广东省江门两校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷

广东省江门市台山一中、开侨中学两校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知的展开式共有9项，则的值为（

）A．6 B．7 C．8 D．92．已知函数，记为函数的导函数，则（

）A． B． C． D．3．等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C．1 D．24．某高校将4名学生分配到3所中学实习，每所中学至少分配名学生，则不同的分配方案共有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种5．已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列式子正确的是（

）A． B．C． D．6．设直线与轴的交点的横坐标为，则（

）A． B． C． D．7．已知，，，则（

）A． B． C． D．8．南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设、、为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为．已知，若，，则的值可以是（）A． B． C． D．二、多选题9．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．函数在上单调递减B．函数在上单调递减C．函数在处取得最小值D．函数在处取得极大值10．已知的展开式的第2项与第3项系数的和为3，则（

）A．B．展开式的各项系数的和为C．展开式中奇数项的二项式系数的和为128D．展开式的常数项为第5项11．定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”．经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心．已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，，且有，则下列说法中正确的是（

）A．，B．方程有三个根C．若关于的方程在区间上有两解，则或D．函数图象的对称中心为三、填空题12．数列满足，且对任意的都有，则．13．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有种.（请用数字作答）14．若函数有两个极值点，则的取值范围为四、解答题15．已知函数的图象在点处的切线方程是．(1)求，的值；(2)求函数的单调区间．16．已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，，求使成立的最小的正整数的值．17．已知在的展开式中，各二项式系数和为．(1)求展开式中含的项；(2)求展开式中系数绝对值最大的项．（参考数据：）18．设是等差数列，是等比数列，满足，，且，．(1)求与的通项公式；(2)设，在平面直角坐标系中，依次连接点，，，得到折线，求由该折线与直线，，所围成的区域的面积．19．已知函数.（1）若函数在定义域内是增函数，求实数的取值范围；（2）当时，讨论方程根的个数.

广东省江门市台山一中、开侨中学两校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷参考答案题号12345678910答案CBBBBCDAADACD题号11答案ABD1．C【详解】因为的展开式共有9项，所以，故选：C．2．B【详解】因为，则，又，所以，则．故选：B．3．B【详解】由，则，则等差数列的公差，故.故选：B.4．B【详解】若某高校将4名学生分配到3所中学实习，每所中学至少分配名学生，则一定有所中学分配的学生有名，首先把名学生安排在同一所中学实习，分配方案有种，再把剩下的学生分配到对应的中学，分配方案有种，由分步乘法计数原理得分配方案有种，故B正确.故选：B5．B【详解】由题图知函数是单调递增的，则函数的图象上任意一点处的导函数值都大于零．又函数的图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以．如图，记，连接．直线的斜率．由函数图象知：，即，故选：B．6．C【详解】令，可得，所以．故选：C．7．D【详解】由，构造，，则，所以在上单调递增，故，即，故．由，构造，，则，所以在上单调递增，故，即，故．综上，．故选:D．8．A【详解】的展开式通项为，又因为，所以，，当为奇数时，；当为偶数时，.令，则，所以，，所以，又，故被除余，而被除余数为，被整除，被除余数为，被除余数为，故选：A.9．AD【详解】由函数的导函数的图象可知，当时，，当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，故选项A正确，选项B和C错误，对于D，因为，且根据上面分析得到的函数单调性，由极值的定义知，函数在处取得极大值，所以D正确．故选：AD．10．ACD【详解】因为的展开式的通项为，，则根据题意可得，即，解得或（舍去），故A正确；由A选项得，，则当，即时，为常数项，故D正确；令，则，则展开式的各项系数的和为，故B错误；展开式中奇数项的二项式系数的和为，故C正确．故选：ACD．11．ABD【详解】对于三次函数，则，若，令，则（，为的两根，且为三次函数的两个极值点），令，则，所以．依题意的极大值点和极小值点分别为，，且有，所以的对称中心为，故D正确．对于A，由，可得，，所以，即，解得，故A正确；对于B，因为，，当或时，当时，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值则的图象如图所示：由图可知与有且仅有3个交点，所以方程有三个根，故正确；对于，，若关于的方程在区间上有两解，即与在区间上有两个交点，则，故错误；故选：ABD．12．21【详解】因为，所以，当时，，其中满足，故对任意的，所以数列的通项公式为，所以．故答案为：21.13．24【详解】先将丙和丁绑在一起有种排列方法，然后将其与乙、戊进行排列有种排列方法，最后将甲插入中间两空中的一空中有种排列方法，所以不同的排列方式共有种.故答案为：24.14．【详解】由，得，∵函数有两个极值点，∴有两个零点，且在零点的两侧，导函数符号相反，令，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，有极小值也是最小值为，且当时，恒成立，当时，恒成立，画出的图象，如下：要使有两个不等实数根，则，即，经验证，满足要求.故的取值范围为．故答案为：.15．(1)，.(2)单调增区间为和，单调减区间为．【详解】（1）由题意可知，已知函数图象在处的切线方程是，所以，，解得，．（2）由（1）可知，的解析式为，则，令，解得或，令，解得或，则函数在和上单调递增，令，解得，则函数在上单调递减，综上所述，的单调增区间为和，单调减区间为．16．(1)(2)【详解】（1）当时，，由得，当时，由得，两式相减得，得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．（2）由（1）知，所以，所以，所以．又因为，所以，解得，故使成立的最小的正整数的值是.17．(1)(2)【详解】（1）由已知，，所以,，由，解得：所以，含的项为.（2）由（1）知，的展开式的通项为，设第项的系数绝对值最大，则，即，解得：，又因为，所以所以，系数绝对值最大的项为·18．(1)，．(2)．【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，即，由，得，解得，，故，所以，，从而等比数列的公比，所以是以3为首项，3为公比的等比数列，故，故，．（2）过，，，，向轴作垂线，垂足分别为，，，，，由（1）得，则，记梯形的面积为，则由题意可得，，所以则，两式相减得，，得．故由折线与直线，，所围成的区域的面积.19．（1）；（2）.【详解】（1），定义域为，由