期中考前满分冲刺压轴题-浙教版七年级《数学》下册考点解惑

期中考前满分冲刺之优质压轴题【专题过关】类型一、阴影部分面积1．已知图①是边长为a、b（）的小长方形纸片，图②是大长方形，且边，将5张如图①的小长方形纸片不重叠地放在大长方形ABCD内，如图③所示，未被覆盖两个长方形用阴影表示．设左上角的阴影面积为S，右下角的阴影面积为M，，若BC的长度变化时，T始终保持不变，则a，b应满足（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】设，左上角阴影部分的长为AE，宽为，长，分别表示出，即可求解．【详解】解：如图，设，左上角阴影部分的长为AE，宽为，长，

则．同理可得，，∴，由于T保持不变，所以取值与x无关，所以．故选：C【点睛】本题考查整式的乘法在图形面积中的应用．准确的计算是解题关键．2．如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（

）A．12 B．18 C．24 D．30【答案】C【分析】本题主要考查正方形的面积，三角形的面积与平方差公式的运用，理解图形中阴影部分面积的计算方法，掌握平方差公式的运用是解题的关键．根据题意，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，可得，从图示可知阴影部分的面积，由此即可求解．【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，∴，，∵大正方形与小正方形的面积之差是48，∴，根据图示可得，，∴，，∴阴影部分的面积，故选：C．3．在长方形内，将两张边长分别为和的正方形纸片按图，两种方式放置（图，中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，，图中阴影部分的面积表示为，图中阴影部分的面积表示为，的值与四个字母中哪个字母的取值无关（

）A．与的取值无关 B．与的取值无关 C．与的取值无关 D．与的取值无关【答案】A【分析】本题主要考查了整式的加减和乘法，利用长方形的面积公式分别求得，的值，通过计算的结果即可得出结论，熟练掌握整式的乘法和加减运算及法则是解题的关键．【详解】∵，，，，∴，∴的值与无关.故选：．4．如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．连接，若阴影部分的面积为9，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为．【答案】18【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，则、，可得，再由阴影部分的面积为9，可得，然后整理即可解答．【详解】解：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，则、，∴，∵阴影部分的面积为9，∴，即，∴，即大正方形的面积与小正方形的面积之差为18．故答案为18．5．将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图①和图②所示的两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为．当时，．【答案】5【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，整体思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差得出，根据即可得出结果．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴．故答案为：5．6．在长方形内，将两张边长分别为8和5的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为．

【答案】10【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形的面积，正确列出算式是解答本题的关键．利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差．【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，∵，，∴．故答案为：10．类型二、二元一次方程组的整体换元1．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解答此题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法与技巧．观察方程组与不难得出：，然后解此方程组即可得出答案．【详解】解：关于，的二元一次方程组的解是，关于m，n的二元一次方程组中，得：，，将代入②得：，方程组的解是．故选：A．2．已知方程组的解为，则方程组的解为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查二元一次方程组解的定义；运用整体的思想是解题的关键．运用整体的思想，得，解得．【详解】解：由题意，方程组的解为，∴方程组的解满足：，解得，故选：A3．已知关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可得，进而即可求解．【详解】解：依题意，即∵关于x，y的方程组的解是，∴解得：故选：D．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，理解方程组的解的定义是解题的关键.4．已知是二元一次方程组的解，则关于的方程组的解是．【答案】【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，熟练掌握以上知识是解题的关键．把关于的二元一次方程看作关于和的二元一次方程组，利用关于的二元一次方程组的解为，得到，从而求出即可．【详解】∵关于的二元一次方程组的解为，∴可以把关于的二元一次方程看作关于和的二元一次方程组，∴，∴，∴关于的二元一次方程的解为．故答案为：．5．已知关于，的方程组的解是则关于，的方程组的解是．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据根据二元一次方程组的解的定义可得的解为，进而得出答案，熟练掌握换元思想是解题的关键．【详解】解：∵关于，的方程组的解是，∴关于，的方程组即的解为，∴，故答案为：．6．已知关于x，y的二元一次方程组的解为则关于x，y的方程组的解为．【答案】【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据题意可得的解为，即可．【详解】解：∵的解为∴的解为，即：；故答案为：．类型三、正确结论的是1．已知关于，的方程组给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，的值不可能是互为相反数；③，均为正整数的解只有1对；④若，则.正确的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】C【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、二元一次方程组的解等知识，将已知分别代入进而解方程得出答案，即可判断．【详解】解：①当时，方程组整理得，解得，当时，方程得，当时，代入方程得，故①正确；②解方程组得，，∴∴无论取何值，，的值不可能是互为相反数，故②正确；③由②知，当，均为正整数时，则有或，∴共有2对，故③错误；④∵由②得，∴，解得，，故④正确；综上，正确的结论是①②④，故选：C2．已知关于，的方程组，给出下列结论：①，满足关系式；②当时，，的值互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④是方程组的解．其中所有正确结论的序号是（

）A．①②③ B．③④ C．②③④ D．①②④【答案】C【分析】①+②得：，可得，故①不符合题意；当时，则，故②符合题意，当时，，而，故③符合题意；将代入方程组得：，解得：，故④符合题意；从而可得答案．【详解】解：，①+②得：，∴，故①不符合题意；当时，∴，故②符合题意；当时，，而，故③符合题意；将代入方程组得：，解得：，故④符合题意；故选C【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解的含义，二元一次方程组的解法，理解题意，选择合适的方法解题是关键．3．如图，，OE平分∠BOC，，，若，则下列结论：①；②平分；③；其中正确结论有（

