河北省深州中学2023-2024学年高二下册期末考试数学试题有解析

/河北省深州中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）过点（1，2）且斜率为3的直线方程为（）A．3x﹣y﹣1＝0 B．3x﹣2y+1＝0 C．x+y+1＝0 D．x+y﹣1＝02．（5分）2024《中国好声音》报名即将开始，选手们可通过拨打热线电话或登陆官网两种方式之一来报名．现有甲、乙、丙三人均要报名参加，则不同的报名方法有（）A．4种 B．6种 C．8种 D．9种3．（5分）下列说法中正确是（）A．相关系数r越大，则两变量的相关性就越强 B．经验回归方程不一定过样本中心点 C．对于经验回归方程，当变量x增加1个单位时，y平均增加3个单位 D．对于经验回归方程，变量x与变量y负相关4．（5分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点为A，左、右两焦点分别为F1，F2，若△AF1F2为等边三角形，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．5．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣lnx，则函数f（x）的单调递减区间为（）A．（0，1） B．（1，+∞） C． D．6．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，以线段F1F2为直径的圆在第一象限交双曲线C于点A，sin∠AF1F2＝，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±x B． C．y＝±2x D．7．（5分）已知随机变量X，Y，X～B（4，），Y～N（μ，σ2），且E（Y）＝8P（X＝2），又P（Y≤0）＝P（Y≥m2+2），则实数m的值为（）A．0或2 B．2 C．﹣2或2 D．﹣28．（5分）已知数列{an}满足，数列{（λn+1）（2n﹣1）an}的前n项和为Sn，若Sn的最大值仅为S8，则实数λ的取值范围是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）关于的展开式，下列说法正确的是（）A．各项的系数之和为﹣1 B．二项式系数的和为512 C．展开式中无常数项 D．第4项的系数最大（多选）10．（6分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，E、F、G、H分别为CC1、BC、CD、BB1的中点，则下列结论正确的是（）A．B1G⊥EF B．A1H∥平面AEF C．点B1到平面AEF的距离为2 D．二面角E﹣AF﹣C的大小为（多选）11．（6分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F在直线l：y＝kx﹣k上，直线l与抛物线交于点A，B，（O为坐标原点），则下列说法中正确的是（）A．p＝2 B．准线方程为x＝﹣2 C．以线段AB为直径的圆与C的准线相切 D．直线OA、OB的斜率之积为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知等差数列{an}，a1+a6+a11＝6，且a4＝1，则数列{an}的公差为．13．（5分）有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为．14．（5分）已知函数在（4，6）上存在极值点，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（13分）已知等比数列{an}满足a2＝4，a5＝32．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和Tn．16．（15分）生态环境部、工业和信息化部、商务部、海关总署、市场监管总局等五部门联合发布《关于实施汽车国六排放标准有关事宜的公告》，明确提出自2023年7月1日起，全国范围全面实施国六排放标准6b阶段，禁止生产、进口、销售不符合国六排放标准6b阶段的汽车．为调查市民对此公告的了解情况，对某市市民进行抽样调查，得到的数据如下表：了解不了解合计女性14060200男性18020200合计32080400（1）根据以上数据，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为对此公告的了解情况与性别有关？并说明原因；（2）以样本的频率为概率．在全市随机抽取5名市民进行采访，求这5名中恰有3名为“了解”的概率．附：α0.100.050.0100.0050.001xa2.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中n＝a+b+c+d．17．（15分）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（n∈N*）个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为．（1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；（2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为X，求X的分布列和数学期望．18．（17分）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为B，|BF|＝2，离心率为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l：y＝x﹣2m（m≠0）与椭圆E相交于A，C两点，且点N（0，m），当△ACN的面积最大时，求直线l的方程．19．（17分）已知函数f（x）＝ex﹣1﹣lnx．（1）求函数f（x）的最小值；（2）求证：．

