评】本题主要考查奇数与偶数的初步认识。16．【分析】若与互质，与互质，则与不一定互质，并举例说明即可。【解答】解：4与9互质，9与8互质，但4与8不互质。4与9互质，9与16互质，4与16不互质。故答案为：4与9互质，9与8互质，但4与8不互质。（答案不唯一）【点评】此题考查了互质数的知识，要求学生掌握。三．判断题（共4小题，满分8分，每小题2分）17．【分析】2、3、5的倍数的特征：这个数的末尾数字是0，而且各个数位上的数字之和是3的倍数。据此判断。【解答】解：330的末尾是0。，6是3的倍数。所以330同时是2、3、5的倍数。原题说法正确。故答案为：。【点评】本题考查的主要内容是2、3、5的倍数的应用问题。18．【分析】两个数最大公因数就是这两个数公有质因数的连乘积。【解答】解：因为两个数最大公因数就是这两个数公有质因数的连乘积；例如，，和的最大公因数是，6是它们公因数2和3的倍数；所以原题说法正确。故答案为：。【点评】本题主要考查最大公因数和最小公倍数的意义，注意两个数的最大公因数，一定是这两个数的最小公倍数的因数。19．【分析】根据偶数、奇数的性质：奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，偶数偶数偶数，奇数奇数奇数，奇数偶数偶数，偶数偶数偶数，据此解答。【解答】解：奇数奇数偶数，奇数奇数奇数，所以，两个奇数相加，和一定是偶数，两个奇数相乘，积一定是奇数，即本题说法错误。故答案为：。【点评】此题考查的目的是理解掌握偶数、奇数的性质及应用．20．【分析】根据2、3、5的倍数特征可知：个位上是0的数能同时被是2和5倍数，此题这个数是3的倍数已知，据此分析解答．【解答】解：个位上是0的数能同时被是2和5倍数，此题这个三位数是3的倍数已知，所以一个三位数，个位上的数字是0，并且是3的倍数，这个数一定是2、3、5的公倍数的说法是正确的；故答案为：正确．【点评】本题主要考查2、3、5的倍数特征，注意个位上是0的数能同时被是2和5倍数．四．计算题（共1小题，满分6分，每小题6分）21．【分析】先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数；两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数。【解答】解：所以36和10的最大公因数是2；13和23是互质数，所以13和23的最大公因数是1；所以84和56的最大公因数是；75是25的3倍，所以25和75的最大公因数是25。【点评】熟练掌握求两个数最大公因数的方法是解题的关键。五．解答题（共9小题，满分54分，每小题6分）22．【分析】由题意可知：求小红和小灵经过多少天她们有可能会在图书馆再次相遇，即求和的最小公倍数，因为5、4是互质数，它们的最小公倍数，即这这两个数的乘积．【解答】解：（天（天5和4互质，所以5和4的最小公倍数是它们的乘积：（天；答：经过20天她们有可能会在图书馆再次相遇．【点评】此题考查了当两个数互质时的最小公倍数的方法：两个数互质，这两个数的最小公倍数，即这两个数的连乘积．23．【分析】由4个4个地数，最后多1个；5个5个地数，最后多2个；6个6个数，最后多3个，可知：这些贝壳加上3个就是4、5、6的公倍数，要求至少就是这些贝壳的个数是4、5、6的最小公倍数减去3．【解答】解：所以4、5、6的最小公倍数是：，这些贝壳至少有；（个，答：这些贝壳至少有57个．【点评】由4个4个地数，最后多1个；5个5个地数，最后多2个；6个6个数，最后多3个，可知：这些贝壳加上3个就是4、5、6的公倍数，要求至少就是这些贝壳的个数是4、5、6的最小公倍数减去3．24．【分析】（1）根据题意，即把63个球平均分到若干个盒子里，那么两个数相乘积是63，因为题目有每个盒子的个数一样多，所以盒子至少是2个，所以63有多少个因数再减去1个盒子的装63个的装法，就是题目要求的装法，列式解答即可得到答案．（2）67是质数，所以，由此即可得出只有1种装法．【解答】解：（1），每个盒子里装一个，因为题目有每个盒子的个数一样多，所以盒子至少是2个，所以1盒装63的装法舍掉；，每个盒子里装3个或每个盒子里装21个，，每个盒子里装7个或每个盒子里装9个，装法有：（种，答：有5种不同的装法．（2）67是质数，所以只有1种装法：每个盒子里装一个．答：有1种装法．【点评】解答此题关键将63和67进行分解因数，有几个因数就有几种装法．25．【分析】若与互质，与互质，则与不一定互质，并举例说明即可．【解答】解：若与互质，与互质，则与不一定互质，例如：3与5互质，5与9互质，但3与9不互质，3和9的公因数有：1、3．【点评】此题主要考查了合数与质数的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：若与互质，与互质，则与不一定互质．26．【分析】这三名选手年龄的最小公倍数是336，所以他们的年龄都能被336整除，选手年龄在10到20岁之间，可以选取的数值只有10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20．其中能被336整除的数就是他们的年龄数，由此解决即可．【解答】解：这三名选手年龄的最小公倍数是336，所以他们的年龄都能把336整除，在10到20之间能把336整除的数有12，14，16；所以他们的年龄分别为12岁、14岁、16岁．答：这三名选手的年龄各是12岁、14岁、16岁．【点评】此题是利用最小公倍数的意义解决问题．27．【分析】根据题意可