福建省福清市2023~2024学年 高一下册期末检测数学试题有解析

/福建省福清市2023−2024学年高一下学期期末质量检测数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知复数（为虚数单位），则（

）A． B．2 C． D．12．下列命题一定正确的是（

）A．一条直线和一个点确定一个平面B．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行D．若直线与平面平行，则直线与平面内任意一条直线都没有公共点3．数据，，，…，的平均数为，方差，则数据，，，…，的标准差为（

）A．6 B．7 C．12 D．364．某同学参加知识竞赛，位评委给出的分数为，则该组分数的第百分位数为（

）A． B． C． D．5．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（

）A． B． C．2 D．16．甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（

）A．5 B． C． D．7．如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中错误的是（

）

A．圆锥的轴截面为直角三角形 B．圆锥的表面积大于球的表面积的一半C．圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为π D．圆锥的体积与球的体积之比为8．如图直四棱柱的体积为8，底面为平行四边形，的面积为，则点A到平面的距离为（

）A．1 B． C． D．2二、多选题（本大题共3小题）9．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥的两个事件是（

）A．“至少有一个黑球”与''都是黑球”B．至少有一个黑球''与“至少有一个红球”C．恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”10．已知，，均为非零向量，则下列结论中正确的有（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若非零向量，满足，则与的夹角是11．在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，则（

）A．直线与是异面直线B．直线与所成的角是C．直线平面D．平面截正方体所得的截面面积为.三、填空题（本大题共3小题）12．已知平面平面，直线，下列说法正确的是（填序号）①与内任一直线平行；

②与内无数条直线平行；③与内任一直线不垂直；

④与无公共点．13．已知，，，则.14．瑞云塔是福清市古街打卡的景点．某同学为了测量瑞云塔ED的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为，再沿AC方向前进15米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为，塔底点E的仰角为，那么瑞云塔高为米．（答案保留根号形式）四、解答题（本大题共5小题）15．已知O为坐标原点，向量，，，若A、B、C三点共线，且，求实数的值．16．正方体中，，分别是，的中点.

(1)求异面直线与所成角；(2)求证：平面17．某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了名读书者进行调查，将他们的年龄分成段：后得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计在名读书者中年龄分布在的人数；(2)求名读书者年龄的平均数和中位数；(3)若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄恰有1人在的概率．18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且，求的面积．19．如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，．(1)证明：平面平面；(2)若，且与平面的夹角为（i）证明；（ii）求二面角的正弦值．

答案1．【正确答案】A【分析】根据复数模长公式计算.【详解】由复数得，.故选A.2．【正确答案】D【分析】根据推论1可判断A选项；由线线平行与线面平行关系可判断B选项；由垂直于同一条直线的两条直线的位置关系可判断C选项；线面平行的定义可判断D选项.【详解】对于A：推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面，故A错误；对于B：如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或在此平面内，故B错误；对于C：垂直于同一条直线的两条直线互相平行或异面或相交，故C错误；对于D：若直线与平面平行，则直线与平面无公共点，故D正确.故选D.3．【正确答案】A【分析】利用方差的性质计算可得答案.【详解】数据，，，…，的方差，则数据，，，…，的方差为，标准差为.故选A.4．【正确答案】D【分析】将分数按照从小到大顺序排列，根据百分位数的求法直接求解即可.【详解】将位评委给出的分数按照从小到大顺序排序为：，，该组数据的第百分位数为.故选D.5．【正确答案】D【分析】首先求出，再由正弦定理计算可得.【详解】因为，，则，由正弦定理，即，解得.故选D.6．【正确答案】B【分析】按照相互独立事件的概率乘法法则，分类计算求和即可.【详解】分三类：①甲直接获得前两局胜利，不进行第三局，此时甲获胜的概率为：；②甲输第一局，赢后两局，此时甲获胜的概率为：；③甲赢第一局和第三局，输第二局，此时甲获胜的概率为.故甲获胜的概率为.故选B.7．【正确答案】C【分析】对于A，由圆锥的底面半径和高都等于球的半径，可得，即可判断；对于B，算出圆锥的表面积和球的表面积，可得它们的面积关系，即可判断；对于C，求出圆锥的母线长，底面周长，可得圆锥侧面展开图中圆心角的弧度数，即可判断；对于D，分别求出圆锥的体积和球的体积，可得它们的体积之比，即可判断.【详解】

