北京市京郊绿色联盟四校联考2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（含解析）

北京市京郊绿色联盟四校联考2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷1．已知集合A=0,a，B=bb2−3b<0,b∈ZA．1 B．2 C．1或2 D．2或32．下列函数中，既是偶函数又在区间0,+∞A．y=cosx B．y=lgx C．y=x323．已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[0,+A．4 B．6 C．8 D．104．“φ=−π4+kπ,k∈Z”是“函数y=tanA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．设a,b∈R，且2aA．1a<1b B．tana>tanb C．6．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718⋯为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时7．设函数fx=sinxA．奇函数，且对任意x≠0都有fB．奇函数，且存在x0使得C．偶函数，且对任意x≠0都有fD．偶函数，且存在x0使得8．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，0<φ<π）的部分图象如图所示，△ABC是等腰直角三角形，A，BA．fB．fC．f(x)D．函数f(x)9．已知函数fx=x,x≤ax2,(x>a)，若存在实数A．a<0 B．a<1且a≠0 C．a<1 D．a>0且a≠110．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为2，△ABE,△BEC,△ECD均是边长为2的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AP⋅A．12 B．23 C．6+23 11．向量a=cos50°,sin50°与b=12．如图，点P045,35为锐角α的终边与单位圆的交点，OP0逆时针旋转π3得OP1，OP1逆时针旋转π3得O13．若函数f(x)=sinx⋅cos(x+φ)的最大值为1，则常数14．已知O是△ABC内一点，且满足OA+OC⋅CA=OC15．函数fx=b①“囧函数”的值域为R；②“囧函数”在0,+∞上单调递增③“囧函数”图象关于y轴对称；④“囧函数”有两个零点；⑤“囧函数”的图象与直线y=kx+bk≠016．已知向量a，b满足a=2，b（1）求a−2（2）若向量2a+b17．已知函数fx=2cos2ωx+2（1）函数fx（2）函数fx在x∈18．在△ABC中，a=5，b2（1）求∠A的大小：（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．条件①：b=7；条件②：sinB=33；条件③：AC注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．已知函数f(x)=log2(ax（1）求a的值；（2）若∀x1∈[0，π]20．已知集合Sn=XX=(x1,x2,⋯xn),xi∈N（1）当n=5时，设A=(1,2,1,2,5),B=(2,4,2,1,3)，求d(A,B)；（2）若A,B,C∈Sn，且存在λ>0，使得AB=λ（3）记I=(1,1,⋯,1)∈S20.若A,B∈S20，且

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：由b2−3b<0，

则bb−3<0，所以B=b又因为A=0,a且A∩B≠∅所以a=1或a=2.故答案为：C.【分析】先解一元二次不等式得出集合B，再根据A∩B≠∅求出a的值.2．【答案】D【解析】【解答】解：对于A，因为y=cosx在区间对于B，因为y=lgx的定义域为0,+∞对于C，因为y=x32为幂函数，在0,+∞单调递增，

又因为对于D，因为y=ex既是偶函数又在区间故答案为：D．【分析】根据函数的单调性定义和奇偶性的定义，从而找出既是偶函数又在区间0,+∞3．【答案】A【解析】【解答】解：因为二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)所以a>0Δ所以ac=1，a>0,c>0，所以1c+4a≥21c故答案为：A.【分析】根据函数的值域得出ac的值，再利用均值不等式求最值的方法，从而得出1c4．【答案】A【解析】【解答】解：若函数y=tanx+φ的图象关于π则π4+φ=kπ2,k∈Z因为φ|φ=−π4+kπ,k∈Z所以“φ=−π4+kπ,k∈Z”是“函数y=tan故答案为：A.【分析】若函数y=tanx+φ的图象关于π4,05．【答案】D【解析】【解答】解：因为2a−b>2b−a，

所以2a+a>2b所以y=2x+x所以a>b.对于A：当a=1，b=−1时，满足a>b，但是1a对于B：当a=π，b=π4时，满足a>b，但是对于C：当a=3，b=2时，满足a>b，但是3−a=2−b，故C错误；对于D：因为函数y=xx=x2,x≥0则由a>b可以得到aa故答案为：D【分析】依题意可得2a+a>2b+b6．【答案】C【解析】【解答】解：由已知得192=eb①，48=将①代入②得e22k=1当x=33时，y=e所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时.故答案为：C．【分析】将两组数据代入解析式可得e11k=12，192=e7．【答案】C【解析】【解答】解：因为fx的定义域为−又因为f−x=sin−x−x令gx=sinx−x(x>0)，所以gx在0,+∞上单调递减，则sinx−x<0，sin令ℎx=−x−sinxx>0所以ℎx在0,+∞上单调递减，

则则−x−sinx<0，所以，当x>0时，−x<sinx<x，则−1<fx<1，当x<0时，fx=f−x<1，

故答案为：C.

