江苏省南通市通州高级中学2024-2025学年高一下学期第二次阶段性测试数学试卷（含详解）

江苏省通州高级中学2024-2025学年高一下学期第二次阶段性测试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知，则（

）A． B．3 C． D．2．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A．若，，则B．若，，则C．若，，，，则D．若，，，则3．已知在边长为3的等边△ABC中，点E满足，则（

）A．2 B． C．1 D．4．已知三棱锥的体积为1，是边长为2的正三角形，且，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．15．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是，则它的侧面积为（

）A．6 B． C．24 D．446．如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（

）

A． B． C． D．7．在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（）A． B． C． D．8．已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则为锐角三角形C．若面积为，则，则D．若则10．已知都是复数，下列选项中正确的是（

）A．若，则或 B．若，则C．若，则是实数 D．若，则11．如图，在棱长为2的正方体中，M为的中点，F为侧面内一动点，且平面，过三点作正方体截面，则（

）A．动点F的轨迹长为B．三棱锥的外接球表面积为C．三棱锥的体积为D．若Q为上一点，则线段长度的取值范围为三、填空题12．若复数z满足，其中是虚数单位，则的虚部为．13．如图，在三棱柱中，E是棱上的一点，且，D是棱BC上一点.若平面ADE，则的值为.14．如图，四边形是圆台下底面圆的内接四边形，，C为底面圆周上一动点，，为圆台的母线，，圆台上底面的半径为1，则该圆台的表面积为，四棱锥的体积的最大值为．四、解答题15．已知向量，，.(1)求；(2)若，求实数的值；(3)若，求向量与的夹角.16．如图所示，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于两点，点．

(1)若点，求的值；(2)若，求．17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面⊥底面，、分别是、的中点．(1)求证：；(2)求证：平面；(3)若，求证：平面；18．在三棱锥中，，其余各棱的长均为6，点E在棱AC上，，过点E的平面与直线CD垂直，且与BC，CD分别交于点F，(1)求二面角的大小；(2)求线段FG的长度；(3)求点C到平面DEF的距离．19．已知，，分别为三个内角，，的对边，满足，.(1)求；(2)若为锐角三角形，且外接圆圆心为，（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）求和面积之差的最大值.

江苏省通州高级中学2024-2025学年高一下学期第二次阶段性测试数学试卷参考答案题号12345678910答案DDCCCADDACDACD题号11答案BCD1．D【详解】故选：D2．D【详解】若，，则有可能在面内，故A错误；若，，有可能在面内，故B错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C错误．若，，，则由直线与平面平行的性质知，故D正确．故选D.3．C【详解】如图，因，则.故选：C.4．C【详解】是边长为2的正三角形，其面积为：因为三棱锥的体积为1和底面积，得：解得：设直线与平面所成角为，所以故选：C5．C【详解】如图，过作平面，作，连接，根据题意得，，所以，所以此正四棱台的侧面是4个全等的高为2的等腰梯形，所以侧面积为.故选：.

6．A【详解】设的中点为E，连接，过点A作，垂足为F，因为均为等边三角形，故，故为二面角的平面角；

又平面，故平面，而平面，故，又，平面，故平面，则点A到平面的距离为，又为等边三角形，边长为2，故，故在中，，则，即，故二面角的大小为，故选：A7．D【详解】过作圆台的轴截面，如图所示为该圆台外接球球心，且圆的半径是圆半径的2倍，不妨设圆的半径，则圆的半径依题意，，，，故选：D.8．D【详解】取的中点，分别连接在正方形中，因为分别为的中点，，可得，所以，因为，所以，所以，即，又因为分别为的中点，所以，因为平面，平面，所以，所以，又因为且平面，所以平面，因为平面，所以，同理可证，又因为且平面，所以平面，即平面截正方体的截面为，由正方体的棱长为4，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，所以，所以截面的面积为.故选：D.9．ACD【详解】对于A，因为，由正弦定理得，所以，故A正确；对于B，，则，因为，所以，即角为锐角，但不一定为锐角三角形，故B不正确；对于C，若面积为，因为，则，所以，则，由于，则，故C正确；对于D，若，由正弦定理得，则，因为，则，所以，故，故D正确.故选：ACD.10．ACD【详解】若，则或，故A正确；若，，满足，但，故B错误；若，则是实数，故C正确；若，则，得或，所以，故D正确.故选：ACD.11．BCD【详解】对于A，如图，分别取的中点，连接，因为为的中点，易得，则得四边形是平行四边形，故，因平面，平面，故平面，又因，，则得四边形是平行四边形，故，又因为，故，因平面，平面，故平面，又，平面，故平面平面，又因平面，故平面，故点的轨迹为线段，又，所以动点F的轨迹长为，故A错误；对于B，由题意三棱锥的外接球即为正方体的外接球，因正方体的棱长为2，则其外接球的直径为，故三棱锥的外接球表面积为，故B正确；对于C，由A项分析，点的轨迹为线段，因平面，故平面，则点到平面的距离即为到平面的距离，过点作于，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，易得，又，所以，所以，所以，所以三棱锥的体积为，故C正确；对于D，如图，设平面与平面交于，点在上，因平面平面，平面平面，故，同理可证，即得是平行四边形，故点为的中点.在四棱锥中，显然侧棱最长，其长度为；设四棱锥的高为，因，故四边形是菱形，则的边上的高为面对角线长的一半，为，又，故，而，由，可得：，代值解得，综上，可知线段长度的取值范围为，故D正确.故选：BCD.12．【详解】由可得.故z的虚部为.故答案为：.13．【详解】连接相交于点，连接，因为平面，平面平面，平面，所以，所以，因为，所以，所以，即，可得.故答案为：.14．/【详解】如图，连接.因为，所以.在中，由余弦定理可得所以.由正弦定理可知外接圆的直径，所以圆台的下底面半径，上底面半径，圆台的侧面积，上底面面积，下底面面积，所以圆台的表面积.在四边形中，，在中，由余弦定理可知，即，所以，当且仅当时等号成立，所以的面积，即底面面积的最大值为，四棱锥的高，所以四棱锥的体积的最大值为.故答案为；15．(1)(2)(3)【详解】（1），，则；（2）因为，若，则，解得，所以实数的值为；（3）因为，若，则，解得，可得，，则，且，所以向量与的夹角.16．(1)(2)【详解】（1）因为是锐角，且在单位圆上，

所以，所以．（2）因为，所以，且，所以，可得，且，所以．17．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【详解】（1）因底面是矩形，则，又侧面底面，侧面底面，底面，则平面，因为平面，所以；（2）取PD中点为G，连接FG，GA，因是的中点，则.又是的中点，,则，从而四边形是平行四边形.则，又平面，平面，则平面；（3）因，又G为PD中点，则.由（1）可得平面，又平面，则.又平面，，则平面.由（2）可得，则平面.18．(1)；(2)；(3).【详解】（1）取的中点，连接，因为，所以，因此是二面角的平面角，又，故，由余弦定理得，又，所以，所以二面角的大小为，（2）依题意，直线平面，而平面，则，由，得，由为正三角形，得，则，又为正三角形，即，因此.（3）由（1）知，平面，而平面，则平面平面，在平面内过点作于，又平面平面，于是平面，，则点到平面距离，由（2）知的面积，，，显然，则，，在中，，，的面积，设点