）A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②【答案】A【分析】本题考查平行线的性质，角平分线定义，垂直的定义，解题的关键是根据平行性性质和角平分线定义得到一些等角．根据平行线的性质和角平分线的定义、垂直的定义，逐个判断各个小题中的结论是否成立，即可得到答案；【详解】解：∵，，∴，∵平分，∴，故①正确；又∵。∴∴，∴，即平分，故②正确；∵，∴，∴，∴，故③正确；综上所述：正确结论有①②③．故选：A．4．如图，，点，在直线上（在的左侧），点在直线上，，垂足为，为线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点，且点在直线，之间的区域，下列结论：①；

②；③若，则；④若，则，其中为正整数．上述说法正确的是（写出所有正确结论的序号）．【答案】①③④【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点作，利用平行线的性质可得，即可判断①；根据角平分的定义可得，，再根据三角形内角和定理，根据，利用平行线的性质即可判断②；设，则，利用①的结论即可判断③，同上可判断④．【详解】解：如图，过点作，

，，，，，，，故①正确；与的角平分线交于点，，，根据①中的结论，可得,，，，，，，故②错误；设，则，，根据①中结论可得，，故③正确；设，则，，，根据①中结论可得，故④正确．故答案为：①③④．5．如图，，点F，H分别在，上，，于点G，连结，且恰好平分，，则下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的为．（请填写所有正确结论的序号）【答案】②⑤【分析】本题考查了平行线的判定和性质、垂直的定义等知识点．先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，代入计算即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断②；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断③和④；作，利用平行线的判定和性质即可判断⑤．【详解】解：，，，，，，，，解得，则结论①错误；，，，则结论②正确；，，，，但不一定等于，也不一定等于，所以平分，平分都不一定正确，则结论③和④都错误；作，∵，∴，∴，，∴，则结论⑤正确；综上，正确的是②⑤，故答案为：②⑤．6．已知关于，的方程组，给出下列结论：①是方程组的解；②当，，的值互为相反数；③若，则；④若方程组的解也是方程的解，则，其中正确的是填写正确结论的序号【答案】②【分析】根据二元一次方程组的解法以及解的定义、同底数幂的乘法、幂的乘方、相反数的定义解决此题．【详解】解：将记作式，记作②式，由，得，，得，把代入，得，，这个方程的解为，由以上分析，方程组的解为，那么错误；当，则，，此时与互为相反数，那么正确；若，则，那么，从而得到，故错误；由题得，，得，那么错误；综上：正确的有．故答案为：．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法、幂的乘方、同底数幂的乘法、相反数、二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法以及解的定义、同底数幂的乘法、幂的乘方、相反数的定义是解决本题的关键．类型四、乘法公式的换元1．已知，则的值是（

）A．5 B．9 C．13 D．17【答案】B【分析】本题主要考查完全平方公式，把所给的条件进行整理，从而可求解．【详解】解：∵，∴，，整理得，，∴．故选：B．2．设，，．若，则的值是（

）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】A【分析】本题考查了完全平方公式，对所给条件灵活变形以及正确应用整体思想是解答本题的关键．先将，，代入，得到，再变形为，然后将作为一个整体，利用完全平方公式即可解答．【详解】解：∵，，，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴．故选：A．3．已知，，，则的值是．【答案】9【分析】本题考查了平方差公式，代数式求值，正确计算是解题的关键．先利用平方差公式计算，再结合已知条件得出，再将要求的代数式变形为，代入计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案为：9．4．已知，则的值是．【答案】【分析】本题考查完全平方公式、平方根，设，利用换元法求出，再求平方根即可．【详解】解：设，，，，，，，，故答案为：．5．若满足．(1)①设，，则______，______，而______（用含，的代数式表示）；②利用①中的信息，求出的值；(2)如图，点，分别是正方形的边、上的点，满足，为常数，且，长方形的面积是，分别以、为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积．【答案】(1)①，5，；②；(2)．【分析】（1）根据题中所设，可写出和，再利用完全平方公式即可求出的值，即的值；（2）根据题意先设出正方形的边长，然后写出和的长可推出，然后利用长方形的面积可写出，推出，继而求出，即可求出阴影部分面积．【详解】（1）解：①根据题意可得：，，，故答案为：，5，②，即，，即，故答案为：；（2）设正方形的边长为，则，，，长方形的面积是，，，，，即，，．【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，解题关键：熟练掌握这两个公式的推导．6．阅读材料：若满足，求的值．解：设，，则，，所以请仿照上例解决下面的问题：（1）问题发现：若x满足，求的值；（2）类比探究：若x满足．求的值；（3）拓展延伸：如图，正方形ABCD和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE=10，CG=20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．【答案】（1）21；（2）1009.5；（3）900【分析】（1）令a=3-x，b=x-2，整体代入后利用完全平方和公式求解；（2）令a=2021-x，b=2020-x，再利用完全平方差公式求代数式的值；（3）设a=x-20，b=x-10，由题意列出方程ab=200，再结合正方形和矩形的面积公式求四边形MFNP的面积．【详解】解：（1）设a=3-x，b=x-2，∴ab=-10，a+b=1，∴（3-x）2+（x-2）2，=a2+b2=（a+b）2-2ab=12-2×（-10）=21；（2）设a=2022-x，b=2021-x，∴a-b=1，a2+b2=2020，∴=ab＝−[(a−b)2−(a2+b2)]=−×(12−2020)=1009.5；（3）∵EF=DG=x-20，ED=FG=x-10，∵四边形MEDQ与NGDH为正方形，四边形QDHP为长方形，∴MF=EF+EM=EF+ED=（x-20）+（x-10），FN=FG+GN=FG+GD，∴FN=（x-10）+（x-20），∴MF=NF，∴四边形MFNP为正方形，设a=x-20，b=x-10，∴a-b=-10，∵SEFGD=200，∴ab=200，∴SMFNP＝(a+b)2=（a-b）2+4ab=（-10）2+4×200=900．【点睛】本题考查了整体思想和完全平方公式的应用，在解题的时候关键是用换元的方法将给定的式子和所求的式子进行替换，这样会更加容易看出来已知条件和所求之间的关系．类型五、平行线中的折线模型1．现将两个直角三角尺作如图摆放，，，直线过点，在直线上．若，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查平行线的性质，根据直角三角尺可得，过点作交于点，得，然后逐一判断即可．解题的关键是掌握：直角三角尺中各个角的度数及平行线的性质．【详解】解：∵将两个直角三角尺作如图摆放，且，，∴，过点作交于点，∴，∴，∵，即，∴，∴，∴，故选项B不符合题意；∴，∴，故选项A不符合题意；∴，故选项C不符合题意；∵，，∴，故选项D符合题意．故选：D．2．如图，两条公路和互相平行，之间有三段公路连接，且，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；过点，作，过点，作，，根据平行线的性质即可求解；【详解】解：过点，作，过点，作；根据，，，则，，，，则，，，，

