广东省和美联盟2024~2025学年高一下册5月联考数学试题有解析

/广东省和美联盟2024−2025学年高一下学期5月联考数学试题一、单选题1．下列向量中与共线的是（

）A． B．C． D．2．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（

）A．和 B．与C．与 D．与4．如图，是的斜二测直观图，其中为正三角形，，则的面积是（）A． B． C．2 D．5．如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m等于（

）A． B．C． D．6．已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（

）A． B． C． D．7．一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B，C两点间的距离是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里8．窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若为的中点，则（

）A．6 B．8 C．10 D．12二、多选题9．下列说法不正确的是（

）A．圆锥被一个平行于底面的平面截去顶部的小圆锥后，剩余部分是圆台B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱C．圆柱的母线与它的轴可以不平行D．一个多面体至少有4个侧面10．已知函数，下列说法正确的是（）A．B．函数的图象关于点中心对称C．将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象D．函数在区间上单调递增11．已知复数，其中为虚数单位，在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（

）A．当时，为纯虚数B．满足的点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆C．的虚部为D．若且复数是方程的一个根，则方程的另一个复数根为三、填空题12．若，，则.13．在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为3，三棱柱的体积大小为．14．已知向量，夹角为，，若对任意，恒有，则函数的最小值为．四、解答题15．已知，，，且.（1）求实数的值；（2）若，求实数的值.16．如图，在直角梯形中，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体.

（1）求该几何体的表面积；（2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，求蚂蚁爬行的最短距离.17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长．18．已知函数已知.（1）求函数的周期、对称轴、对称中心;（2）求在上的单调区间与最值；（3）若对，不等式恒成立，试求的取值范围.19．在中，，，对应的边分别为，，，（1）求；（2）若为线段内一点，且，求线段的长；（3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若，求：的最小值；

答案1．【正确答案】C【详解】因为，由共线向量定理可知向量与共线.故选C.2．【正确答案】B【详解】由题意知，，所以在复平面内所对应的点为，位于第二象限.故选B.3．【正确答案】C【详解】、是不共线的两个非零向量，对于A，和中，，和不共线，可作基底，A不是；对于B，与中，，与不共线，可作基底，B不是；对于C，与中，，与共线，不能作基底，C是；对于D，与中，，与不共线，可作基底，D不是.故选C4．【正确答案】D【详解】在直观图中，，在三角形中，过点作⊥于点，则，，故，还原直观图得原图如下，，由得，所以的面积为.故选D5．【正确答案】D【详解】因为，所以，则，因为P、B、N三点共线，所以，解得.故选D．6．【正确答案】C【详解】由题意.故选C7．【正确答案】C【详解】解：如图，作出，由题意可知，海里，，则，因为，所以海里，即B，C两点间的距离是海里.故选C.8．【正确答案】B【详解】依题意得，，，，所以，，所以．故选B．9．【正确答案】BCD【详解】对于A，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，故选项A正确；对于B，满足条件的几何体可能是组合体，故B错误；对于C：圆柱的母线与它的轴平行，故C错误；对于D，三棱锥为多面体，但只有3个侧面，所以D错误．故选BCD．10．【正确答案】ABC【详解】对于A，,所以A正确；对于B，因为，所以函数的图象关于点中心对称，故B正确；对于C，将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，故C正确；对于D中，因为，所以，所以在上不单调，故D错误.故选ABC.11．【正确答案】BD【详解】对于A，当时，则不为纯虚数，故A错误；对于B，即到原点距离为2的点构成，故点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆，故B正确；对于C，的虚部为，故C错误；对于D，，且复数是方程的一个根，则方程的另一个复数根是其中一个根的共轭复数，为，故D正确.故选BD.12．【正确答案】/【详解】因为，则，所以，因此．13．【正确答案】9【详解】设斜三棱柱的高为h，，斜三棱柱的体积为，所以，易知，所以，又三棱锥的体积大小为3，所以，所以，即三棱柱的体积大小为9.14．【正确答案】/【详解】∵，∴，整理可得，∵对任意，上式恒成立，∴；由题意知，∴，∴．∴．15．【正确答案】（1）；（2）.【详解】解：因为，，，所以，（1）因为.所以，即，解得；（2）因为，，又，所以，即，解得.16．【正确答案】（1）（2）6.【详解】（1）如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周，形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台，其表面积为.

（2）将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环，

因为圆台上下底面半径的关系为，所以，，又∵，∴，∴，设，则的弧长，解得，连接，为等边三角形，∴所以蚂蚁从点A绕着圆台的侧面爬行一周，回到点A的最短路径即为线段，所以蚂蚁爬行的最短距离为6.17．【正确答案】（1）（2）【详解】（1）由题意及正弦定理知，，，，．（2）由得，由余弦定理得得，，，的周长为．18．【正确答案】（1）;对称轴为：;对称中心为：；（2）上单调递增，上单调递减；最大值3，最小值；（3）.【详解】（1），所以，，所以对称轴为：，，所以对称中心为.（2），，所以上单调递增，上单调递减，所以上单调递增，上单调递减，，，，所以；（3），而恒成立，所以，当取得最大值3时，，所以.19．【正确答案】（1）（2）（3）48【详解】（1）因为所以，由正弦定理，

所以即：，又，所以；（2）