广西壮族自治区贵港市“贵百河”联考2024~2025学年高二下册5月月考数学试题有解析

/广西壮族自治区贵港市“贵百河”联考2024−2025学年高二下学期5月月考数学试题一、单选题1．若随机变量的分布列如下表，则的值为（

）123A． B．1 C． D．2．已知，则（

）A． B． C． D．3．满足双曲线的是（

）A．焦距是2 B．离心率是 C．渐近线是 D．实轴是44．已知向量，，且，则的值为（

）A．5 B． C． D．105．为推动旅游发展，某旅行社设计了5条不同的旅游路线，分别记为、、、、．某团队要从中任选3条路线，在假期分三批组织队员出游，且路线和路线不能同时被选中，不同的选择及安排方法有（

）A．24种 B．36种 C．42种 D．72种6．行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，，，则（

）A．6 B．10 C．63 D．647．若，则（

）A． B． C． D．8．已知函数若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题9．如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（

）

A．异面直线与的夹角的正弦值为1B．平面C．点与平面的距离为D．直线与平面所成的角为10．已知函数的部分图象过点，且相邻的对称轴与对称中心的水平距离为，图象最高点纵坐标为2．则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为B．的图象关于点对称C．在区间上单调递减D．将图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数11．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，，下列说法正确的是（

）A．（其中） B．数列是递减数列C． D．数列的前项和三、填空题12．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若，则．13．记为等差数列的前项和，若，则．14．在一次数学竞赛中，甲乙丙丁戊5位同学得了前5名，老师让他们猜名次，甲说：乙第三，丙第五；乙说：丁第二，戊第四；丙说：戊第四，甲第一；丁说：丙第一，乙第二；戊说：丁第二，甲第三；老师说：你们每个人只猜对了一半，那么这五人从第一到第五名依次为．四、解答题15．设的内角，，所对边的长分别为，，，且．（1）求的值；（2）若，，为的中点，求的长．16．已知函数；（1）若，求函数的单调区间；（2）当时，求函数在上的最大值．17．已知椭圆：的右焦点为，点和点在上．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与交于另一点，求的最大面积．18．某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性．从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如下图所示：日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修．对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）：操作经济损失设备状态保留观察停机更换检查维修完好0105损坏1257假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立．（1）已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率；（2）该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修．记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，求的分布列和数学期望；（3）该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况．下面有三种维护这2台设备的操作方案：发热情况操作方案编号发热未发热①检查维修保留观察②停机更换检查维修③停机更换保留观察直接写出使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号．19．国家耗资727亿建设的广西平陆运河让南宁成为了“临海城市”，将带动广西经济腾飞．平陆运河作为西南地区陆海新通道的关键工程，在某标段施工中涉及可用于支撑航道照明及水文监测的航道监测塔架的空间结构非常复杂，可抽象为空间四边形，如图所示．在空间四边形中，，，且，，，设为的中点，则（1）若，证明；（2）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥外接球的体积；（3）记平面与平面的夹角为，求的最小值．

答案1．【正确答案】C【详解】由分布列可得，解得．故．故选C．2．【正确答案】B【详解】依题意，，所以.故选B3．【正确答案】D【详解】由双曲线，则、、，所以焦距为，离心率为，渐近线斜率为，实轴长为4.故选D4．【正确答案】A【详解】由题设，则，故，所以，，所以.故选A5．【正确答案】C【详解】由题知任选3条路线，分三批组织队员出游共有种方法，其中同时选到、路线的方法有种，所以符合题意不同得选择及安排方法有种，故选C.6．【正确答案】C【详解】由题设，有，当，则，故，当，则，与题设矛盾，综上，.故选C7．【正确答案】D【详解】，故选D8．【正确答案】B【详解】作出函数的图象如图所示，

函数，且有5个零点，等价于有5个解，即或共有5个解，等价于的图象与直线，共有5个交点.由图得的图象与直线在4个交点，所以的图象与直线有1个交点，则直线应位于直线下方，所以，解得，即实数的取值范围是.故选B.9．【正确答案】AB【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，A：由，，则，即，故异面直线与的夹角的正弦值为1，对；B：由，，则四边形为平行四边形，所以，平面，平面，则平面，对；C：由，，，若平面的一个法向量为，所以，令，则，所以点与平面的距离为，错；D：易知平面的一个法向量为，又，设直线与平面的夹角为，则，所以直线与平面所成的角不为，错.故选AB10．【正确答案】AD【详解】由题设知，且，又且，得，所以，显然最小正周期，A对；，即图象不关于对称，B错；当，则，结合正弦函数的性质在区间上不单调，C错；为偶函数，D对.故选AD11．【正确答案】AD【详解】对于A选项，由得，所以，故A正确.因为二次函数有两个不等式实根，，所以不妨设，因为，所以，所以在横坐标为的点处的切线方程为：，令，则，因为所以，即：所以为公比是2，首项为1的等比数列.所以故BC错.对于D选项，，得故D正确.故选AD.12．【正确答案】3【详解】由抛物线的定义知，即.13．【正确答案】【详解】由题设，又，得，所以，则.14．【正确答案】丁、乙、甲、戊、丙.【详解】由题意可得丁、戊的名次是重复的，所以丁、戊的名次中有一个是正确的，假设戊名次正确，则推出乙说“丁第二”错误，推出戊说“甲第三”正确，推出甲说“丙第五”正确，推出丁说“乙第二”正确，则丁第一，所以这五人从第一到第五名依次为：丁、乙、甲、戊、丙.同理易知丁第二不可能15．【正确答案】（1）；（2）.【详解】（1）由题设，，则，且，应用正弦边角关系得，所以，又，则，故；（2）由题意，，则.16．【正确答案】（1）单调增区间为，单调减区间为.（2）答案见解析.【详解】（1）函数定义域为，当时，，则，令，令，所以的单调增区间为，单调减区间为.（2），令解得①当时，当时，在区间上单调递增，当时，在区间上单调递减．.②当时，当时，，在区间单调递增．.综上所述，当时，，当时，.17．【正确答案】（1）；（2）.【详解】（1）由题设，可得，可得椭圆方程为；（2）由题设，直线，且，由在椭圆上，令，则到直线的距离，所以，其中，所以时，面积最大值为.18．【正确答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）①，理由见解析.【详解】（1）设“一台设备未出现发热情况，设备损坏”为事件，则.（2）依题意，一台设备出现发热情况，设备损坏的概率为，设备正常的概率为；易知，，，，，故的分布列如下所示：10故.（3）使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号为①，理由如下：记采用不同方案，这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，采用方案①：的取值为：，,故采用方案①，总经济损失的期望；采用方案②：的取值为：，,故采用方案②，总经济损失的期望；采用方案③：的取值为：，，故采用方案③：总经济损失的期望.综上，，故采用方案①，可使得总经济损失的期望最小.19．【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）【详解】（1）已知，，.在中，根据勾股定理，故.已知，可得.所以，根据勾股定理的逆定理，所以，即.已知，，且，平面.所以平面，又平面，所以.（2）先确定体积最大条件：三棱锥体积，固定，当平面时，，体积最大.

已知，在平面内，所以平面，则.

再找外接球心：在里，是中点，直角三角形斜边中线等于斜边一半，所以.又因为，所以到、、、距离相等，是外接球心.

设，，由勾股定