；故选：B3．已知．（1）如图1，当时，则的度数为；（2）如图2，判断，，之间的数量关系为；（3）如图3，设，，．请直接写出的大小（用含α、β、γ的式子表示）．【答案】【分析】本题考查了平行线的判定和性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．（1）过点作，利用平行线的性质和判定、垂直的定义即可求解；（2）过点作，利用平行线的性质和判定即可求解；（3）过点作，过点作，根据平行线的性质和判定得到，，，推出，，，再根据即可求解．【详解】解：（1）如图，过点作，，，，，，，，，，；故答案为：．（2）如图，过点作，，，，，，，，；故答案为：．（3）如图，过点作，过点作，，，，，，，，，，，，，，；故答案为：．4．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为．【答案】/57度【分析】本题考查了平行线判定和性质，平行公理的推论．过点作，可得，即得，，根据求出即可．【详解】解：过点作，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴与所成锐角的度数为为，故答案为：．5．已知直线，，相交于点E．(1)如图①，此时与，有什么数量关系?(2)如图②，此时与，有什么数量关系?(3)直接写出图③、图④中，与，的数量关系．（不需说明理由）(4)如图⑤，点E，F在上方，平分，平分．①和有什么数量关系?②若的倍比大，则【答案】(1)(2)(3)图③：，图④：(4)①②【分析】本题考查了平行线的性质与判定，与角平分线有关的计算，角的和差运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先过点E作，运用两直线平行，内错角相等，再结合角的和差运算进行列式，即可作答．（2）先过点E作，运用两直线平行，同旁内角互补，再结合角的和差运算进行列式，即可作答．（3）与（1）、（2）同理，根据平行线的性质，即两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，分别列式计算，即可作答．（4）①先过点E作，过点作，与（1）、（2）同理，根据平行线的性质，即两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，得出，，再结合角平分线的定义，整理得，即可作答．②先依题意，得出，再把代入，进行计算，即可作答．【详解】（1）解：过点E作，如图所示：∵，∴，∴，∵∴（2）解：过点E作，如图所示：∵，∴，∴∴∵∴（3）解：过点E作，如图所示：∵，∴，∴，∵∴过点E作，如图所示：∵，∴，∴∴∵∴（4）解：①过点E作，过点作，如图所示：∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵平分，平分，∴，∵，，∴．②由①得，∵的倍比大，∴，即，解得，故答案为：．6．【问题解决】（1）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成一道习题：如图1，如果，那么（

