海南省海口市2023~2024学年 高一下册期末考试数学试题有解析

/海南省海口市2023−2024学年高一下学期期末考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．若集合，，则（

）A． B． C． D．2．复数z=(其中i是虚数单位)，则z的共轭复数=（

）A． B． C． D．3．已知向量，，若与共线，则（

）A．3 B． C． D．4．已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C． D．5．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，为圆锥的顶点，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（

）A． B． C． D．6．已知，，则（

）A． B． C． D．7．若函数，图象的相邻两个对称中心之间的距离为，且恒成立，则（

）A． B． C． D．8．中，角，，的对边分别为，，，，，边上的中线为，则的面积为（

）A． B． C．3 D．4二、多选题（本大题共3小题）9．“绿水青山就是金山银山”，海口市始终坚持生态优先，绿色低碳发展，空气质量长期领“鲜”全国.数据显示，2023年海口市空气质量创历史最高水平，位居全国168个重点城市之首.生活中常用空气质量指数（AQI）描述空气质量，AQI越小，表示空气质量越好.下表为2024年3月18日～3月24日一周内海口市和同为空气质量排行榜前十的“某市”的空气质量指数（AQI），这组数据中，以下表述正确的是（

）

A．海口市这一周AQI的平均数为22B．“某市”这一周AQI的中位数为40C．两市这一周AQI指数的方差或标准差可以反映出两市空气质量变化的稳定情况D．海口市这一周AQI指数的方差大于“某市”这一周AQI指数的方差10．设函数，，下列关于和的性质，正确的是（

）A．对任意的，，B．对任意的，且，C．函数是定义域为的奇函数D．函数在定义域上是增函数11．如图，棱长为1的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点为棱上的动点，点为侧面内动点，与侧面成角为，则下列说法中正确的是（

）

A．动点所在轨迹长为B．平面平面C．平面截正方体所得的截面图形始终是四边形D．点和点到平面的距离相等三、填空题（本大题共3小题）12．复数（）在复平面上对应的点在第四象限，，则.13．平面向量，为单位向量，且，则.14．已知三棱锥的顶点都在球的表面上，平面，与底面所成的角为，，，的面积为，所在的平面与球的交线长为，球的表面积为.四、解答题（本大题共5小题）15．为贯彻落实中央和省委相关部署要求，海口市大力开展人才引进工作.现组织公开招聘，共有100名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照，，…，分组，得到如图所示频率分布直方图.

(1)求全体应聘者笔试成绩的第75百分位数和平均数（每组数据以区间中点值代表）；(2)若计划面试60人，请估计参加面试的最低分数线（四舍五入取整数）.16．已知函数（），直线是函数的图象的一条对称轴.(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)若，求函数的值域.17．已知函数，的最小值为.(1)求的值；(2)求的解集；(3)在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求周长的取值范围.18．如图，有一块形如四棱锥的木料，平面，底面为菱形，，分别为和的中点.(1)要经过点，和将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（在答题卡的图中作出辅助线即可）指出与平面的位置关系，并证明；(2)若，，，求二面角的大小；(3)试求切割开的两部分木料的体积之比.19．函数称为高斯函数，其中“”表示不超过实数的最大整数，又称“的整数部分”.高斯函数在数论、函数绘图和计算机等领域有广泛的应用，我们记.(1)设方程的两个不同实数解为与，且，求的值；(2)请确认是否存在函数：，满足对，都有：①；②同时成立.(3)求证：对，，.

答案1．【正确答案】C【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得.【详解】由，则，所以，又，所以.故选C.2．【正确答案】C【分析】由题意结合复数的除法运算可得，再由共轭复数的概念即可得解.【详解】，.故选C.【思路导引】首先利用分母有理化化简得到，再由共轭复数的概念得到.3．【正确答案】D【分析】利用向量共线的坐标表示，列方程即可求解.【详解】因为向量，，与共线，所以，解得，故选D.4．【正确答案】C【分析】利用三角函数的定义求出，，再由诱导公式计算可得.【详解】因为角的终边经过点，所以，，所以.故选C.5．【正确答案】A【分析】设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为，圆锥的母线为，根据圆锥的底面周长求出，再由勾股定理求出，最后由表面积公式计算可得.【详解】设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为，圆锥的母线为，依题意可得，解得，所以，所以该几何体的表面积.故选A.6．【正确答案】C【分析】利用切化弦的思想和两角和差公式即可求解【详解】因为，所以，即，所以，又，所以.故选C.【思路导引】根据化简，得到，利用两角和差公式化简，结合题目条件，计算出最终结果为.7．【正确答案】B【分析】根据周期求出，再根据为最大值求出.【详解】因为图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，即，又，所以，解得，所以，又恒成立，所以，解得，又，所以.故选B.8．【正确答案】A【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，再用向量的方法表示中线，再由余弦定理可得的值，进而求出该三角形的面积．【详解】因为，由正弦定理可得，由余弦定理可得，可得，而，可得，由余弦定理可得，即，①因为边上的中线为，设中线为，则，两边平方可得，即，②②①可得，即，所以．故选A．9．【正确答案】AB【分析】由散点图计算平均数和中位数判断A、B；根据方差的意义和散点图分析数值波动程度可判定C、D.【详解】对于A，根据散点图分析可知，海口市这一周AQI的平均数为，A正确；对于B，观察散点图“某市”这一周AQI有，可知中位数为40，B正确；对于C，两市这一周AQI指数的方差或标准差不能完全反映出两市空气质量变化的稳定情况，C错误；对于D，根据散点图观察海口市这一周AQI指数的波动小于“某市”这一周AQI指数的波动，所以海口市这一周AQI指数的方差小于“某市”这一周AQI指数的方差，D错误.故选AB.10．【正确答案】AC【分析】根据对数的运算性质分析A，由基本不等式分析B，由函数奇偶性的判断方法分析C，由复合函数单调性的判断方法分析D．【详解】对于A：对任意的，，，故A正确；对于B：对任意的，且，，，由基本不等式，由于，且，，即，故B错误；对于C，，必有，解可得，即函数的定义域为，又由，即函数是定义域为的奇函数，故C正确；对于D，，设，易得在区间上为减函数，而在其定义域上为增函数，故函数在定义域上是减函数，故D错误．故选AC．11．【正确答案】ABD【分析】对于A：得出点在以为圆心，1为半径的圆弧上，即可求解；对于B：通过条件证出平面，即可得证；对于C：通过条件得出平面截正方体的图形还可以是五边形，即可判断；对于D：根据为中点，得到点和到平面的距离相等，即可判断．【详解】对于A，因为平面，连接，则即为与侧面成角，所以，则，

