第3章 整式的乘除（基础类型）-浙教版七年级《数学》下册考点解惑

思维导图第3章整式的乘除思维导图【类型覆盖】类型一、同底数幂的乘法运算【解惑】下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，合并同类项，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．【详解】解：A、，故该选项不符合题意；B、，故该选项符合题意；C、，故该选项不符合题意；D、，故该选项不符合题意；故选：B【融会贯通】1．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、有理数乘方的逆运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．根据已知等式可得，则，由此即可得．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故选：A．2．．【答案】【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则进行解题即可．【详解】解：原式．故答案为：．3．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则，是解题的关键．（1）根据同底数幂的乘法运算进行计算；（2）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：．类型二、幂的乘方运算【解惑】计算：（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，掌握运算法则是解题的关键．直接根据积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可．【详解】解：，故选：C．【融会贯通】1．下列运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及整式的加减运算，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及整式的加减运算是解题的关键．根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及整式的加减运算可直接进行排除选项．【详解】解：A、，错误，故不符合题意；B、，正确，故符合题意；C、，错误，故不符合题意；D、，错误，故不符合题意；故选：B．2．已知：，则．【答案】64【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂相乘等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．根据幂的乘方可得，然后根据同底数幂的运算法则计算即可．【详解】解：．故答案为：64．3．计算；(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)0(2)(3)(4)【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．（1）根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可；（2）根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则化简计算即可；（3）根据积的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可；（4）根据积的乘方运算法则化简后，再合并同类项即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．类型三、积的乘方运算【解惑】已知圆的半径为，则其面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查积的乘方，正确运用运算法则运算是关键．根据圆的面积公式与积的乘方法则进行解题即可．【详解】解：圆的面积，故选：B【融会贯通】1．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方的运算法则计算出各选项再进行判断即可【详解】解：A、，故该选项正确，符合题意；

B、与不是同类项，不能计算，原式计算错误，故该选项不正确，不符合题意；C、，故该选项不正确，不符合题意；

D、，故该选项不正确，不符合题意；故选：A．2．若成立，则，【答案】2【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方法则是解题关键．先计算等式左边的幂的乘方与积的乘方，再与等式的右边进行比较即可得．【详解】解：∵，∴，，∴，将代入，得，∴．故答案为：2，．3．用简便方法计算．(1)；(2)．【答案】(1)8(2)【分析】本题考查积的乘方的逆用，掌握掌握积的乘方运算法则是解题关键．（1）根据积的乘方运算法则进行简便计算；（2）根据积的乘方运算法则进行简便计算．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．类型四、同底数幂的除法运算【解惑】计算的结果是，则“？”是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本题考查同底数幂的除法，解题关键是熟知同底数幂的除法的计算法则．根据同底数幂的除法法则计算即可；【详解】解：，故“？”是2，故选：C．【融会贯通】1．下列运算正确的是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂除法、平方差公式、完全平方公式等知识点，掌握同底数幂的相关运算法则成为解题的关键．根据幂的乘方、同底数幂除法、平方差公式、完全平方公式逐项分析判断即可．【详解】解：A、，故A正确，符合题意；B、，故B不正确，不符合题意；C、，故C不正确，不符合题意；D、，故D不正确，不符合题意．故选：A．2．若，则的值为．【答案】81【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据已知等式可得，再根据幂的乘方、同底数幂的除法法则计算即可得．【详解】解：由得：，则，故答案为：81．3．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】本题考查了幂的运算，涉及同底数幂的除法，零指数幂，负整数指数幂，幂的乘方运算，掌握运算法则是解题的关键．（1）先计算积的乘方，再计算同底数幂的除法；（2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法；（3）先就散同底数幂的乘法，再计算除法；（4）分别计算同底数幂的除法，零指数幂和负整数指数幂，再进行加减计算．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．类型五、零、负指数幂【解惑】已知，则a，b，c，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查了幂的运算，有理数大小比较，根据负整数指数幂、乘方、零指数幂的法则计算即可．【详解】解：∵，∴，故选：C．【融会贯通】1．下面计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，熟记，是解题的关键；根据公式分别计算即可．【详解】解：、∵，∴本选项计算正确；、∵，∴本选项计算错误；、∵，∴本选项计算错误；、∵，∴本选项计算错误；故选：A．2．计算：．【答案】【分析】本题考查负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用负整数指数幂，零指数幂计算即可．【详解】解：原式，故答案为：．3．计算：．【答案】1【分析】先根据负整数指数幂、有理数的乘方、零指数幂的运算法则计算，再算乘法，最后算加减即可．【详解】解：．【点睛】本题考查了负整数指数幂、有理数的乘方、零指数幂，有理数的乘法，有理数的加减，熟练掌握各运算法则是解题的关键．类型六、科学记数法【解惑】已知光在真空中的速度大约为3×108m/s，太阳光照射到地球上大约需要5×102s，则地球与太阳的距离大约是（