【分析】先求函数的定义域，再判断函数的定义域是否关于原点对称，再根据f−x=fx得到函数fx是偶函数，将fx<1等价于−1<fx<1，则−1<sinxx<1，当x>0，等价于−x<sin8．【答案】D【解析】【解答】解：由△ABC为等腰直角三角形，C为图象上的最高点，且点C的纵坐标为1，则AB=2，故函数f(x)的周期为4，由T=2π|ω|=4，ω>0因为|OB|=3|OA|，所以A(−12,将点C代入f(x)=sin(π2x+φ)则π4+φ=π2+2kπ，k∈Z，又因为0<φ<πA、f(6)=sinB、f(1)+f(9)=sinC、若x∈(3,5)，则D、f(−5所以函数f(x)的图象关于点(−5故答案为：D.【分析】根据C为图象上的最高点，且点C的纵坐标为1，△ABC为等腰直角三角形可以求出AB=2，求出周期，利用周期公式求出ω，将点C代入即可求出φ，从而确定函数f(x)解析式，再逐项分析判断即可.9．【答案】B【解析】【解答】解：由函数gx=fx则y=f(x)与y=b的图象有两个交点，

结合函数图象有以下几种情况：y=x与y=x则y=f(x)在定义域内不能是单调函数，

对于a的值进行分类讨论，当a<0时，如图2所示；

当a=0时，如图3所示；当0<a<1时，如图4所示；

当a=1时，如图5所示；

当a>1时，如图6所示，对于图2，有可能有两个交点，因为存在y=b使得与二次函数有两个交点；对于图3，因为图象是单调的，故不可能有两个交点；对于图4，可能有两个交点，因为存在b∈R使得y=b与分段函数有两个交点；对于图5，不可能有两个交点；对于图6，不可能有两个交点，综上所述：当a<1且a≠0成立.故答案为：B.

【分析】由函数gx=fx−b有两个零点可得fx=b有两个零点，则10．【答案】D【解析】【解答】解：以D为坐标原点，AD所在直线为x轴，过D做AD的垂线为y轴，

建立如图所示的平面直角坐标系，则A−4,0则圆D的方程为x2+y2=1，所以AP=所以AP⋅所以，当cosα+π6=1时，即当α=11π故答案为：D．

【分析】以D为坐标原点，AD所在直线为x轴，过D做AD的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设Pcosα,sinα，利用数量积的坐标表示得出AP⃑⋅11．【答案】40°【解析】【解答】解：因为a=cos50°,sin50°、所以a=cos250°+则a⋅设向量a与b的夹角为θ，则cosθ=又因为0°≤θ≤180°，

所以θ=40°.故答案为：40°.【分析】先求出a，b，a⋅b，再由数量积求向量夹角公式和两向量夹角的取值范围，从而得出向量a⃗12．【答案】725；【解析】【解答】解：由题意，可得点P045,35为锐角α的终边与单位圆的交点，

OP0逆时针旋转π3得OP1，O根据三角函数的定义，

可得cosα=所以，cos2α=2则点P2020的横坐标为：

=−(cos故答案为：725，3【分析】利用已知条件结合三角函数定义、二倍角的余弦公式得出cos2α的值；再利用诱导公式得出点P13．【答案】−π2（答案不唯一，φ取−π【解析】【解答】函数f(x)=sinx⋅∴可取y=sinx与又x=2kπ+π2(∴x=2kπ+π2(∴φ=2mπ−π不妨取φ=−π此时f(x)=sin故常数φ的一个取值为−π故答案为：−π

【分析】依题意可知y=sinx与y=cos(x+φ)14．【答案】−1【解析】【解答】解：由题意得OA+则|OA|=|OB|=|OC|，

所以O是故答案为：−1.【分析】由已知条件化简后得出点O是∆ABC的外心，再由外心的性质得出OA⃑15．【答案】③⑤【解析】【解答】解：①令b|x|−a=0，方程无解，

