河南省新乡市2023~2024学年 高二下册期末测试数学试题有解析

/河南省新乡市2023−2024学年高二下学期期末测试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．（

）A．3 B．5 C． D．172．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（

）A． B． C． D．4．若曲线在点处的切线与在点处的切线平行，则（

）A．3 B．2 C． D．5．已知的内角的对边分别为，且，则为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形6．函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

7．若函数在上单调递减，则满足条件的的个数为（

）A． B． C． D．8．在正四棱锥中，，则正四棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．2019年至2023年河南省社会消费品零售总额及其增长速度如图所示，则（

）A．2019年至2023年河南省社会消费品零售总额稳步上升B．2019年至2023年河南省社会消费品零售总额的极差为3501亿元C．2019年至2023年河南省社会消费品零售总额增长速度的平均数为D．2019年至2023年河南省社会消费品零售总额增长速度的分位数为10．已知正三棱台的体积为，则（

）A．B．正三棱台的高为9C．直线与平面所成角的正切值为D．正三棱台的外接球的表面积为11．已知函数的定义域为，且，若，则（

）A．B．C．方程有唯一的实数解D．函数有极大值三、填空题（本大题共3小题）12．已知向量，且，则.13．已知双曲线的离心率分别为和，则的最小值为.14．将六个数字填入如图所示的方格中，要求每个方格填个数字，且每个数字不重复，则在这三列数字中，第一列的数字之和最小的概率为.

四、解答题（本大题共5小题）15．如图，在平面四边形中，为的中点，，将沿对折至，使得.(1)证明：平面；(2)求二面角的正切值.16．已知函数.(1)求的单调区间；(2)当时，求在上的最小值与最大值.17．在某张试卷的多项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有2个或3个选项正确.(1)已知多项选择题第9题仅有2个选项正确，甲从4个选项中随机选2个，求甲第9题得满分的概率；(2)在有3个选项正确的多项选择题中，选1个选项且选对得2分，选2个选项且都选对得4分，选3个选项且都选对得6分，有选错的得0分.已知多项选择题第10题仅有3个选项正确，以第10题得分的期望值为决策依据，甲应随机选多少个选项？18．最大公因数，也称最大公约数，指两个或多个正整数公有约数中最大的一个，a，b的最大公约数记为，a，b，c的最大公约数记为.与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，几个自然数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数叫做这几个数的最小公倍数，a，b的最小公倍数记为，a，b，c的最小公倍数记为.例如，.(1)求的值；(2)若数列满足，，求数列的前n项和；(3)若公差为整数的等差数列满足，，证明.19．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，平面内一动点满足，记的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)已知为的右焦点，过点且斜率为的直线交于两点，过点且斜率为的直线交于两点，且，求四边形面积的最大值.

答案1．【正确答案】B【分析】根据复数模的概念运算即可得解.【详解】.故选B.2．【正确答案】D【分析】解一元二次不等式求出集合，解指数不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.【详解】由，即，解得，所以，由，解得，所以，又因为，则，所以.故选D.3．【正确答案】D【分析】利用抛物线的定义即可求解.【详解】因为点到直线的距离为，所以点到抛物线准线的距离为，由抛物线的定义得，.故选D.4．【正确答案】A【分析】先应用导数运算律求出导函数再根据斜率相等求参即可.【详解】由，得，当时，,由，得，曲线在点处的切线与在点处的切线平行，则，得.故选A.5．【正确答案】C【分析】由正弦定理可得，消去，可得，结合，可知为中最大的内角，最后利用余弦定理求得，可知为钝角，即得解.【详解】由正弦定理得，，，为的外接圆半径，因为，所以，因为，所以，即，又因为，即，所以为中最大的内角，则，所以为钝角三角形.故选C.6．【正确答案】A【分析】根据函数奇偶性排除C,D项；再由函数的零点只有三个，排除B项即得.【详解】因为，所以是偶函数，排除C，D项;因为在上的零点有共三个，排除B项.故选A.【方法总结】函数图象的辨识可从以下方面入手：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；②从函数的值域，判断图象的上下位置；③从函数的单调性，判断图象的变化趋势；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性；⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．【正确答案】C【分析】先对分不同情况进行讨论，得出当时不满足条件，当或时满足条件，当时不满足条件，即得到所求的全部为和，从而得到答案.【详解】若，则，所以不满足条件；若或，则对有，或.所以，根据复合函数单调性知在上单调递减，满足条件；若，则，所以不满足条件；若，则由可知，存在正整数满足.此时，，从而在上存在极值点，不可能单调递减，不满足条件.综上，满足条件的有和.故选C.8．【正确答案】B【分析】设正四棱锥的高为h，底面边长为x，由题可得及，后由导数知识可得答案.【详解】过顶点P向平面ABCD作垂线，垂足为O，则PO为正四棱锥的高，设为h.设底面边长为x，则，则，则.所以正四棱锥的体积为：，则.当时，；当时，.即在上单调递增，在上单调递减，则.故选B.9．【正确答案】BC【分析】对于A项，直接观察图形即可判断；对于BCD项，由数据的数字特征结合图形即可逐一判断.【详解】对于A项，2020年河南省社会消费品零售总额有所下降，所以A错误.对于B项，2019年至2023年河南省社会消费品零售总额的极差为亿元，所以B正确.对于C项，2019年至2023年河南省社会消费品零售总额增长速度的平均数为，所以C正确.对于D项，2019年至2023年河南省社会消费品零售总额增长速度从小到大依次为,，因为，所以该组数据的分位数为，所以D错误.故选BC.10．【正确答案】ABD【分析】根据题意，由条件可得三棱台的高，由其外接球的球心位于上，即可得到其半径，从而得到其外接球的表面积.【详解】设正三棱台的高为，由，得，所以B正确；如图，设的中点分别为，连接，