）A．0.6×106m B．6×105m C．15×1010m D．1.5×1011m【答案】D【分析】根据路程等于速度乘以时间，然后根据科学记数法表示即可求解．【详解】解：依题意地球与太阳的距离大约是，故选：D．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，科学记数法，掌握幂的运算是解题的关键．【融会贯通】1．全球可被人类利用的淡水总量约占地球上总水量的，因此珍惜水，保护水是每个公民的责任．其中数字用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：将用用科学记数法表示为：，故选：A．2．臭氧是一种可以吸收紫外线的气体，每干洁空气中约含臭氧，则干洁空气中约含臭氧（用科学记数法表示）．【答案】【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．先列出运算式子，再根据科学记数法的定义即可得．【详解】解：，故答案为：．3．细菌是非常小的微生物，其中杆菌可以算较大的个体，但让70个杆菌“头尾相连”排成一列，刚抵上一根直径为的头发丝的宽度，这种杆菌每个大约有多长？【答案】【分析】此题考查了科学记数法表示绝对值小于1的数，用直径除以总个数，再用科学记数法表示即可得到答案．【详解】解：．故这种杆菌每个大约有长．类型七、单项式乘单项式【解惑】下列计算不正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，单项式与单项式的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．利用运算法则依次计算判断即可．【详解】解：A中，，选项错误，符合题意；B中，，选项正确，故不符合题意；C中，，选项正确，故不符合题意；D中，，选项正确，故不符合题意；故选：A．【融会贯通】1．若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题主要考查了单项式乘以单项式，直接利用积的乘方运算法则进而得出的值．【详解】解：∵，∴，则，∴，，解得，故选：C2．若一个三角形的底边长为，这条底边上的高为，则它的面积为．【答案】【分析】本题考查了单项式乘单项式，根据三角形的面积底乘高进行列式计算，即可作答．【详解】解：∵一个三角形的底边长为，这条底边上的高为，∴，则它的面积为，故答案为：．3．已知一个长方体包装箱的长为，宽为，高为．(1)求这个长方体包装箱的体积；(2)如果给这个长方体包装箱的外表面都喷上油漆，那么需喷油漆的面积为多少平方米？【答案】(1)；(2)．【分析】本题考查单项式的乘法的应用、列代数式，涉及单项式乘单项式、单项式乘多项式，理解题意，掌握单项式乘法运算法则是解答的关键．（1）先利用长方体的体积公式列代数式，再利用单项式乘单项式的运算法则求解即可；（2）先利用长方体的表面积公式列出代数式，再利用单项式乘多项式的运算法则求解即可．【详解】（1）解：因为，所以这个长方体包装箱的体积为；（2）解：因为包装箱的表面积为，所以需喷的油漆．类型八、单项式乘多项式【解惑】下列运算中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查整式的加减运算，以及整式的乘法运算，解题的关键在于正确掌握整式的加减运算法则．根据整式的加减运算法则计算各项并判断，即可解题．【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，选项计算错误，不符合题意；B、，选项计算正确，符合题意；C、，选项计算错误，不符合题意；D、与不是同类项，不能合并，选项计算错误，不符合题意；故选：B．【融会贯通】1．某同学在计算乘一个多项式时错误地计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是单项式乘多项式、整式的加减混合运算．首先根据整式的减法法则求出原来的多项式，再根据单项式与多项式相乘的运算法则计算，得到答案．【详解】解：，．故选：C．2．某同学在计算乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是，由此可以推断正确的计算结果是．【答案】【分析】本题考查的是单项式乘多项式、整式的加减混合运算，单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．根据整式的减法法则求出多项式，根据单项式与多项式相乘的运算法则计算，得到答案．【详解】解：，，故答案为：．3．化简求值：，其中，．【答案】，110【分析】本题主要考查单项式乘以多项式以及代数求值，首先计算单项式乘以多项式，合并同类项化简原式，再将x，y代入求值即可．【详解】解：．当，时，原式．类型九、多项式乘多项式【解惑】如果，那么m、n的值分别是（

