河南省洛阳市2023-2024学年高二下学期数学期末试卷（含答案）

第第页河南省洛阳市2023-2024学年高二下学期数学期末试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列导数运算正确的是（）A．(sinπ6C．(22x+1)2．已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如表：x﹣2﹣1123y2536404856且经验回归方程为y=5.5x+a，则当x＝4时，A．62.5 B．61.7 C．61.5 D．59.73．已知sin(α+A．23 B．−23 C．54．已知﹣2，x，y，z，﹣4成等比数列，则xyz＝（）A．±162 B．−162 C．±165．已知函数g（x）为奇函数，其图象在点（a，g（a））处的切线方程为2x-y+1=0，记g（x）的导函数为g'（x），则g'（-a）=（）A．2 B．-2 C．12 D．6．已知向量b=(3,−1A．(−32,12) B．7．经过抛物线C：y2=8x的焦点F的直线交C于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若|AF|，|AP|，|BF|成等差数列，则|AB|=（）A．43 B．46 C．1638．甲、乙、丙三位棋手按如下规则进行比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，由第一局的胜者与丙进行第二局比赛，败者轮空，使用这种方式一直进行到其中一人连胜两局为止，此人成为整场比赛的优胜者．甲、乙、丙胜各局的概率均为12A．38 B．516 C．14二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．在(1A．各项系数的和是1024 B．各二项式系数的和是1024C．含x的项的系数是﹣210 D．第7项的系数是21010．下列命题中正确的是（）A．设随机变量X～N（0，1），若P（X＞1）＝p，则PB．一个袋子中有大小相同的3个红球、2个白球，从中一次随机摸出3个球，记摸出红球的个数为X，则EC．已知随机变量X～B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则pD．若随机变量X～B（10，0.9），则当X＝9时概率最大11．已知F1，F2为双曲线C:x23−y22=1的左、右焦点，过A．直线PF1与直线PF2的斜率之积为3B．|PQ|的最小值为4C．若|PQ|=23，则△PFD．点P到两条渐近线的距离之积为812．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点F满足A1A．三棱锥F﹣BDE的体积是定值B．当λ＝0时，AC1⊥平面BDFC．存在λ，使得AC与平面BDF所成的角为πD．当λ=23时，平面三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．直线l：x+3y＝0被圆C：（x﹣2）2+y2＝2截得的弦长为．14．校运会期间，需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作，现从甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录、跳高记录、跳远记录工作，则不同的安排方法共有种．（用数字作答）15．在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20，则S20＝．16．若函数f（x）＝ex（x+1）﹣ax+2有两个极值点，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3bsinC（1）求B；（2）若b＝3，求△ABC的周长l的取值范围．18．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝（an+1）2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：i=1n19．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等(0<（1）问a为何值时，MN的长最小？（2）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．20．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球到另外两个人的概率相同，n次传球后到乙手中的概率为Pn．（1）求P1，P2，P3；（2）求Pn．21．已知函数f（x）＝ln（x+2）﹣ax．（1）讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）证明：f（x）＜ex﹣ax﹣1622．已知定圆F1：（x+1）2+y2＝8，动圆P过点F2（1，0），且和圆F1相切．（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程；（2）设P是第一象限内轨迹E上的一点，PF1，PF2的延长线分别交轨迹E于点Q1，Q2．若r1，r2分别为△PF1Q2，△PF2Q1的内切圆的半径，求r1﹣r2的最大值．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A选项，sinπ6为常数，其导数值为0，故A错误；

B选项，(1x)'=(x-12)'=−122．【答案】D【解析】【解答】解：易知x=-2+(-1)+1+2+35=0.6，y=25+36+40+48+5653．【答案】C【解析】【解答】解：cos(故答案为：C.【分析】直接根据诱导公式cos(α-π24．【答案】B【解析】【解答】解：由等比数列的性质知y2=xz=-2×(-4)=8，得y=±22，

