2023-2024学年山东省济宁市高二下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省济宁市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则的元素个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】，.故选：D.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】命题“”的否定是.故选：B.3.已知随机变量，若，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】C【解析】.故选：C.4.用5种不同的颜色对如图所示的四个区域进行涂色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法有（）A.60种 B.120种 C.180种 D.240种【答案】C【解析】先对区域涂色有5种选择，再对涂色有4种选择，继续对涂色有3种选择，最后对涂色还是有3种选择，由乘法原理可知，总共有种涂色方法.故选：C.5.已知定义在上的偶函数,若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为对于任意不等实数都满足，即当时，；时，故在区间上单调递增.因为是定义在上的偶函数，则，所以不等式，又，由在区间上单调递增.则，即，解得，或，故选：D.6.已知两个变是和之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组样本数据，利用最小二乘法求得的回归方程是，其相关系数是.由于某种原因，其中一个数据丢失，将其记为，具体数据如下表所示：123450.50.61.41.5若去掉数据后，剩下的数据也成线性相关关系，其相关系数是，则（）A. B.C. D.的大小关系无法确定【答案】A【解析】由表中数据可得，由样本中心点在回归直线上，得，解得，故去掉的一组数据恰为样本中心点，故新样本数据的平均值没有变化，即仍然成立，由相关系数公式可知，则故选：A.7.已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题函数在上单调递减且的对称轴为，所以；因为函数在上单调递减且的导函数为，所以,即在上恒成立；所以，，则，所以当时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故；将代入得，代入得，所以若函数在上是减函数，则有，解得.故选：D.8.若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设，，得，，，，，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，即.设，，则，得，当，，单调递减，当，，单调递减，所以当时，函数取得最小值0，所以，即（当且仅当时等号成立）所以，所以，所以所以.故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则的最小值为9D.若，则的最大值为【答案】BD【解析】对于A，如果，则，故A错误；对于B，作差比较大小，,由于，则，则,即，故B正确.对于C,，当且仅当,即取等号，故C错误.对于D,由于，则，即，则,即，，，当且仅当取等号，故D正确.故选：BD.10.已知函数的定义域为，满足.当时，，则下列结论正确的是（）A.的图象关于直线对称B.是奇函数C.在上单调递减D.【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以的图象关于直线对称，故A正确；对于B，因为，所以，且注意到函数的定义域为，所以是偶函数；对于C，因为时，所以，，所以，所以在上单调递减，故C正确；对于D，因为，所以函数的周期是4，而，所以，故D正确.故选：ACD.11.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位.设移动次后质点位于位置，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.移动6次后质点位于原点O的概率最大【答案】ABD【解析】设随机变量表示“移动次后质点向右移动的次数”，则，由题意知，即.对于A：，A正确；对于B：，B正确；对于C：，C错误；对于D：的所有可能取值有，，当时，最大，最大，D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数为幂函数，且在区间上单调递减，则实__________.【答案】【解析】由题意得，，解得，故答案为：-113.现有6位同学报名参加学校的足球､篮球等5个不同的社团活动，每位同学只能参加一个社团，且每个社团都要有同学参加，在小华报名参加足球社团的条件下，有两名同学参加足球社团的概率为__________.【答案】【解析】设事件为小华报名参加足球社团，事件为两名同学参加足球社团，则.故答案：14.已知分别是函数和图象上的动点，则的最小值为__________.【答案】【解析】当函数在点处的切线与的图象平行时，则此时的最小值为点到直线的距离，，令，则，所以单调递增，而，，所以存在唯一的，，且使得，所以，即，，所以，点到直线的距离为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.为了解高二､1班学生数学建模能力的总体水平，王老师组织该班的50名学生（其中男生24人，女生26人）参加数学建模能力竞赛活动.（1）若将成绩在80分以上的学生定义为“有潜力的学生”，统计得到如下列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为该班学生的数学建模能力与性别有关联？没有潜力有潜力合计男生61824女生141226合计203050（2）现从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人作进一步的调研，记随机变量为这3人中男生的人数，求的分布列和数学期望.附：.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假设为：该班学生的数学建模能力与性别无关，因为，所以，依据小概率值的独立性检验，没有充分证据证明推断不成立，因此可以认为成立，即该班学生的数学建模能力与性别无关.（2）从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，其中男生有3人女生有2人，则随机变量服从超几何分布，可能取.，，.则的分布列为123所以.16.在的展开式中，第3项与第10项的二项式系数相等.（1）求的展开式中的常数项；（2）若，求.解：（1）因为，所以.所以所以的展开式中的常数项为.（2）因为，令得.二项式两边求导，得到令得.所以.17.已知定义在上的函数满足，且当时，.（1）求在上的解析式；（2）若恒成立，求实数的取值范围.解：（1）当时，，所以，所以当时，，又当时，，所以；（2）因为，所以在上为增函数，又，所以，即，设，则，令得；令得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，故，所以，即实数的取值范围为.18.已知甲､乙两位同学参加某知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答形式进行，共有7道题，抢到并回答正确者得1分，答错则对方得1分，当其中一人得分领先另一人3分或7道题全部答完时比赛结束.甲､乙两人抢到每道题的概率都是，甲正确回答每道题的概率均为，乙正确回答每道题的概率均为，且两人每道题是否回答正确均相互独立.（1）求答完前两道题后两人各得1分的概率；（2）设随机变量为比赛结束时两人的答题总个数，求的分布列和数学期望.解：（1）由题意可知，每道题都要抢题与答题，每人得分有两种情况，“本人抢到且答对”与“对方抢到且答错”.设“第道题甲得1分”，“第道题乙得1分”，“答完前两道题后两人各得1分”，则,则事件与为对立事件，与相互独立，与与互斥，所以，，.