）A．，12 B．11，12 C．， D．11，【答案】A【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．将原式按整式乘法运算展开，与的每一项一一对应即可求解．【详解】解：∵∴，故选：A．【融会贯通】1．若，则M与N的大小关系是（

）A． B． C． D．由x的取值而定【答案】A【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，以及整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据多项式与多项式的乘法法则化简，再用作差法比较即可．【详解】解：，，∵，，∴．故选：A．2．小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为．【答案】5【分析】本题考查多项式乘以多项式，设，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于列方程求解即可．【详解】解：设，则原式，∵结果中的一次项系数为，∴，解得，故答案为：5．3．例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．解：设另一个因式为，由题意，得，整理，得，解得，，另一个因式为，的值为．仿照以上方法，解答下面问题．已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．【答案】另一个因式是，的值是．【分析】本题考查了整式的乘法、解二元一次方程组，解决本题的关键是读懂材料中所给的解题思路，按照思路进行解答即可．设另一个因式为，则有，利用多项式乘以多项式的法则把等号左边的展开，可得：，从而得到二元一次方程组，解方程组求出和的值即可．【详解】解：设另一个因式为，根据题意可得：，整理可得：，，解得：，另一个因式是，的值是．类型十、整式的化简求值【解惑】已知，求：(1)的值；(2)的值．【答案】(1)6(2)8【分析】本题主要考查考查完全平方公式，正确进行完全平方公式的变形是解答本题的关键．（1）把变形为，再整体代入计算即可；（2）把变形为，再整体代入计算即可．【详解】（1），；（2），．【融会贯通】1．已知，，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查完全平方公式及其变形，熟练掌握该公式是解题的关键．（1）利用完全平方公式进行作答，即可求解．（2）由（1）得：，然后利用完全平方公式再求得，即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴①，②，①②得：，则；（2）解：由（1）得①②得：，则，那么．2．先化简，再求值：(1)，其中；(2)，其中．【答案】(1)，(2)，【分析】此题主要考查了整式的混合运算-化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．（1）直接利用完全平方公式和平方差公式以及单项式乘多项式计算，进而合并同类项，把代入得出答案．（2）直接利用完全平方公式和平方差公式计算，进而合并同类项，把代入得出答案．【详解】（1）解：原式．当，即时，原式．（2）解：原式．当时，原式．3．阅读：若满足，求的值．解：设，，则_____，_____，所以_____．请仿照上例解决下面的问题：(1)补全题目中横线处；(2)若满足，求的值．【答案】(1)30，20，340(2)【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题关键．（1）将，代入式子进行计算；（2）设，，则，，然后利用完全平方公式变形求值即可．【详解】（1）解：设，，则，，所以．故答案为：30，20，340；（2）解：设，，则，，，，，即．【一览众山小】1．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查同类项、同底数幂的乘法、立方根和完全平方公式，根据同类项、同底数幂的乘法、立方根和完全平方公式的计算法则进行计算判断即可．【详解】解：A.，原运算错误；B.，原运算错误；C.，原运算错误；D.，运算正确．故选：D．2．通常晶体具有固定的熔点，当晶体达到纳米尺寸时却截然不同．例如：金的熔点为，而直径为的金粉熔点降低到，此特性可应用于粉末冶金工业．已知，则用科学记数法可表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．【详解】解：用科学记数法可表示为．故选：D．3．将变形正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了运用平方差公式进行计算，熟练掌握平方差公式是解题关键．根据因式分解的定义对式子进行分解，再根据平方差公式变形即可．【详解】解：故选：A．4．是一个平方差的形式，则“”里可以填()【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了平方差公式运算，由平方差公式，即可求解；掌握平方差公式是解题的关键．【详解】解：是一个平方差的形式，，”里可以填，故答案为：（答案不唯一）．5．已知甲型流感病毒直径约为米，把用科学记数法表示为．【答案】【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10