江苏数学初赛试题及答案

江苏数学初赛试题及答案

单项选择题（每题2分，共10题）1.若函数\(y=\log_{a}(x+3)-1\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的图象恒过定点\(A\)，则点\(A\)的坐标为（）A.\((-2,-1)\)B.\((2,-1)\)C.\((-2,1)\)D.\((2,1)\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-2,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，则\(m\)的值为（）A.\(4\)B.\(-4\)C.\(1\)D.\(-1\)3.不等式\(x^{2}-2x-3<0\)的解集为（）A.\(\{x\mid-1<x<3\}\)B.\(\{x\midx<-1或x>3\}\)C.\(\{x\mid-3<x<1\}\)D.\(\{x\midx<-3或x>1\}\)4.函数\(f(x)=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)5.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，则\(\cos\alpha\)的值为（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)6.等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{3}+a_{5}=14\)，其前\(n\)项和\(S_{n}=100\)，则\(n\)等于（）A.\(9\)B.\(10\)C.\(11\)D.\(12\)7.圆\(x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0\)的圆心坐标是（）A.\((1,-2)\)B.\((-1,2)\)C.\((1,2)\)D.\((-1,-2)\)8.已知\(a=\log_{2}3\)，\(b=\log_{3}2\)，\(c=\log_{\frac{1}{2}}3\)，则（）A.\(a>b>c\)B.\(a>c>b\)C.\(b>a>c\)D.\(b>c>a\)9.函数\(y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\)的定义域是（）A.\((1,+\infty)\)B.\([1,+\infty)\)C.\((-\infty,1)\)D.\((-\infty,1]\)10.曲线\(y=x^{3}\)在点\((1,1)\)处的切线方程为（）A.\(y=3x-2\)B.\(y=3x+2\)C.\(y=-3x-2\)D.\(y=-3x+2\)多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，是偶函数的有（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=|x|\)2.以下哪些是直线的方程形式（）A.点斜式B.斜截式C.两点式D.截距式3.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则（）A.\(A\capB=\{2,3\}\)B.\(A\cupB=\{1,2,3,4\}\)C.\(A\subseteqB\)D.\(B\subseteqA\)4.对于双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a>0\)，\(b>0\)），以下说法正确的是（）A.实轴长为\(2a\)B.虚轴长为\(2b\)C.渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)D.离心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)）5.已知\(\alpha\)，\(\beta\)是两个不同平面，\(m\)，\(n\)是两条不同直线，则下列说法正确的是（）A.若\(m\parallel\alpha\)，\(n\parallel\alpha\)，则\(m\paralleln\)B.若\(m\perp\alpha\)，\(m\parallel\beta\)，则\(\alpha\perp\beta\)C.若\(m\subset\alpha\)，\(n\subset\beta\)，\(\alpha\parallel\beta\)，则\(m\paralleln\)D.若\(m\perp\alpha\)，\(n\perp\beta\)，\(\alpha\perp\beta\)，则\(m\perpn\)6.以下哪些是基本初等函数（）A.幂函数B.指数函数C.对数函数D.三角函数7.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)为实数，且\(a>b\)，则下列不等式一定成立的是（）A.\(a+c>b+c\)B.\(ac^{2}>bc^{2}\)C.\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)D.\(a^{3}>b^{3}\)8.一个正方体的棱长为\(a\)，则它的（）A.表面积为\(6a^{2}\)B.体积为\(a^{3}\)C.面对角线长为\(\sqrt{2}a\)D.体对角线长为\(\sqrt{3}a\)9.已知函数\(y=f(x)\)的图象关于点\((a,0)\)对称，则（）A.\(f(a+x)=-f(a-x)\)B.\(f(x)=-f(2a-x)\)C.\(f(x+2a)=-f(-x)\)D.\(f(x)\)是奇函数10.椭圆\(\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1\)（\(m>0\)，\(n>0\)），当（）时，焦点在\(x\)轴上。A.\(m>n\)B.\(m<n\)C.\(m-n>0\)D.\(n-m>0\)判断题（每题2分，共10题）1.空集是任何集合的真子集。（）2.