答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）过点（1，2）且斜率为3的直线方程为（）A．3x﹣y﹣1＝0 B．3x﹣2y+1＝0 C．x+y+1＝0 D．x+y﹣1＝0【分析】由直线方程的点斜式可直接写出方程，化简即可．解：根据题意可得直线为y＝3（x﹣1）+2，化简得3x﹣y﹣1＝0，故选：A．【点评】本题主要考查直线的点斜式方程，属于基础题．2．（5分）2023《中国好声音》报名即将开始，选手们可通过拨打热线电话或登陆官网两种方式之一来报名．现有甲、乙、丙三人均要报名参加，则不同的报名方法有（）A．4种 B．6种 C．8种 D．9种【分析】根据题意，分析可得每人都有2种报名方法，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，甲、乙、丙三人都可通过拨打热线电话或登陆官网两种方式之一来报名，即每人都有2种报名方法，则3人有2×2×2＝8种报名方法．故选：C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意每人都有2种选择方法，属于基础题．3．（5分）下列说法中正确是（）A．相关系数r越大，则两变量的相关性就越强 B．经验回归方程不一定过样本中心点 C．对于经验回归方程，当变量x增加1个单位时，y平均增加3个单位 D．对于经验回归方程，变量x与变量y负相关【分析】由相关系数与相关性的关系判断A；由经验回归方程的性质判断BCD．解：相关系数r的绝对值越大，则两变量的相关性就越强，故A错误；经验回归方程一定过样本中心点，故B错误；对于经验回归方程，当变量x增加1个单位时，y平均增加2个单位，故C错误；对于经验回归方程，变量x与变量y负相关，故D正确．故选：D．【点评】本题考查经验回归方程的性质，是基础题．4．（5分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点为A，左、右两焦点分别为F1，F2，若△AF1F2为等边三角形，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．【分析】利用已知条件列出方程，求出a、c关系，然后求解离心率即可．解：椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点为A，左、右两焦点分别为F1，F2，若△AF1F2为等边三角形，由椭圆的对称性知b＝c，即b2＝3c2，又a2＝b2+c2，可得a＝2c，所以e＝．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．5．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣lnx，则函数f（x）的单调递减区间为（）A．（0，1） B．（1，+∞） C． D．【分析】写出定义域，求导，判断单调性即可．解：f（x）的定义域是（0，+∞），，令f′（x）＜0，解得0＜x＜，则函数f（x）的单调递减区间为（0，）．故选：C．【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．6．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，以线段F1F2为直径的圆在第一象限交双曲线C于点A，sin∠AF1F2＝，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±x B． C．y＝±2x D．【分析】由题意可知AF1⊥AF2，再由sin∠AF1F2的值及双曲线的性质，勾股定理可得a，c的关系，进而求出a，b的关系，求出双曲线的方程．解：由题意可知AF1⊥AF2，所以sin∠AF1F2＝＝，设|AF2|＝m，则m＝c，|AF1|＝2a+m＝2a+c，由勾股定理可知：|AF1|2+|AF2|2＝|F1F2|2，即（2a+c）2+（c）2＝4c2，整理可得：4a2+2（﹣1）ac﹣c2＝0，可得2a＝c或2a＝﹣c（舍），可得b＝＝a，所以渐近线的方程为y＝±x＝±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质的应用及勾股定理的应用，属于基础题．7．（5分）已知随机变量X，Y，X～B（4，），Y～N（μ，σ2），且E（Y）＝8P（X＝2），又P（Y≤0）＝P（Y≥m2+2），则实数m的值为（）A．0或2 B．2 C．﹣2或2 D．﹣2【分析】根据题意，先求出P（X＝2），进而可得μ的值，结合正态分布的性质可得关于m的方程，解可得答案．解：根据题意，X～B（4，），则P（X＝2）＝（）2（1﹣）2＝，又由Y～N（μ，σ2），且E（Y）＝8P（X＝2），则有μ＝8×＝3，又P（Y≤0）＝P（Y≥m2+2），则有m2+2+0＝6，解可得m＝2或﹣2．故选：C．【点评】本题考查二项分布和正态分布的性质，关键求出μ的值，属于基础题．8．（5分）已知数列{an}满足，数列{（λn+1）（2n﹣1）an}的前n项和为Sn，若Sn的最大值仅为S8，则实数λ的取值范围是（）A． B． C． D．