所以f(x)不可能为零，

则“囧函数”的值域为R，故②当x∈(0,+∞)时，取a+2<a+3，得f(a+2)−f(a+3)=b2−b3所以“囧函数”在(0,+∞)上单调递增，故②错误；③因为函数定义域关于原点对称且f(−x)=f(x)，

所以“囧函数”图象关于y轴对称，故③正确；④令b|x|−a=0，方程无解，

所以f(x)无零点，“囧函数”有两个零点，故⑤令b|x|−a则kx2+(b−ak)x−b(a+1)=0,x>0①，

或当k>0时，对于①有Δ=(b−ak)当k<0时，对于②有Δ=(b+ak)则方程b|x|−a=kx+b至少有一根，

所以“囧函数”的图象与直线y=kx+b(k≠0)的图象至少有一个交点，故故答案为：③⑤.

【分析】解方程b|x|−a=0判断出序号①；举反例进行排除，则判断出序号②；利用奇偶性的概念判断出序号③；解方程b|x|−a=0判断出序号④；令16．【答案】（1）解：a=a=(=a=a=4−4×2×1=12=23（2）解：因为2a+b所以2a化简为：8+2k−1−k>0k≠−所以k>−7k≠−所以，实数k的取值范围为：k>−7且k≠−1【解析】【分析】（1）利用a−2b=a−2（2）利用向量夹角为锐角，则需满足数量积为正并且两个向量不能方向相同，从而代入求解得出实数k的取值范围.（1）a−2b=(=a=a=4−4×2×1=12=2（2）因为2a+b所以2a化简为：8+2k−1−k>0k≠−所以k>−7k≠−故答案为：k>−7且k≠−17．【答案】（1）解：因为f所以fx又因为相邻两条对称轴之间的距离为π2，

所以T=2×则fxmax=2+a+1=1，

则fx（2）解：令−π2+2kπ≤2x+π6取k=0，则x∈−π3,π6，

所以，函数【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和二倍角的余弦公式以及辅助角公式，从而可得fx=2sin2ωx+π6+a+1，再利用相邻两条对称轴之间的距离为（2）利用x的取值范围和不等式的基本性质，再结合换元法和正弦函数的单调性，从而得出正弦型函数fx在x∈（1）fx故fx由于相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以T=2×fxmax=2+a+1=1故f（2）令−π2+2kπ≤2x+取k=0，则x∈−π18．【答案】（1）解：因为a=5，b2−bc+c2=25，

所以b由余弦定理知cosA=因为A∈(0,π)，

所以A=π（2）解：若选①b=7，

则72−7c+c2=25，

所以c2−7c+24=0若选②sinB=33，

由正弦定理可知asinA=bsinB，

所以532=b33，

解得b=所以S若选③AC边上的高BH=92，

在Rt△ABH中，sinA=BHAB，

所以AB=BHsinA=9232=33，

则c=33，

所以b【解析】【分析】（1）依题意可得b2（2）若选①，直接代入b2−bc+c2=25，从而得到方程无解，故舍去；若选②，由正弦定理求出b的值，再代入b2−bc+c2=25，则可求出c的值，再根据三角形的面积公式计算可得（1）解：因为a=5，b2−bc+c2=25由余弦定理知cosA=因为A∈(0,π)，所以A=π（2）解：若选①b=7，则72−7c+c2=25若选②sinB=33，由正弦定理可知asinA=bsinB，即532所以S△ABC若选③AC边上的高BH=92；在Rt△ABH中sinA=BHAB，所以AB=BHsinA=923219．【答案】（1）解：因为函数f(x)=log2(ax+1)−x为偶函数，所以f−x=fx（2）解：由题可得：∀x1∈[0，π]，∃x2∈[−1，1]，sin2x1+msinx1+14−1m≥f(x2)成立，即sin2x1+msinx1+14−1mmin≥f(x2)min，因为f(x2)=log2(4x2【解析】【分析】(1)根据函数为偶函数可得f−x=fx，再利用对数函数的运算性质求值即可；

20．【答案】（1）解：因为d(A,B)=i=1na所以d(A,B)=1−2则d(A,B)=7.（2）解：设A=a∵∃λ>0,使AB=λ∴∃λ>0,使得：(b∴∃λ>0，使得bi−a∴bi−∴b∴d(A,B)+d(B,C)=（3）解：因为d(A,B)=i=1设bi−ai(i=1,2⋯,20)不妨设i=1,2⋯m时，bi当i=m+1,m+2,⋯,20时，bi所以d(A,B)==[(∵d(I