（2）随机变量的取值为.，，.所以随机变量的分布列为357所以.19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求的值；（3）在（2）的条件下，证明：.解：（1）函数的定义域为，又，①当时，在上单调递增.②当时，令得；令得所以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）①当时，在上单调递增，又，所以当时，，所以不恒成立.②当时，在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为，因为恒成立，所以只要，设，则，所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即（当且仅当时等号成立），所以当且仅当时，，所以.（3）由（2）可知，，设，下面证明，所以，令，则，所以即在上单调递增，又，，所以，使得，即，所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.所以，因为，又在上单调递减，当时，所以，，所以，所以成立.山东省济宁市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则的元素个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】，.故选：D.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】命题“”的否定是.故选：B.3.已知随机变量，若，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】C【解析】.故选：C.4.用5种不同的颜色对如图所示的四个区域进行涂色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法有（）A.60种 B.120种 C.180种 D.240种【答案】C【解析】先对区域涂色有5种选择，再对涂色有4种选择，继续对涂色有3种选择，最后对涂色还是有3种选择，由乘法原理可知，总共有种涂色方法.故选：C.5.已知定义在上的偶函数,若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为对于任意不等实数都满足，即当时，；时，故在区间上单调递增.因为是定义在上的偶函数，则，所以不等式，又，由在区间上单调递增.则，即，解得，或，故选：D.6.已知两个变是和之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组样本数据，利用最小二乘法求得的回归方程是，其相关系数是.由于某种原因，其中一个数据丢失，将其记为，具体数据如下表所示：123450.50.61.41.5若去掉数据后，剩下的数据也成线性相关关系，其相关系数是，则（）A. B.C. D.的大小关系无法确定【答案】A【解析】由表中数据可得，由样本中心点在回归直线上，得，解得，故去掉的一组数据恰为样本中心点，故新样本数据的平均值没有变化，即仍然成立，由相关系数公式可知，则故选：A.7.已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题函数在上单调递减且的对称轴为，所以；因为函数在上单调递减且的导函数为，所以,即在上恒成立；所以，，则，所以当时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故；将代入得，代入得，所以若函数在上是减函数，则有，解得.故选：D.8.若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设，，得，，，，，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，即.设，，则，得，当，，单调递减，当，，单调递减，所以当时，函数取得最小值0，所以，即（当且仅当时等号成立）所以，所以，所以所以.故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则的最小值为9D.若，则的最大值为【答案】BD【解析】对于A，如果，则，故A错误；对于B，作差比较大小，,由于，则，则,即，故B正确.对于C,，当且仅当,即取等号，故C错误.对于D,由于，则，即，则,即，，，当且仅当取等号，故D正确.故选：BD.10.已知函数的定义域为，满足.当时，，则下列结论正确的是（）A.的图象关于直线对称B.是奇函数C.在上单调递减D.【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以的图象关于直线对称，故A正确；对于B，因为，所以，且注意到函数的定义域为，所以是偶函数；对于C，因为时，所以，，所以，所以在上单调递减，故C正确；对于D，因为，所以函数的周期是4，而，所以，故D正确.故选：ACD.11.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位.设移动次后质点位于位置，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.移动6次后质点位于原点O的概率最大【答案】ABD【解析】设随机变量表示“移动次后质点向右移动的次数”，则，由题意知，即.对于A：，A正确；对于B：，B正确；对于C：，C错误；对于D：的所有可能取值有，，当时，最大，最大，D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数为幂函数，且在区间上单调递减，则实__________.【答案】【解析】由题意得，，解得，故答案为：-113.现有6位同学报名参加学校的足球､篮球等5个不同的社团活动，每位同学只能参加一个社团，且每个社团都要有同学参加，在小华报名参加足球社团的条件下，有两名同学参加足球社团的概率为__________.【答案】【解析】设事件为小华报名参加足球社团，事件为两名同学参加足球社团，则.故答案：14.已知分别是函数和图象上的动点，则的最小值为__________.【答案】【解析】当函数在点处的切线与的图象平行时，则此时的最小值为点到直线的距离，，令，则，所以单调递增，而，，所以存在唯一的，，且使得，所以，即，，所以，点到直线的距离为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.为了解高二､1班学生数学建模能力的总体水平，王老师组织该班的50名学生（其中男生24人，女生26人）参加数学建模能力竞赛活动.（1）若将成绩在80分以上的学生定义为“有潜力的学生”，统计得到如下列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为该班学生的数学建模能力与性别有关联？没有潜力有潜力合计男生61824女生141226合计203050（2）现从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人作进一步的调研，记随机变量为这3人中男生的人数，求的分布列和数学期望.附：.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假设为：该班学生的数学建模能力与性别无关，因为，所以，依据小概率值的独立性检验，没有充分证据证明推断不成立，因此可以认为成立，即该班学生的数学建模能力与性别无关.（2）从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，其中男生有3人女生有2人，则随机变量服从超几何分布，可能取.，，.则的分布列为123所以.16.在的展开式中，第3项与第10项的二项式系数相等.（1）求的展开式中的常数项；（2）若，求.解：（1）因为，所以.所以所以的展开式中的常数项为.（2）因为，令得.二项式两边求导，得到令得.所以.17.已知定义在上的函数满足，且当时，.（1）求在上的解析式；（2）若恒成立，求实数的取值范围.解：（1）当时，，所以，所以当时，，又当时，，所以；（2）因为，所以在上为增函数，又，所以，即，设，则，令得；