【分析】先根据等比数列的求和公式计算出的表达式，再计算出数列{an}的通项公式，然后令bn＝（λn+1）（2n﹣1）an，计算出数列{bn}的通项公式，并运用作差法分析出数列{bn}是以λ为公差的等差数列，再根据Sn的最大值仅为S8进一步推导出数列{bn}是递减的等差数列，即λ＜0，以及，最后根据数列{bn}的通项公式与不等式组的计算即可得到实数λ的取值范围．解：由题意，可得＝1+21+22+…+2n﹣1＝＝2n﹣1，∴an＝，n∈N*，构造数列{bn}：令bn＝（λn+1）（2n﹣1）an，则bn＝（λn+1）（2n﹣1）an，＝（λn+1）（2n﹣1）•＝λn+1，∵bn+1﹣bn＝λ（n+1）+1﹣λn﹣1＝λ，而λ为一个常数，∴数列{bn}是以λ为公差的等差数列，又∵数列{bn}的前n项和Sn的最大值仅为S8，∴数列{bn}是递减的等差数列，即λ＜0，且有，整理，得，解得﹣＜λ＜﹣，∴实数λ的取值范围为（﹣，﹣）．故选：C．【点评】本题主要考查数列求和，以及等差数列前n项和的最值问题．考查了整体思想，转化与化归思想，等比数列求和公式的运用，作差法，等差数列的性质运用，不等式的运算能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）关于的展开式，下列说法正确的是（）A．各项的系数之和为﹣1 B．二项式系数的和为512 C．展开式中无常数项 D．第4项的系数最大【分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解：关于的展开式，令x＝1，可得它的各项的系数之和为0，故A错误．的二项式系数之和为29＝512，故B正确．的展开式的通项为Tr+1＝•（﹣1）r•x9﹣2r，令9﹣2r＝0，可得r无整数解，故展开式中无常数项，故C正确．由于第r+1项的系数为•（﹣1）r，故当r＝4时，系数最大，即第5项的系数最大，故D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．（多选）10．（6分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，E、F、G、H分别为CC1、BC、CD、BB1的中点，则下列结论正确的是（）A．B1G⊥EF B．A1H∥平面AEF C．点B1到平面AEF的距离为2 D．二面角E﹣AF﹣C的大小为【分析】建立空间直角坐标系，根据线线垂直、线面平行、点面距离、二面角等知识对选项进行分析，由此确定正确答案．解：建立空间直角坐标系如下图所示，B1（2，2，2），G（0，1，0），E（0，2，1），F（1，2，0），A（2，0，0），A1（2，0，2），H（2，2，1），，所以B1G⊥EF，A选项正确．，设平面AEF的法向量为，则，故可设，，由于A1H⊂平面AEF，所以A1H∥平面AEF，B选项正确．，所以B1到平面AEF的距离为，C选项正确．平面AFC的法向量为，设二面角E﹣AF﹣C的平面角为θ，由图可知，θ为锐角．，所以θ不是，D选项错误．故选：ABC．【点评】本题主要考查空间向量及其应用，点面距离的计算，线面平行的证明，二面角的计算等知识，属于中等题．（多选）11．（6分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F在直线l：y＝kx﹣k上，直线l与抛物线交于点A，B，（O为坐标原点），则下列说法中正确的是（）A．p＝2 B．准线方程为x＝﹣2 C．以线段AB为直径的圆与C的准线相切 D．直线OA、OB的斜率之积为定值【分析】求出焦点坐标，从而可求出p的值，即可判断A正确；可得准线方程，即可判断B错误；利用抛物线的定义可判断C正确；联立方程组求得x1+x2＝，x1x2＝1，结合斜率公式，可判定D正确．解：由题意可得焦点坐标为F（1，0），所以，则p＝2，故A正确；准线方程为x＝﹣＝﹣1，故B错误；对于C选项，过A，B点往准线作垂线，垂足为A1，B1，AB的中点为E点，过E点作准线的垂线，垂足为E′，由抛物线的定义可得|AB|＝|AA1|+|BB1|＝2|EE′|，所以以线段AB为直径的圆与C的准线相切，故C正确；对于D选项，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，可得k2x2﹣（4+2k2）x+k2＝0，则x1+x2＝，x1x2＝1，则kOA•kOB＝＝＝﹣4，故D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知等差数列{an}，a1+a6+a11＝6，且a4＝1，则数列{an}的公差为．【分析】由题意，利用等差数列的通项公式，求得结果．解：∵等差数列{an}，a1+a6+a11＝6，设公差为d，则3（a1+5d）＝3a6＝6，∴a6＝2．∵a4＝1，∴2＝1+2d，∴d＝．故．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题．13．（5分）有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为．【分析】根据题意可知，次品是由3台机床共同造成的，利用全概率公式和条件概率公式即可求得结果．解：记Ai为事件“零件为第i（i＝1，2，3）台车床加工”，B为事件“任取一个零件为次品”，则P（A1）＝0.2，P（A2）＝0.3，P（A3）＝0.4，所以由全概率公式可得P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝0.2×0.04+0.3×0.05+0.5×0.05＝0.048；由条件概率公式可得．故．【点评】本题主要考查全概率公式，属于基础题．14．（5分）已知函数在（4，6）上存在极值点，则实数a的取值范围是（4，6）．