对于A，设球的半径为，则如图所示：，所以，故A正确；对于B，圆锥的表面积为，球的表面积为，所以，故B正确；对于C，在中，圆锥的母线长为，底面周长为，所以圆锥侧面展开图中圆心角的弧度数为，故C错误；对于D，，，故D正确.故选C.8．【正确答案】B【分析】先得到，设点A到平面的距离为h，得到方程，求出答案.【详解】设点A到平面的距离为h，因为直四棱柱的体积为8，则直三棱柱的体积为4，故，即，又因为，所以，故点A到平面的距离为.故选B.9．【正确答案】CD【分析】根据互斥事件的定义逐一对四个选项进行分析即可.【详解】“至少有一个黑球”中包含“都是黑球，A错误；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B错误；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C正确；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D正确.故选CD.10．【正确答案】BD【分析】根据向量的线性运算以及坐标运算即可求解.【详解】，当与的夹角为时，也符合题意，所以选项A错误；，又因为，所以，所以选项B正确；若，，，所以，则，但，所以选项C错误；，因为，所以，所以，所以，因为向量夹角范围为，所以，所以选项D正确；故选BD.11．【正确答案】ABD【分析】根据异面直线成角，线面垂直的判定定理，梯形面积公式逐项判断即可.【详解】对于A，由于平面，平面，故直线与是异面直线，故A正确；对于B，如图，连接，因为分别为棱的中点，所以，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，又因为是等边三角形，所以直线与所成的角为，故直线与所成的角是，故B正确；对于C，如图，假设直线平面，又因为平面，所以，而，这三边不能构成直角三角形，所以与不垂直，故假设错误，故C错误；对于D，如图，连接，因为，所以，所以平面截正方体所得的截面为梯形，且，所以梯形的高为，所以截面面积为，故D正确.故选ABD.12．【正确答案】②④【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断可得答案.【详解】①如图，平面平面，，，但不与平行，故错误；②如图，若平面平面，直线，，则，因为在平面有无数条直线与平行，所以在平面有无数条直线与平行，故正确；③如图，长方体中，若平面平面，直线，，则，故错误；④若平面平面，则平面与平面无公共点，因为直线，所以与无公共点，故正确．故②④.13．【正确答案】【分析】由向量数量积公式算得结果，注意这两个向量夹角不是，而是它的补角【详解】故答案为.14．【正确答案】【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，再结合直角三角形边角关系求解即得.【详解】在中，，则，，由正弦定理得，则，在中，，则，在中，，则，又，因此，，所以瑞云塔高约为米.故答案为.15．【正确答案】或．【分析】根据已知条件及向量的线性运算，利用向量平行的条件即可求解.【详解】因为向量，，，所以，，因为A，B，C三点共线，所以，平行，所以，即，将代入中，得或．16．【正确答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）连接，，即可得到，则或其补角为异面直线与所成的角，结合正方体的性质求出；（2）取的中点，连接，，即可证明平面平面，从而得证.【详解】（1）连接，，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，则或其补角为异面直线与所成的角，在正方体中，可得，即为等边三角形，所以，所以异面直线与所成角为；

（2）取的中点，连接，，因为，分别是，的中点，所以，，而，所以，又因为平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面．17．【正确答案】(1)24(2)平均数54，中位数为55．(3)．【分析】（1）依据频率分布直方图的性质直接求解即可.（2）利用频率分布直方图中平均数和中位数的求法处理即可.（3）找到基本事件数和符合条件的事件数，利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】（1）由频率分布直方图得：年龄分布在的频率为，∴名读书者中年龄分布在的人数为．（2）由频率分布直方图得：名读书者年龄的平均数为；∵，，∴中位数位于，可设中位数为，则，解得，即名读书者年龄的中位数为55．（3）由频率分布直方图知：年龄在的有人，记为；年龄在的有人，记为；从中任取2人，则有，，共15种情况；其中恰有1人在的情况有，共8种情况，且设概率为，∴恰有1人在的概率．18．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）先根据已知求角再应用余弦定理求边长即可；（2）先应用余弦求边长再结合面积公式求解.【详解】（1）∵，∴，∵，∴，由余弦定理可得，即，即，解得（舍去）或，故．（2）∵，即，则，∴，，∴.19．【正确答案】(1)证明见解析(2)（i）证明见解析；（ii）【分析】（1）连接，可证和，根据线面垂直的判定定理即可得平面，最后根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）（）过点作交于点，结合，根据线面垂直的判定定理可得平面，即为与平面所成的角，故得解；（）过点作交于点，连接，证明，即知即为二面角的平面角，再根据三角形平行线定理和勾股定理求出、的长，最后由锐角三角函数即可得解.【详解】（1）如图①所示，设，连接，因为四边形为正方形，所以，又因为为的中点，且，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）（）如图②所示，在平面中过点作