）A．

B．

C．

D．【类比探究】（2）在同学们解答完这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，不变，当点移动到点的位置时，请写出之间的数量关系，并说明理由；【拓展应用】（3）善于思考的南南同学也对这道题进行了改编：如图3，将图1的部分与图2重合，不变，当分别平分和时，请写出与之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）．理由见解析【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．（1）利用平行线的可得，，进而得出；（2）过点M作，利用平行线的可得，，进而得出；（3）充分利用（1）（2）中的结论，即可得到．【详解】解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴；故选：；（2）过点M作，如图，则有，∵∴∴，∴∴；（3）由（1）得，由（2）得，，∵分别是的平分线，∴，，∴，∴．类型六、配方法求最值1．阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆用，即．例如：．请根据阅读材料解决下列问题：(1)已知，求的值；(2)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？【答案】(1)(2)，，【分析】（1）将配方，根据平方的非负性可得和的值，可解答；（2）首先把已知等式变为，然后利用完全平方公式进行配方，变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题．本题主要考查的是完全平方公式、非负数的性质、代数式求值等知识，掌握完全平方公式是解决问题的关键．【详解】（1）解：，，，∴，，解得，，∴；（2）解：，∵，∴代数式取得最小值时，有，解得，∴当，时，代数式取得最小值，最小值为．2．张老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，的值最小，最小值是1．所以的最小值是1．依据上述方法，解决下列问题(1)当______时，有最小值是_______．(2)已知，求的最值为_______．(3)已知实数、满足，求的值．【答案】(1)；(2)(3)【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．（1）化成完全平方公式和的形式计算即可；（2）把原式化成再利用完全平方公式计算即可；（3）化成完全平方公式和的形式计算出、的值，再代入代数式进行计算即可．【详解】（1）解：∵∴当时，的值最小，最小值是0．∴．∴当时，的值最小，最小值是．∴的最小值是．故答案为，；（2）∵，，∴∵∴当时，的值最小，最小值是0．∴．∴当时，的值最小，最小值是．∴的最小值是．（3），，．3．阅读材料：上面的方法称为多项式的配方法，根据以上材料，解答下列问题：(1)求多项式的最小值；(2)若，满足，求【答案】(1)(2)【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题关键是熟记完全平方公式并灵活运用．（1）先根据完全平方公式的特点得到，再利用平方式的非负性求解即可；（2）先根据完全平方公式的特点得到，再利用平方式和绝对值的非负性求得b、c值，进而可求解．【详解】（1）解：，∵，∴，∴当时，多项式有最小值，最小值为；（2）解：∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，，∴．4．王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：，因为，所以当时，的值最小，最小值是．所以．所以当时，的值最小，最小值是．所以的最小值是．依据上述方法，解决下列问题(1)当时，有最（填“大”或“小”）值，该值为．(2)已知的三边长分别为，，，且满足，求的周长．【答案】(1)，大，(2)见解析【分析】本题主要考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．（1）将化成完全平方公式的形式计算即可；（2）将化成完全平方公式的形式计算，求出，，的值，根据三角形三边关系判断其可以构成三角形，即可求周长．【详解】（1）解：，，当时，的值最小，为，，当时，有最小值，该值为．故答案为：，大，．（2）解：，，，，，边长为，，能构成三角形，的周长为．5．阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆用，即．例如：．请根据阅读材料解决下(1)已知，求的值；(2)当x，y为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？【答案】(1)(2)，最小值为8【分析】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，一元一次方程的求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键．（1）将利用完全平方公式配方，根据平方的非负性可得x和y的值，可解答；（2）首先把已知等式利用完全平方公式进行配方，变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题．【详解】（1）解：，，，，，，，，；（2），，，代数式取得最小值时，，解得：，∴当时，代数式取得最小值，最小值为8．6．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：，当时，的值最小，最小值是0，．当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题(1)知识再现：当__________时，代数式有最小值是；(2)知识运用：若，判断y有最大值还是有最小值，并求x为何值时，y的最值．(3)知识拓展：若，求的最小值．【答案】(1)3，3(2)有最大值，当时，有最大值(3)【分析】本题考查了偶次方的非负性，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式进行变形是解答本题的关键．（1）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案；（2）利用完全平方公式对变形，然后根据可得答案；（3）移项可得然后根据偶次方的非负性可得答案．【详解】（1）解：，当时，代数式有最小值3；故答案为：3，3；（2）解：，当时，有最大值．即有最大值，此时；（3）解：，当时，的最小值为．类型七、探索并解决任务1．根据素材，完成下列任务江景灯光秀素材一今年除夕夜小周江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图②，A灯射出的光线从开始逆时针旋转至便立即回转，B灯射出的光线从开始逆时针旋转至便立即回转，两灯不停旋转．假定江两岸平行，即．素材二B灯射出光线的转动的速度为，A灯有两种型号可供选择：型号I的速度为，型号Ⅱ的速度为．为了呈现不同的投射效果，小周观察发现B灯先转动后A灯才开始转动，且A灯转动时两灯的光束刚好互相垂直．问题解决任务一请你判断A灯所安装的型号，并说明理由．任务二当B灯的光束第一次达到之前，两灯的光束能否互相平行，如果能互相平行，请求出此时灯A旋转的时间．【答案】任务一：型号Ⅱ；任务二：秒或69秒或125秒或141秒【分析】本题主要考查平行线的性质，一元一次方程和角度的关系，理解数量关系，数形结合分析是解题的关键．任务一：如图所示，当A转动后，延长交于点T，延长交于点S，，由题意得B转动了，根据平行线的性质得到，则，由此即可求解；任务二：根据题意，设A旋转时间t秒，当时，B灯光束到，A转完需要秒，如图所示，延长交于点D，延长交于点C，由平行线的性质得到，分类讨论即可求解．【详解】解：任务一：如图所示，当A转动后，延长交于点T，延长交于点S，∴，∴，∵B转动了，∴，∵，∴，∴，∴，∴A每秒转，∴A灯安装的是型号Ⅱ．任务二：设A旋转时间t秒，当时，B灯光束到，∴，A转完需要秒，如图所示，延长交于点D，延长交于点C，∵，∴，∵，∴，∴，①，∴秒；②，∴秒；③，∴秒；④，∴；综上所述，秒或69秒或125秒或141秒．2．阅读与思考阅读下列材料，并完成相应任务．如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律．根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2，这是潜望镜的工作原理平面示意图，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线．