设公比为q，则q2=y-2>0，得y<0，故y=-22，故xyz=-16故答案为：B.【分析】根据等比数列的性质可得y2=xz=8，判断y<0即可得xyz的值.5．【答案】A【解析】【解答】解：g(x)为奇函数，则g'(x)为偶函数，故g'(x)=g'(-x)；则切线方程2x-y+1=0知切线斜率为2，即g'(a)=2，故g'(-a)=2.故答案为：A.【分析】由导函数的性质g(x)为奇函数，则g'(x)为偶函数，由切线的斜率与导数的关系知g'(a)=2，由g'(x)=g'(-x)得g'(a)=2.6．【答案】C【解析】【解答】解：由b→=(3,−1)，得|b⇀|=32+1=10，由|故答案为：C.【分析】由已知条件可得(a⇀+7．【答案】D【解析】【解答】解：由抛物线y2=8x知其焦点F(2，0)，准线为x=-2，由题意，此时AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为y=k(x-2)，与抛物线y2=8x联立得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得x1x2==4①

而|AF|，|AP|，|BF|成等差数列，则2AP=AF+BF，即AB=2AP即有3(x1+2)=(x2+2)，即x2=3x1+4②，由①②得3x21+4x1-4=0，得x1=23，x1=-2(舍)，x2=3x1+4=6，

AB=x1+x2+4=23+6+4=32【分析】联立直线与抛物线得x1x2==4，则|AF|，|AP|，|BF|成等差数列得3(x1+2)=(x2+2)，求解方程可得x1和x2，即可得到AB的长.8．【答案】B【解析】【解答】解：分两种情况讨论：①甲前两场胜，则P=12×12=14；

②甲第一场败，第二场乙丙打完后，第三场和第四场甲连续胜两场，则P=(1-12)12×12【分析】甲可能直接连续胜两场，也可能先败，后续再连续胜两场，分这两种情况进行求解即可.9．【答案】B,D【解析】【解答】解：令x=1，则(1x−x)10=0，故各项系数之和为0，A错误；二项式系数为210=104，故B正确；

n展开式的通式为Tr+1=C10r(x-1210．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对A，根据正态分布的对称性可知P(x>0)=P(x<0)=12，P(x<-1)=P(x>1)=p故PB选项，X的可能取值为3，2，1，对应的概率为P(X=3)=110，P(X=2)=35，P(X=1)=310，故E(x)=3×110+2×35+1×310=95，故B正确；

C选项，X～B（n，【分析】对A直接根据正态分布的对称性可得结果，对B，分别计算X=3，2，1时的概率即可算出E（x），对C、D，由二项分布的期望与方差的计算公式即可验证.11．【答案】B,C【解析】【解答】解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易知双曲线的左、右焦点为F1(-5，0)、F2(5，0)，

设直线PQ的方程为x=my+5，

与双曲线x23−y22=1联立得(2m2-3)y2+43my+4=0，得y1+y2=43m2m2-3，y1y2=42m2-3，

kPF1·kPF2=y1x1-5×y1x1+5=y21x21-5=23x21-2x故答案为：AB.【分析】直接设点表示PF1和PF2的斜率并算出乘积即可判断A，由双曲线焦点弦的性质知PQ垂直于x轴时取最小值；由定义可直接算出PF1Q的周长，而点P到两条渐近线的距离之积也可直接算出.12．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，如图所示：

则A(2，0，0)B(2，2，0)，C(0，2，0)，A1（2，0，2）B1(2，2，2)C1(0，2，2)D(0，0，2)E(2，0，1)F(2，2λ，2)A选项，BDE的面积确定，但点F到平面BDE的距离会发生变化，故体积不确定，故A错误；

