平面向量的基本定理及坐标表示(教学设计)

2.3平面向量的基本定理及坐标表示（1）（教学设计）2．3．1平面向量基本定理；2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示[教学目标]一、知识与能力：1．了解平面向量基本定理。2．掌握平面向量基本定理，理解平面向量的正交分解及坐标表示；3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.二、过程与方法：体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算教学难点：平面向量基本定理．一、复习回顾：1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=2．运算定律结合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ3.向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.二、师生互动，新课讲解：思考：给定平面内任意两个向量e1,e2，请作出向量3e1+2e2、e1-2e2，平面内的任一向量是否都可以用形如1e1+2e2的向量表示呢？.在平面内任取一点O，作e1，e2，a，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N.由向量的线性运算性质可知，存在实数1、2，使得1e1，2e2.由于，所以a=1e1+2e2，也就是说任一向量a都可以表示成1e1+2e2的形式.1．平面向量基本定理（1）定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使得a=1e1+2e2.把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.（2）向量的夹角已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角，当=0时，a与b同向；当=180时，a与b反向.如果a与b的夹角是90，则称a与b垂直，记作ab.例1（课本P94例1）已知向量e1、e2，求作向量-2.5e1+3e2。解：变式训练1：如图在基底e1、e2下分解下列向量：解：，，，2．平面向量的正交分解及坐标表示（1）正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.（2）向量的坐标表示思考：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对平面直角坐标系内的每一个向量，如何表示呢？在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，则对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y使得a=xi+yj，把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，显然，i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).（3）向量与坐标的关系思考：与a相等的向量坐标是什么？向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？（多对一的对应，因为相等向量对应的坐标相同）当向量起点被限制在原点时，作=a，这时向量的坐标就是点A的坐标，点A的坐标也就是向量的坐标，二者之间建立的一一对应关系.例2（课本P96例2）如图，分别用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标.解：a=2i+3j=(2,3),b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3).变式训练2：在直角坐标系xOy中，向量a、b、c的方向和长度如图所示，分别求他们的坐标.解：设a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，c=(c1,c2)，则a1=|a|cos45=，a2=|a|sin45=;b1=|b|cos120=，b2=|b|sin120;c1=|c|cos(-30)=，c2=|c|sin(-30)=,因此.例3：已知是坐标原点，点在第一象限，，，求向量的坐标.解：设点，则即，所以.变式训练3：如图，e1、e2为正交基底，分别写出图中向量a、b、c、d的分解式，并分别求出它们的直角坐标.解：a=2e1+3e2=(2,3)，b=-2e1+3e2=(-2,3)，c=-2e1-3e2=(-2,-3)，d=2e1-3e2=(2,-3).三、课堂小结，巩固反思：1．平面向量基本定理；2．平面向量的正交分解；3．平面向量的坐标表示.四、课时必记：1、平面向量的基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使得功a=1e1+2e2.把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2、当向量起点被限制在原点时，作=a，这时向量的坐标就是点A的坐标，点A的坐标也就是向量的坐标，二者之间建立的一一对应关系.五、分层作业：A组：1、设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有()A.e1、e2一定平行B.e1、e2的模相等C.同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)2、已知矢量a=e1-2e2，b=2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c=6e1-2e2的关系A.不共线B.共线C.相等D.无法确定3、已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于()A.3B.-3C.0D.2