任务：(1)在图1中，若，则．(2)在图2中，由光的反射定律，可知光线经过平面镜反射时，存在，．求证：．(3)在生活中，光的反射现象被广泛地应用，例如自行车尾部的反光镜．如图3，在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回，表示入射光线，表示反射光线，．请直接写出平面镜与的夹角的度数．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】本题主要考查平行线的知识，熟练掌握平面镜成像原理入射角等于反射角是解题的关键．（1）由垂直的定义得到，而,即可证明；（2）由平行线的性质推出，由光的反射定律得到，由平角定义得到（3）根据平面镜成像原理入射角等于反射角，由光线，可知同内角互补，可得两法线垂直，从而求得的度数；【详解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴故答案为：；（2）证明：根据题意得，，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：如图：过点P作，相交于点G，∵平面镜成像原理入射角等于反射角，∴，∵∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即．3．请同学们根据以下表格中的素材一和素材二，自主探索完成任务一、任务二、任务三．如何合理搭配消费券？素材一为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺·你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）2张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张．素材二在此次活动中，小明一家5人每人都领到了所有的消费券．某日小明一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务．任务一若小明一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了_______张C型的消费券，此时的实际消费最少为_______元．任务二若小明一家用13张型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求型的消费券各多少张？任务三若小明一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得使用付款最少，并求出此过消费券的搭配方案．【答案】任务一：4；621；任务二：A型的消费券4张，B型的消费券6张，则C型的消费券3张；任务三：付款最少方案为：使用10张A型券，4张C型券【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程（组），准确解方程（组），求出正整数解．任务一：根据小明一家用了张A型消费券，张型的消费券，消费金额减了元，可求出用了张型的消费券，即可求出实际消费最小值；任务二：设A型的消费券x张，B型的消费券y张，则C型的消费券张，根据题意列方程组计算即可；任务三：分别计算三种搭配付款，比较即可．【详解】解：任务一：用C型的消费券数量为：，∴满减前至少消费（元）．∴满减后实际消费（元）．任务二：设A型的消费券x张，B型的消费券y张，则C型的消费券张，由题意可得：，解得．∴C型的消费券张．答：A型的消费券4张，B型的消费券6张，则c型的消费券3张；任务三：①设小明一家共使用A型的消费券a张，B型的消费券b张，则a，b都是正整数，，，A、B型：，∴．∵a，b都是正整数，，无符合题意的整数解；②设小明一家共使用A型的消费券a张，C型的消费券c张，则a，c都是正整数，，，A、C型：，∴．∵a，c都是正整数，，∴或．∴付款为：（元）或（元）．③设小明一家共使用B型的消费券b张，C型的消费券c张，则b，c都是正整数，，，B、C型：，∴．∵b，c都是正整数，，∴，∴付款为：（元），综上：付款最少方案为：使用10张A型券，4张C型券．4．根据如表素材，探索解决任务．新年礼盒生产方案的设计素材1某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共70万套．素材2甲礼盒的成本为20元/套，售价为24元/套；乙礼盒的成本为25元/套，售价为30元/套．问题解决任务1该工厂计划筹集资金1540万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？任务2经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒万套，增加生产乙种礼盒万套（，都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润为368万元，请问该工厂有几种生产方案？任务3在任务2的条件下写出所有可行的生产方案．【答案】任务1：甲礼盒生产42万套，则乙礼盒生产28万套；任务2：两种任务3：方案一：增加生产甲种礼盒5万套，增加生产乙种礼盒8万套；方案二：增加生产甲种礼盒10万套，增加生产乙种礼盒4万套【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、二元一次方程的应用、方案设计等知识，理解题意，弄清熟练关系是解题关键．任务1：设甲礼盒生产万套，则乙礼盒生产万套，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案；任务2：首先计算增加生产前所获得的利润值，根据题意可知增加生产甲种礼盒万套，增加生产乙种礼盒万套，易得，根据“，都为正整数”分析，即可获得答案；任务3：结合任务2中计算，即可获得答案．【详解】解：任务1：设甲礼盒生产万套，则乙礼盒生产万套，根据题意，可得，解得（万套），所以，（万套），答：甲礼盒生产42万套，则乙礼盒生产28万套；任务2：增加生产前，获得的利润为（万元），根据题意，增加生产甲种礼盒万套，增加生产乙种礼盒万套，则有，整理可得，∴，因为，都为正整数，所以或，所以，该工厂有两种生产方案；任务3：在（2）的条件下，两方案分别为：方案一：增加生产甲种礼盒5万套，增加生产乙种礼盒8万套；方案二：增加生产甲种礼盒10万套，增加生产乙种礼盒4万套．5．根据以下素材，探索完成任务．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．素材如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式：．问题解决任务1将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：______(只填序号)．任务2如图，若将个直角边长分别为，，斜边长为的直角三角形拼成如图所示的五边形，请你用两种不同的方法表示五边形的面积．方法1：______；方法2：______；你可以得到一个关于，，的等式是：______．任务3如图，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为，．若，求的值．【答案】任务1，；任务，，，；任务，【分析】本题考查了平方差公式，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理的验证是解题的关键，任务，根据梯形及正方形的面积公式求解判定即可得解；任务，如图，延长交于点，由题意可得四边形，四边形，四边形都是正方形，根据正方形的面积公式及三角形的面积公式即可得解；任务，如图，连接，由得，进而得【详解】解：任务，图中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为，∴，可验证平方差公式；图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为，∴，可验证平方差公式；图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为，∴，不可验证平方差公式；图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为，∴，可验证平方差公式；故答案为：；任务，如图，延长交于点，由题意可得四边形，四边形，四边形都是正方形，方法：，方法：，∴，∴，∴可以得到一个关于，，的等式是；故答案为：，，；任务，如图，连接，∵∴，∵，，∴即，∵，∴6．请仔细阅读，并完成相应的任务．倒序求和法在计算时，令，①则．②①+②，得．∴______．∴______．这样的求和方法称为倒序求和法．任务：(1)请将上面的计算过程补充完整．(2)如图，第个图形共有______个圆点．