所以点在以为圆心，为半径的圆弧上，圆弧长为，故A正确；对于B，在正方形内，，，又，所以，所以，又平面，平面，所以，，平面，，所以平面，平面，所以平面平面，故B正确；对于C，取的中点，当与重合时，连接，则有，，，，四点共面，即平面截正方体的图形是四边形，如下图：

当点在线段上时，在平面内作直线，交的延长线于，交于，连接，因为，所以，，，四点共面，平面，，即平面截正方体的图形是五边形，故C错误；对于D：因为为中点，所以点和到平面的距离相等，故D正确．故选ABD．12．【正确答案】【分析】根据复数的几何意义得到，再根据复数的模计算可得.【详解】复数（）在复平面上对应的点在第四象限，所以，又，解得（舍去）或.故答案为.【思路导引】根据复数的几何意义可知，结合以及复数模的计算公式计算出.13．【正确答案】【分析】根据平面向量的数量积运算法则和性质即可求解.【详解】因为平面向量，为单位向量，所以，因为，所以，所以；所以；即.故答案为.14．【正确答案】【分析】根据已知条件结合正弦定理得出三角形外接圆半径为，再利用勾股定理求出球半径，即可求解．【详解】平面，平面，所以，又与底面所成的角为，即，，，，又，取的中点，连接，，，，即，解得，，，，设三角形外接圆半径为，则，解得，所在平面与球的交线长即为外接圆周长，即，设球到平面的距离为，则有，解得，从而球半径为，∴球的表面积为．故；．

15．【正确答案】(1)第百分位数为，平均数为；(2).【分析】（1）根据百分位数及平均数计算规则计算可得；（2）设最低分数线定为，首先判断，从而得到方程，解得即可.【详解】（1）因为，，所以第百分位数位于，设为，则，解得，所以第百分位数为，平均数；（2）设最低分数线定为，由频率分布直方图可得，分数在的人数为人；分数在的人数为人；所以，则，解得，所以可估计参加面试的最低分数线分.16．【正确答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为；(2).【分析】（1）根据对称性求出，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）根据的取值范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）因为直线是函数的图象的一条对称轴，所以，解得，又，所以，所以，所以函数的最小正周期，令，解得，所以函数的单调递增区间为.（2）因为，所以，所以，所以，即在上的值域为.【思路导引】根据正弦函数的对称性计算出，结合题目条件得到及最小正周期，再利用函数的单调性计算出单调区间；由的取值范围，求出的范围，再结合正弦函数的性质计算可得在上的值域为.17．【正确答案】(1)；(2)或；(3).【分析】（1）化简，求出最小值，建立关于的方程，解方程得解；（2）解三角函数方程可得或，最后写成集合形式得解；（3）求周长范围转化为求的范围，然后利用正弦定理边化角，利用三角函数知识即可求得取值范围.【详解】（1）因为的最小值为，所以当时，，所以.（2）由（1）知，，则，即，所以或，解得或，，的解集为：或.（3）因为在锐角中，，，，所以，即，所以，所以，设的外接圆半径为R，则有，所以所以，又，所以，所以，所以周长的取值范围为.18．【正确答案】(1)作图见解析，平面，证明见解析；(2)；(3)（或）.【分析】（1）取的中点，连接、、，再证明四边形为平行四边形，从而得到，即可证明平面；（2）首先证明平面，过点作，连接，则为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得；（3）依题意可得，不妨设，则，连接，求出，即可得解.【详解】（1）取的中点，连接、、，作图如下所示：因为为的中点，所以，又，所以，所以、、、四点共面，所以过点，和将木料锯开，截面为；平面，证明如下：因为为的中点，，分别为和的中点，所以且，又底面为菱形，所以且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因为平面，平面，所以，，又，，平面，所以平面，又平面，所以，过点作，连接，又，，平面，所以平面，又平面，所以，所以为二面角的平面角，在中，又，，，，所以，所以，则，即二面角的大小为；（3）切割后两块木料分别为四棱锥和多面体，又四棱锥和四棱锥同底，且为的中点，所以，不妨设，则，连接，由于为的中点，所以，所以，所以，则，所以切割后两块木料体积之比为（或）.19．【正确答