B选项，当λ=0时，F与A1重合，AC1平面A1BD，故AC1平面BDF，故B正确；

C选项，设平面BDF的一个法向量为m⇀=(x,y,z)，则{DF⇀·m⇀=0DB⇀·m⇀=0即有{2x+2λy+2z=02x+2y=0，令x=1，则y=-1，z=λ-1，故m⇀=(1,-1,λ-1)，直线AC与平面BDF夹角的正弦值为sinθ=422·【分析】易知点F到平面BDE的距离不确定，得体积不确定，A错误；由正方体本身的性质可验证B选项；通过建空间坐标系，通过法向量可得AC与BDF夹角的正弦值，求出λ的值可验证C，同样通过向量求得球心到截面的距离，可得截面圆的半径，即可得面积.13．【答案】2【解析】【解答】解：易知圆心为(2，0)，半么r=2，圆心到直线的距离为d=|2+3×0|1+3故答案为：2.【分析】确定圆心和半径，求出圆心到直线的距离，即可求出弦长.14．【答案】60【解析】【解答】解：由题意知安排方法有5×4×3=60种.故答案为：60.【分析】根据分步原理，分别安排铅球、跳高、跳远记录，即可得结果.15．【答案】110【解析】【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差为d，则S4＝=4a1+4×32d=6即4a1+6d=6①；S8＝8a1+8×72d=20，

即8a1+28d=20②，由①②得d=12，a1=34，故S20=20a1+20×192故答案为：110.【分析】根据等差数列的前n项和公式得4a1+6d=6①和8a1+28d=20②，求出首项和公差即可求出S20.16．【答案】（﹣4e【解析】【解答】解：求导得f'(x)=ex(x+1)+ex-a=ex(x+2)-a，原函数有两个极值点，即导数f'(x)存在两个零点，即a=ex故答案为：(-1【分析】由函数存在两个极值点，转化为y=a与g(x)有两个交点的问题，利用导数研究g(x)的单调性与极值，即可解决问题.17．【答案】（1）解：因为3bsinC−c=c在三角形中，可得sinC＞0，可得3sinB﹣cosB＝1，即sin(B−在三角形中，可得B−π解得B＝π3（2）解：b＝8，B＝π3由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c)2﹣2ac﹣ac＝（c+a）2﹣8ac≥（c+a）2﹣3•（(a+c8)）2＝1可得a+c≤2b＝5，且a+c＞b＝3，所以该三角形的周长l＝a+b+c∈（6，3]．即△ABC的周长l的取值范围（6，9]．【解析】【分析】(1)根据正弦定理直接化为3sinBsinC−sinC=sinCcosB，再转化为sin(B−18．【答案】（1）解：当n＝1时，4a1＝4S1＝（a1+1）2，解得a1＝1，当n≥2时，4an＝4Sn﹣4Sn﹣1＝（an+1）2﹣（an﹣1+1）2，即为（an﹣1）2＝（an﹣1+1）2，由an＞0，化为an﹣an﹣1＝2，可得数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列n＝1+2（n﹣3）＝2n﹣1；（2）证明：由等差数列的求和公式，可得Sn=12n可得1S【解析】【分析】(1)先求出首项a1，再由前n项和作差求an=Sn-Sn-1得通项；

(2)简单放缩后裂项1n19．【答案】（1）解：在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，记CM＝BN＝a(0<a<因为平面ABCD⊥平面ABEF，BC⊥AB，根据面面垂直的性质定理知CB⊥平面ABEF，∴BC⊥BE，从而BC，BE两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示：设A（4，0，0），3，1），1，5），1，0），∵MN=MN=当a=62（2）解：由（1）可知，当M，MN最短，则M(则G(∴∠AGB是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角.∵∴cos〈∴平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是13【解析】【分析】(1)直接建系设CM=BN=a，分别求出M、N的坐标，表达MN的长度的函数关系式，即可求得最小值；

(2)GA与GB的夹角或补角其二面角，利用向量即可求出夹角的余弦值.20．【答案】（1）解：第1次由甲将球传出，每次传球时，到另何一个人的概率相同，即p1第2次传球后，若球在乙手中，则第一次传球后，球不在乙手中P2同理：第3次传球后球在手中的概率p3（2）解：根据题意，由(1)的结论Pn=p变形可得：pn又由p1=1则数列{pn−13}变形可得：pn故pn【解析】【分析】(1)由题意，直接求P1，第第2次传球后，若球在乙手中，则第一次传球后，球不在乙手中，求出P2，同理可得P3；

(2)由(1)的推导可知pn=−121．【答案】（1）解：由f(x)=ln(x+2)−ax，求导得f'(x)=当a⩾12时，当0<a<12时，可得x∈(1