(3)利用倒序求和法计算：．(4)若，则______．【答案】(1)，(2)(3)10000(4)13【分析】（1）先将括号内的每一项合并同类项，之后即可得到答案；（2）首先根据前面3个找到规律之后根据倒序相加法即可计算；（3）根据倒序相加法即可得到答案；（4）根据倒序相加法即可得到答案；【详解】（1）解：，（2）解：第1个图形中圆点的个数为，第2个图形中圆点的个数为，第3个图形中圆点的个数为……第个图形中圆点的个数为；（3）解：令，①则，②①+②，得，∴．∴，∴．（4）解：令，则，∴，∴，∴．解得（舍去）或．【点睛】本题主要考查规律型-图形变化类问题，解题的关键是理解题意，学会用倒序求和的方法解决问题．类型八、旋转平行求t或角度1．玩转三角板．在一副三角板与中，，．将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线之间（点落在直线上，边与直线重合，点在同一条直线上，固定三角板）．(1)如图1，的度数为___________；(2)如图2，将三角板绕点逆时针方向旋转，边与三角板的边相交于点，试问：的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由；(3)在图1的基础上，将三角板绕点逆时针方向旋转，至边与直线首次重合时停止运动．设的度数为，试探究：在旋转的过程中，当为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？求出符合条件的的值．【答案】(1)(2)为定值，这个定值为(3)30或或【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论等知识，熟练掌握平行线的性质，并正确分情况讨论是解题关键．（1）先根据平行线的性质可得，再根据角的和差求解即可得；（2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得；（3）分三种情况：①，②和③，利用平行线的性质求解即可得．【详解】（1）解：∵，，点在同一条直线上，∴，∵，∴，故答案为：．（2）解：为定值，求解如下：如图，过点作，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（3）解：①如图，当时，∴，∵，∴，∴点在同一条直线上，∴，即此时；②如图，当时，∵，即，∴，∴，又∵，，∴，∴，即此时；③如图，当时，∴，即此时；综上，在旋转的过程中，当或或时，三角板的边与三角板的一条边平行．2．已知，如图，平行，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分．(1)如图1，当时，直接写出的度数；(2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（1）问的条件下，若，，过点作交的延长线于点，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为△，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的的值______．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)或3或6或12或15【分析】本题主要考查了平行线的综合题，正确理解旋转的性质、平行线的性质是本题解题的关键．（1）延长交于，根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求解；（2）参考（1）的解答，根据角平分线性质、平行线的性质以及三角形内角和定理求解即可；（3）先计算出的取值范围，用表示出的大小，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义，用表示出三边与的夹角，当夹角相等时，两直线平行，据此解答．【详解】（1）解：如图，延长交于，设，交于点，设，则，，，，，，在和中，，，，，即：，；（2）解：，理由如下：如图，延长交于，设，交于点，设，则，，，，，，在和中，，，，，即：，；（3）解：，，，，是的平分线，，，转动过程中，，由（1）知，，，，，，，在转动过程中，，设所在直线与射线的夹角为，，在转动过程中，，①当时，当时，此时，在下方，，即，，解得：，当时，此时，在上方，，即，，解得：，②当时，当时，此时，在上方，，即，，解得：，舍去，当时，此时，在下方，，即，，解得：，③当时，当时，，即，，解得：，当时，，即，，解得：，综上所述，或3或6或12或15．3．【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中，包括垂直这种特殊位置关系．【应用】（1）如图1，，，分别在，上，平分交于点，为点右侧的直线上一点，平分交于点．①当，，求和的度数；②如图2，过点作，垂足为，设度，度，请求出与的关系式；【拓展】（2）中欧班列是高质量共建一带一路的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．如图，假定主道路是平行的，即．连结，且．灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当灯射线从转至的过程中，与互相垂直时，请求出此时的值．【答案】（1）①，；②；（2）【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义；（1）①根据平行线的性质可得，，进而可得，根据角平分线的定义可得，求得②设，，根据角平分线的定义，以及垂直的定义，得出；（2）分三种情况讨论，①当，未相遇时，设射线交于点，射线交于点，②当返回时，③当第次从出发，与垂直时，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解．【详解】解：（1）①，平分，，．．又平分，②平分，平分．，设，；，则，（）①当，未相遇时，设射线交于点，射线交于点，与互相垂直时，解得：②如图所示，当返回时，解得：③当第次从出发，与垂直时，如图所示，解得：综上所述，时，与互相垂直4．“光线”，即光，光直行，就一点视之，则放射如线，故云．(1)光线从空气射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象如图1，光线AB从空气射入水中，再从水中射入空气中，形成光线CD，根据光学知识有，，请判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由．

(2)结合光线、舞美等效果可以打造不一样的视觉体验，如图2，直线E上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点A．点C以/秒和/秒的速度同时顺时针转动．设时间为t，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间t，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)，理由见详解(2)存在，为秒或秒时与平行，理由见详解【分析】（1）如图可得，，可证，即可得证；（2）①、在的两侧时，可求，，由，即可求解；②、都在的右侧时，可求，由，即可求解；③、都在的左侧时，可求，，由，即可求解．【详解】（1）解：，理由如下：如图，