函数\(y=x^{3}\)是奇函数。（）3.直线\(x+y+1=0\)的斜率为\(1\)。（）4.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，则\(\alpha=\beta\)。（）5.等差数列的前\(n\)项和公式是\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)。（）6.圆的标准方程\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)，圆心坐标为\((a,b)\)，半径为\(r\)。（）7.若\(a>b>0\)，则\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)。（）8.两个向量的数量积为零，则这两个向量垂直。（）9.函数\(y=\cos2x\)的最小正周期是\(\pi\)。（）10.双曲线\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的渐近线方程是\(y=\pm\frac{4}{3}x\)。（）简答题（每题5分，共4题）1.求函数\(y=\sqrt{3-2x-x^{2}}\)的定义域。答案：要使函数有意义，则\(3-2x-x^{2}\geq0\)，即\(x^{2}+2x-3\leq0\)，因式分解得\((x+3)(x-1)\leq0\)，解得\(-3\leqx\leq1\)，所以定义域为\([-3,1]\)。2.已知等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(a_{3}=6\)，求\(a_{n}\)。答案：设等差数列公差为\(d\)，\(a_{3}=a_{1}+2d\)，将\(a_{1}=2\)，\(a_{3}=6\)代入得\(6=2+2d\)，解得\(d=2\)，则\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d=2+2(n-1)=2n\)。3.求曲线\(y=e^{x}\)在点\((0,1)\)处的切线方程。答案：先求导，\(y^\prime=e^{x}\)，当\(x=0\)时，\(y^\prime|_{x=0}=e^{0}=1\)，即切线斜率为\(1\)。由点斜式可得切线方程为\(y-1=1\times(x-0)\)，即\(y=x+1\)。4.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})\)。答案：因为\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，所以\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=-\sqrt{1-(\frac{1}{3})^{2}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\)。\(\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})=\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4}-\sin\alpha\sin\frac{\pi}{4}=(-\frac{2\sqrt{2}}{3})\times\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{4+\sqrt{2}}{6}\)。讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上的单调性。答案：在\((0,+\infty)\)上任取\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，且\(x_{1}<x_{2}\)。则\(f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}}\)。因为\(x_{1}\)，\(x_{2}\in(0,+\infty)\)且\(x_{1}<x_{2}\)，所以\(x_{2}-x_{1}>0\)，\(x_{1}x_{2}>0\)，即\(f(x_{1})-f(x_{2})>0\)，\(f(x_{1})>f(x_{2})\)，所以\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上单调递减。2.讨论直线\(y=kx+1\)与圆\(x^{2}+y^{2}=1\)的位置关系。答案：圆\(x^{2}+y^{2}=1\)的圆心\((0,0)\)，半径\(r=1\)。圆心到直线\(y=kx+1\)（即\(kx-y+1=0\)）的距离\(d=\frac{|0-0+1|}{\sqrt{k^{2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}\)。当\(d<r\)，即\(\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}<1\)（恒成立），直线与圆相交；当\(d=r\)，即\(k=0\)时，直线与圆相切；当\(d>r\)，不存在这样的\(k\)值。3.讨论二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）的最值情况。答案：对于二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)），其对称轴为\(x=-\frac{b}{2a}\)。当\(a>0\)时，函数图象开口向上，在\(x=-\frac{b}{2a}\)处取得最小值\(y=\frac{4ac-b^{2}}{4a}\)；当\(a<0\)时，函数图象开口向下，在\(x=-\frac{b}{2a}\)处取得最大值\(y=\frac{4ac-b^{2}}{4a}\)。4.讨论在立体几何中，如何判断面面平行。答案：判断面面平行方法有：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么