【分析】求得f（x）的导数，由题意可得f′（x）＝0在（4，6）内有解，计算可得所求取值范围．解：函数的导数为f′（x）＝x﹣（a+2）+，由题意可得f′（x）＝0在（4，6）内有解，即x﹣（a+2）+＝0，也即（x﹣2）（x﹣a）＝0在x∈（4，6）有解，又4＜x＜6，可得x＝a∈（4，6）．故（4，6）．【点评】本题考查导数的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（13分）已知等比数列{an}满足a2＝4，a5＝32．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和Tn．【分析】（1）先设等比数列{an}的公比为q（q≠0），根据题干已知条件及等比数列的定义推导出公比q的值，进一步计算出首项a1的值，即可计算出等比数列{an}的通项公式；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{nan}的通项公式，再运用错位相减法即可推导出前n项和Tn．解：（1）由题意，设等比数列{an}的公比为q（q≠0），则q3＝＝，解得q＝2，∴a1＝＝＝2，∴an＝2•2n﹣1＝2n，n∈N*．（2）由（1）可得，nan＝n•2n，则Tn＝1•21+2•22+3•23+…+n•2n，2Tn＝1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，两式相减，可得﹣Tn＝1•21+1•22+1•23+…+1•2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1＝﹣（n﹣1）•2n+1﹣2，∴Tn＝（n﹣1）•2n+1+2．【点评】本题主要考查等比数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，错位相减法，等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．16．（15分）生态环境部、工业和信息化部、商务部、海关总署、市场监管总局等五部门联合发布《关于实施汽车国六排放标准有关事宜的公告》，明确提出自2023年7月1日起，全国范围全面实施国六排放标准6b阶段，禁止生产、进口、销售不符合国六排放标准6b阶段的汽车．为调查市民对此公告的了解情况，对某市市民进行抽样调查，得到的数据如下表：了解不了解合计女性14060200男性18020200合计32080400（1）根据以上数据，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为对此公告的了解情况与性别有关？并说明原因；（2）以样本的频率为概率．在全市随机抽取5名市民进行采访，求这5名中恰有3名为“了解”的概率．附：α0.100.050.0100.0050.001xa2.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中n＝a+b+c+d．【分析】（1）计算χ2，与临界值比较下结论；（2）根据样本数据求出“了解”的概率，再由超几何分布的概率公式求解即可．解：（1）零假设为H0：对此公告的了解情况与性别相互独立，即对此公告的了解情况与性别无关，由题意，10.828＝x0.001，所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为对此公告的了解情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001；（2）由样本数据可知，“了解”的概率为＝，设这5名市民中恰有3名为“了解”为事件A，则P（A）＝＝．【点评】本题主要考查独立性检验，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．17．（15分）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（n∈N*）个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为．（1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；（2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算全为小集团的概率值；（2）由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．解：（1）由题意知共有n+3个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是大集团的情况有，故全是大集团的概率是，整理得到9n2﹣39n﹣30＝0，解得n＝5，若2个全是大集团，共有种情况，若2个全是小集团，共有种情况，故全为小集团的概率为；（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，计算，，，，故X的分布列为：X0123P数学期望为．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．18．（17分）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为B，|BF|＝2，离心率为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l：y＝x﹣2m（m≠0）与椭圆E相交于A，C两点，且点N（0，m），当△A