由图的：，，，，，，，．（2）解：存在，①如图，、在的两侧时，

，，，，要使，则需满足：，，解得：，，，故符合题意；②如图，、都在的右侧时，

，，，，要使，则需满足：，，解得：，，，故符合题意；③如图，、都在的左侧时，

，，，，要使，则需满足：，，解得：，而此时，故此情况不存在；综上所述：为秒或秒时与平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，掌握判定方法及性质是解题的关键．5．如图，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，，，，此时点与点重合，点，，三点共线．(1)固定的位置不变，将绕点按顺时针方向进行旋转，旋转至与首次平行，如图2所示，此时的度数是_________．(2)若直线，固定的位置不变，将图1中的沿方向平移，使得点正好落在直线上，再将绕点按顺时针方向进行旋转，如图3所示．①若边与边交于点，试判断的值是否为定值，若是定值，则求出该定值；若不是定值，请说明理由．②固定的位置不变，将绕点按顺时针方向以每秒的速度进行旋转，当与直线首次重合时停止运动，当经过秒时，线段与的一条边平行，请直接写出满足条件的的值．【答案】(1)(2)①是定值，；②或或15【分析】（1）利用平行线的性质求解即可；（2）①过点作直线，则．利用平行线的判定和性质求解即可；②分三种情形，分别构建方程求解即可．【详解】（1）解：，，；（2）①过点作直线，则．，，；②共分三种情况：情况1：时，，∴，．情况2：时，设与交于R，∴，∴，则旋转了，∴，．情况3：时，，∴，即旋转了，∴，．综上，或或15．【点睛】本题考查平移变换和旋转，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．6．如图1，大运河某河段的两岸、安置了两座可旋转探照灯M、N假设河道两岸平行（即），灯M光从开始顺时针旋转至便立即回转，灯N光束从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停照射巡逻．灯M转动的速度是每秒1度，灯N转动的速度是每秒2度，灯M转动的时间为t秒．(1)若灯M光束先转动30秒后，灯N光束才开始转动．①直接写出灯M光束和灯N光束，灯先回转；（填M或N）②在灯M光束到达之前，当两灯的光束平行时，求t的值；(2)如图2，连接，且．

①直接写出=；②若两灯同时转动，在灯N到达之前，若两灯光束交于点E，在转动过程中，请探究与的之间数量关系?并说明理由．【答案】(1)①N；②t的值为60s或140s(2)①60°；②，理由见解析【分析】（1）①求出时间，再比较即可；②分两种情况，当灯N回转前，根据平行线的性质得，，进而得出关于t的关系式，计算得出答案；当灯N回转后，仿照解答即可；（2）①根据两直线平行，同旁内角互补可得答案；②先求出，再表示出，，

根据，可得结论．【详解】（1）①N．灯M转到的时间（秒），灯N转到的时间为（秒），可知，所以灯N先回转；故答案为：N；②当灯N回转前，如图，由题意：，．∵，∴．∵,∴，∴，解得．当灯N回转后，如图，由题意：，，∵，∴．∵，∴，∴，解得．答：t的值为60s或140s；（2）①∵，∴，即，解得．故答案为：；

