海南省海口市海口中学2023~2024学年 高二下册期末考试数学试题有解析

/海南省海口市海口中学2023−2024学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．2．下列各组中的两个函数为相同函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与3．已知为单位向量，且，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．4．在今年高考数学=2\*ROMANII卷的阅卷工作中，某质检老师随机抽取了10份试卷，对概率统计解答题第18题的阅卷评分进行了复查，得分记录分别为13，17，11，9，12，15，10，8，10，7，则这组样本数据的（

）A．极差为11分 B．众数为10.5分C．平均数为11分 D．中位数为10.5分5．在中，已知，，，则（

）A． B． C． D．6．已知定义在上的偶函数满足，若，则f100=（

）A． B．1 C． D．27．已知球的表面积为，边长为3的等边的三个顶点都在球的球面上，则三棱锥的体积等于（

）A． B． C． D．8．已知，关于的不等式的解集是，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法正确的是（

）A．在回归模型的残差分析中，决定系数越接近1，说明回归模型的拟合效果越好B．若甲、乙两组成对数据的样本相关系数分别为0.92，，则甲比乙的线性相关性强C．在经验回归方程中，相对于样本点的残差为D．在独立性检验中，当（为的临界值）时，推断不成立犯错误的概率不会超过10．已知圆的圆心为，抛物线的焦点为，准线为，动点满足PE+PF=6，则（

）A．曲线与有两个不同的公共点 B．点的轨迹为椭圆C．的最大值为5 D．当点在上时，11．已知函数，则（

）A．的定义域为 B．的值域为C．当时，在上单调递减 D．当时，为奇函数三、填空题（本大题共3小题）12．已知等差数列的首项，前项和为，若，则公差.13．某城区交通要道有积雪堵塞，现场有9名男志愿者和5名女志愿者，交警拟安排其中3名女志愿者和2名男志愿者参与扫雪工作.其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有种.（用数字作答）14．已知函数，.若，则；若函数的图象与的图象有3个公共点，则的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数.(1)当时，求在区间上的极大值；(2)若在区间上有零点，求实数的取值范围.16．如图1，在边长为2的正方形中，为的中点，分别将，沿，所在直线折叠，使、两点重合于点，如图2.在三棱锥中，为的中点.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.17．已知双曲线的离心率为，且的右焦点到渐近线的距离为.(1)求的标准方程；(2)过点作直线与的右支相交于两点，为原点，证明：为锐角.18．某口罩生产厂生产一个口罩需经过，，三道相互独立的工序，每道工序的生产质量分为优和良两个层级.当三道工序的生产质量都为优时，口罩的过滤等级为一等；当工序的生产质量为优，且，工序的生产质量至多有一个为优时，口罩的过滤等级为二等；其余情况下口罩的过滤等级均为三等.据抽样检测和统计分析，一个口罩在，，三道工序中的生产质量为优层级的概率分别为0.5，0.75，0.8.生产一个口罩的利润与过滤等级有关，其中一等2元/个，二等1元/个，三等0.5元/个.(1)求该厂生产的口罩过滤等级为一等所占的概率为多少；(2)从该厂生产的口罩中任取3个，求过滤等级有2个二等和1个三等的概率；(3)为了提高工序的生产质量为优层级的概率，该厂拟对工序的生产环节进行升级改造.升改后每个口罩的生产成本增加0.2元（销售价格不变），工序的生产质量为优层级的概率达到0.9.试从一个口罩利润的期望值考虑，该厂是否应该实施升级改造？19．已知函数，将函数的所有零点按从小到大的顺序排成一列，得到一个无穷数列：记.(1)求函数的最大值和最小值；(2)求的值；(3)设数列的前项和为，证明：对于任意正整数，.