设的外心分别为，连接，过作，垂足为.易知,，则，所以，直线与平面所成角的正切值为所以A正确，C错误；设正三棱台的外接球的球心为，半径为，连接，则，得，所以正三棱台的外接球的表面积为，所以D正确.故选ABD.11．【正确答案】AB【分析】对于A项，取，推理即得；对于B项，取得到，再取即可推得，利用其单调性即可判断不等式成立；对于C项，利用B项求出的函数解析式代入，将问题转化成函数的零点个数问题即得；对于D项，代入易得结论不成立.【详解】对于A项，令，得.因为，所以，即，所以A正确；对于B项，令，得，由，得.又因为，所以.令，得，即，所以，因为为增函数，且，所以，所以B正确；对于C项，由B项可知，等价于.设，因为，所以在上至少有一个零点，又，所以的零点不唯一，从而方程的实数解不唯一，所以C错误；对于D项，因为，所以函数只有极小值，没有极大值，所以D错误.故选AB.【思路导引】解题的关键在于按照选项提示，通过赋值法，求出的值，继而求得的解析式，利用其单调性判断B项，利用函数的零点存在定理判断C项，利用函数的性质判断函数的极值情况.12．【正确答案】2.【分析】由向量线性运算及垂直的数量积即可求解出.【详解】由题意得，则，得.故2.13．【正确答案】.【分析】由双曲线离心率公式结合基本不等式即可求解.【详解】，，由题意得，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为.14．【正确答案】.【分析】先计算存在某两列使得这两列各自的两个数之和同时为最小的概率，然后利用对称性和全概率公式即可.【详解】设事件表示“存在某两列，使得这两列各自的两个数之和相等且同时为最小”，表示“第一列的数字之和最小”.若事件发生，由于所有数字之和不是的倍数，所以三列的各自两个数之和不可能都相等.这就意味着当事件发生时，存在且仅存在两列各自两个数之和相等且同为最小，所以根据对称性有.列举即知，这两列各自的两个数只可能是和，和，和.所以.若事件不发生，则两数之和最小的一列是唯一的，所以根据对称性有.所以.故答案为.【关键点拨】本题解决的关键在于，假设事件，利用条件概率公式与全概率公式分析计算得解.15．【正确答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由已知边长可证明一个直角，再结合线线垂直即可证明线面垂直；（2）方法一可用空间向量法来求二面角的正切值，方法二是用立体几何作图证明二面角的平面角，再进行求解即可.【详解】（1）由题设，易知，所以即.又因为，即.因为平面.所以平面.（2）（方法一）如图，以为原点，所在的直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.设平面的法向量为，则取，则，得.易得平面的一个法向量为，由图可知二面角为钝角，则二面角的余弦值为.所以二面角的正切值为.（方法二）如图，过点作，垂足为，连接.由平面，面，则，又因为平面，则平面，又因为平面，则，则为二面角的平面角.由由勾股定理可得，.因为二面角与二面角互补，所以二面角的正切值为.【方法总结】利用空间向量求解立体几何问题的一般步骤（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据公式求出相应的角或距离.16．【正确答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(2)答案见解析.【分析】（1）先求导函数再根据导数正负求出单调区间即可；（2）先根据函数的单调性结合自变量的区间分类讨论求最值即可；【详解】（1）.令，得；令，得；令，得.所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）当时，,由（1）知，在处取得极大值，且极大值为.当时，在上单调递增，.当时，，若，则，因为，所以.17．【正确答案】(1)；(2)2个.【分析】（1）由古典概型求出概率即可；（2）分别算出选1个选项，选2个选项，选3个选项的概率，再求出对应的期望，进行比较，即可得到答案.【详解】（1）甲第9题得满分的概率为.（2）若甲随机选1个选项，则甲得2分的概率为，得0分的概率为，甲随机选1个选项的得分的期望为；若甲随机选2个选项，则甲得4分的概率为，得0分的概率为，甲随机选2个选项的得分的期望为；若甲随机选3个选项，则甲得6分的概率为，得0分的概率为，甲随机选3个选项的得分的期望为；甲选4个选项必定得0分.因为甲随机选2个选项的得分的期望最大，所以甲应随机选2个选项.18．【正确答案】(1)2(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据定义求出最小公倍数和最大公约数后，由对数运算法则计算；（2）由新定义转化后用错位相减法求和；（3）由新定义转化后利用裂项相消法求和后可证得不等式成立．【详解】（1）.（2）因为，，且2与3互质，所以，所以，，两式相减得，所以.（3）证明：设的公差为d.因为，，所以，则，因为公差d为整数，所以，.当时，因为与互质，所以，所以，所以.19．【正确答案】(1)；(2).【分析】（1）设点的坐标为，则点的坐标为，利用题中的条件，求得向量的坐标之间的关系，从而得到，代入圆的方程求得结果；（2）设直线与直线斜率为，根据，得，设，与第一问中所求的椭圆方程联立，消元，利用韦达定理以及弦长公式，化