②．理由是：由①知，∴．设两灯同时运动xs，则，，∴，，

∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的应用，解一元一次方程等，理解运动过程是解题的关键．类型九、二元一次方程组的新定义1．对于实数a，b，定义关于“”的一种运算：，例如．(1)若，求m的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】此题考查了新定义，一元一次方程和二元一次方程组的解法，读懂题意得到方程和方程组是解题的关键．（1）根据新定义得到一元一次方程，解方程即可得到答案；（2）根据新定义得到二元一次方程组，两个方程相加，进一步即可求得答案．【详解】（1）解：，解得；（2）由题意可得方程组，∴①＋②得，，∴2．对于有序实数对，，定义关于“”的一种运算如下：，例如：．(1)求的值；(2)若，且，求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】本题考查了有理数的混合运算，解二元一次方程组，理解定义的新运算是解题的关键．（1）根据定义的新运算进行计算，即可解答；（2）根据定义的新运算可得①，②，然后利用整体的思想进行计算，即可解答．【详解】（1）由题意，得.（2）由题意，得，，则有方程组解得.3．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”如方程和为“关联方程”．(1)若关于的方程与方程是“关联方程”，求的值；(2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为，求的值；(3)若关于的方程和是“关联方程”，求的值．【答案】(1)25(2)或(3)2【分析】本题主要考查了解一元一次方程的应用、解二元一次方程组的应用，正确掌握一元一次方程的解法和二元一次方程组的方法是解题的关键．（1）根据“关联方程”的定义求解即可；（2）根据“关联方程”的定义和已知条件得到关于的二元一次方程组，解方程组即可；（3）分别求出方程的解，再由“关联方程”的定义解答．【详解】（1）解：解方程，可得，∵关于的方程与方程是“关联方程”，∴方程的解为，将代入方程，可得，解得；（2）根据题意，可得或，解两个二元一次方程组，可得或，∴求的值为或；（3）解方程，可得，解方程，可得，∵关于的方程和是“关联方程”，∴，解得．4．现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（为常数）．例如，当，且时，．(1)当，且时，_______；(2)若，求和的值；(3)如果组成数对的两个数满足二元一次方程（均不为），并且对任意数对经过运算又得到数对，求的值．【答案】(1)；(2)，；(3)．【分析】（）当，且时，分别求出和即可，（）根据条件列出方程组即可求出的值；（）由任意数对经过运算又得到数对，得，根据得到代入方程组即可得到答案；本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键．【详解】（1）当，且时，，，∴，故答案为：；（2）根据题意得：，解得：，∴，；（3）∵任意数对经过运算又得到数对，∴，则，∵，∴，∴，又均不为，∴．5．定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“美好数”，点为“美好点”．(1)下列命题：①若点为“美好点”，则点也一定为“美好点”；②存在与1互为“美好数”的数；③若点与互为相反数，则一定不是“美好点”．其中真命题是（填序号）(2)若为“美好点”，求的值．(3)已知，是二元一次方程组的解，请判断点是否为“美好点”？若是，请求的值；若不是，请说明理由．【答案】(1)①(2)(3)是，的值为【分析】（1）若点为“美好点”，则有，易得，即可判断命题①；设1与互为“美好数”，则有，而该方程无解，即可判断命题②；若，则有，即可判断命题③；（2）根据“美好点”的定义建立关于的一元一次方程并求解，即可获得答案；（3）解方程组，结合“美好点”的定义建立关于的一元一次方程并求解，即可获得答案．【详解】（1）解：点为“美好点”，则有，，点也一定为“美好点”，故命题①是真命题；设1与互为“美好数”，则有，该方程无解，不存在与1互为“美好数”的数，故命题②是假命题；若，则有，此时是“美好点”，故命题③是假命题；综上所述，真命题是①．故答案为：①；（2）解：若为“美好点”，则有，解得；（3）解：当时，点是“美好点”．理由如下：解方程，可得，若点是“美好点”，则有，解得，当时，点是“美好点”．．【点睛】本题主要考查了新定义“美好点”和“美好数”、真假命题的判定、解二元一次方程、解一元一次方程等知识，正确理解新定义“美好点”和“美好数”是解题关键．6．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“余二数”．定义：对于三位自然数，各位数字都不为0，若这个数除以4，余数为2，则称这个数为“余二数”．例如：因为，所以625不是“余二数”：因为，所以126是“余二数”．（1）判断722和119是否为“余二数”，并说明理由；（2）若一个三位自然数是“余二数”，且的百位数字比十位数字大6，且各个数位上的数字之和是某个整数的平方，求出满足条件的所有“余二数”．【答案】（1）722是“余二数”，119不是“余二数”，理由见解析；（2）718,826,934．【分析】（1）依据“余二数”的定义判断即可；（2）先设十位为x，个位为y，依据题意列出方程，分析求解即可．【详解】解：（1）722÷4=180…2，所以722是“余二数”，119÷4=29…3，所以119不是“余二数”；（2）设这个三位自然数的十位为x，个位为y，则百位为x+6，∴0＜x＜4，各个数位上的数字之和为2x+y+6,∵各个数位上的数字之和是某个整数的平方，若为3的平方，则2x+y+6=9，即2x+y=3符合条件的数字为，这个数为711，∵711÷4=177…3，∴711不是“余二数”，若为4的平方，则2x+y+6=16，即2x+y=10，符合条件的数字为或或，对应的数依次为：718,826,934,∵718÷4=179…2，826÷4=206…2，934÷4=233…2,∴满足条件的数为718,826,934．【点睛】本题考查新定义下的运算，二元一次方程的应用．能读懂题意，掌握“余二数”的判断方式是解题关键．类型十、整式乘除的图形应用1．将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如，若，，求的值．解：因为，所以，即又因为，所以根据上面的解题思路与方法，解决下列问题．(1)简单应用：若，，求的值；(2)实际应用：如图，M是的中点，B是上一点．分别以、为边，作正方形和正方形．连接和．设，，且，．求阴影部分的面积；(3)拓展应用：若，求的值．【答案】(1)20(2)18(3)18【分析】本题考查完全平方公式变形的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．（1）根据完全平方公式求解即可；（2）由题可知：阴影部分的面积=正方形的面积＋正方形的面积的面积的面积，，代入求解即可；（3）设，，则，，因此，可得，代入求解即可．【详解】（1）解：∵，，解得：，（2）解：∵M是的中点，，，且，，由题可知：阴影部分的面积=正方形的面积＋正方形的面积的面积的面积，∴阴影部分的面积．（3）解：设，，则，∵，∴．2．（1）如图，对正方形进行分割，发现有两种不同的方法求图中大正方形的面积，得到等量关系为：（2）利用等量关系解决下面的问题：，，求；，求的值；（3）如图，在线段上取一点，分别以、为边作正方形、，连接、、，若阴影部分的面积和为，的面积为，求的长度．【答案】（1）（2）

（3）【分析】本题考查了完全平方公式及其在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答本题的关键．（1）根据正方形的面积公式和四个小图形的面积和分别表示出大正方形的面积，即可得到等量关系；（2）利用完全平方公式变形求解即可；设，再利用完全平方公式变形求解即可；（3）设正方形的边长为，正方形的边长为，根据阴影部分的面积和为，的面积为得则，所以，而，所以，即可得解．【详解】解：（1）从“整体”上看大正方形的边长为，因此面积为，拼成图的四个部分的面积和为，所以有，故答案为：；（2）由（1）可得，，；设，则，，，，，即；（3）设正方形的边长为，正方形的边长为，阴影部分的面积和为，的面积为，∴，而，，即．3．综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)；(2)【应用】利用“平方差公式”计算：；(3)【拓展】计算：．【答案】(1)①②③(2)(3)【分析】本题考查平方差公式的几何背景，（1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可；（2）利用平方差公式进行计算即可；（3）将原式化为，再连续利用平方差公式进行计算即可．【详