答案1．【正确答案】D【分析】直接利用交集与补集的概念计算即可.【详解】由题意可知，所以.故选D.2．【正确答案】B【分析】根据相同函数的判定方法逐项分析即可.【详解】对A，的定义域为，的定义域为，则两个函数不是相同函数，故A错误；对B，，且两函数的定义域均为，则两个函数相同函数，故B正确；对C，，则两个函数不是相同函数，故C错误；对D，与，两函数对应法则完全不同，故两函数不是相同函数，故D错误.故选B.3．【正确答案】C【分析】由求出，再利用向量的夹角公式可求得结果.【详解】因为为单位向量，且，所以，得，所以，因为，所以.故选C.4．【正确答案】D【分析】利用极差、平均数、众数、中位数的定义计算一一判定选项即可.【详解】由数据可知得分最高为17，最低为7，故极差为10，A错误；显然10出现次数最多，故众数为10，B错误；平均数为，故C错误；从小到大排列数据，易知中位数为，故D正确.故选D.5．【正确答案】C【分析】首先利用余弦定理求出，再利用正弦定理即可.【详解】设角所对应的边分别为，则，根据余弦定理有，则，根据正弦定理有，即，解得.故选C.6．【正确答案】C【分析】根据抽象函数的奇偶性与周期性计算即可.【详解】由，所以T=6是函数的一个周期，所以，又是偶函数且，所以.故选C.7．【正确答案】A【分析】求出球的半径和所在平面截球所得的小圆的半径，利用勾股定理可得球心到所在平面的距离，再利用棱锥的体积公式可求得结果.【详解】设球的半径为，则，得设所在平面截球所得的小圆的半径为，圆心为，则为外接圆的半径，因为等边的边长为3，所以所以球心到所在平面的距离为所以三棱锥的体积故选A.8．【正确答案】B【分析】利用“三个二次”关系，先确定是方程的两个不等根得出关系式，再利用基本不等式计算即可.【详解】由题设是方程的两个不等根，所以，又，则，当且仅当，即时取得最小值.故选B.9．【正确答案】ACD【分析】根据决定系数的定义即可判断A；根据相关系数的概念即可判断B；根据残差的计算方法即可判断C；根据独立性检验的卡方计算方法即可判断D.【详解】对A，根据决定系数越大，说明回归模型的拟合效果越好，即决定系数越接近1，说明回归模型的拟合效果越好，故A正确；对B，因为，则则甲比乙的线性相关性弱，故B错误；对C，当时，预估值，则残差为，故C正确；对D，根据独立性检验的基本思想，D选项正确.故选ACD.10．【正确答案】BC【分析】先求出圆心坐标、抛物线的焦点和准线方程，根据题中条件可得点的轨迹为焦点在轴上，焦距为4，长轴长为6的椭圆判断BCD；联立圆和抛物线方程解得交点坐标判断A；【详解】圆的圆心为E(2,0)，半径为，抛物线的焦点为，准线为，对于A，曲线与联立方程组消得，解得或（舍），所以曲线与有一个公共点，A错误；对于B，动点满足PE+PF=6，根据椭圆的定义可知点的轨迹为焦点在轴上，焦距为4，长轴长为6的椭圆，B正确；对于C，点的轨迹为焦点在轴上，焦距为4，长轴长为6的椭圆，所以PF的最大值为，C正确；对于D，点的轨迹为焦点在轴上，焦距为4，长轴长为6的椭圆，即点的轨迹方程为，点在上时，则点的坐标或,因为,所以,D错误.故选BC.11．【正确答案】ACD【分析】对于A，直接求解函数的定义域判断，对于B，分析函数的值域判断，对于C，由函数图象平移规律分析判断，对于D，根据函数奇偶性的定义分析判断.【详解】对于A，由，得，所以的定义域为，所以A正确，对于B，，当时，，所以的值域为，当时，，所以的值域为，所以B错误，对于C，因为，所以的图象可以由向左平移2个单位，向上或向下平移个单位得到，当时，，因为在上单调递减，所以在上单调递减，所以C正确，对于D，当时，，设，定义域为，因为，所以为奇函数，所以D正确.故选ACD.12．【正确答案】【分析】利用等差数列的性质及和的性质计算即可.【详解】由题意可知，所以.故答案为.13．【正确答案】360【分析】直接利用分步乘法计数原理计算即可.【详解】先选3名女志愿者有种选法，再选2名男志愿者有种选法，最后余下的铲雪，有1种选法，所以共种安排方法.故360.14．【正确答案】;【分析】利用分段函数的定义直接计算可得第一空；作出两个函数的图象，利用数形结合分类讨论即得.【详解】若，则，显然，则；如图所示作出的大致图象，易知过原点，要满足题意需与有两个交点，当过时，此时，不满足题意，当时，与只有一个交点，由数形结合可知，当的斜率介于时满足题意，即.故；.15．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用导数研究函数的单调性与极值即可；（2）分离参数，将问题等价转化为在定区间上有解，构造函数，利用导数研究其单调性与最值即可.【详解】（1）当时，，所以，由三角函数性质可知时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，即是函数在区间上的极大值；（2）问题等价转化为在区间上有解，令，，则，令，所以单调递减，则，即，故在时单调递减，此时，所以.16．【正确答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可.【详解】（1）由条件易知，所以，而平面，所以平面，又平面，所以；（2）取的中点，连接，过O作的平行线，易知，则，由上可以得，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，即,设平面的一个法向量，有，令，则，所以，设直线与平面所成角为，则.17．【正确答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用双曲线的性质及点到直线的距离计算即可；（2）设直线的方程及坐标，利用韦达定理及向量的数量积公式证明的余弦值为正即可.【详解】（1）设，则，易知的渐近线方程为，由对称性知，焦点到两条渐近线的距离相同，即，又，则双曲线方程为：；（2）由上知，不妨设的方程为及显然，异号，则，，联立，整理得，则，易知，而异号，则，所以，即，即为锐角，得证.18．【正确答案】(1)(2)(3)该厂应该实施升级改造，理由见解析【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案；（2）利用相互独立事件的概率乘法公式求出二等所占、三等所占的比率；再由相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案；（3）求出改造前、改造后生产一个口罩的利润均值，再做比较可得答案.【详解】（1）该厂生产的口罩过滤等级为一等的概率为；（2）该厂生产的口罩过滤等级为二等的概率为，为三等的概率为，所以从该厂生产的口罩中任取3个，过滤等级有2个二等和1个三等的概率为；（3）该厂应该实施升级改造，理由如下，表示改造前生产一个口罩的利润，则可取2，1，0.5，所以，，，则，改造后，该厂生产的口罩过滤等级为一等的概率为为二等的概率为，为三等的概率为，表示改造后生产一个口罩的利润，则可取1.8，0.8，0.3，所以，，，则，因为，所以该厂应该实施升级改造.19．【正确答案】(1)的最大值和最小值分别为；(