2023-2024学年四川省眉山市仁寿县高二下学期6月期末校际联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二下学期6月期末校际联考数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知函数（）A.12 B. C.3 D.6【答案】B【解析】，，故选：B.2.某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有（）A.120种 B.240种 C.216种 D.256种【答案】B【解析】先将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种方法，再与其余的个元素(同学)一起进行全排列有种方法，所以这样的排法一共有种方法.故选：B3.（）A.36 B.64 C.128 D.256【答案】C【解析】因为，又，两式相加得：，则.故选：C.4.已知随机变量,则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为随机变量,所以,所以.故选:C.5.展开式的常数项为（）A. B. C.42 D.43【答案】B【解析】，其中的常数项为，的常数项，所以展开式的常数项，故选：B6.根据分类变量x与y的观察数据，计算得到，依据下表给出的独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（）0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828A.有95%的把握认为变量x与y独立B.有95%的把握认为变量x与y不独立C.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10%D.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%【答案】D【解析】因为，所以变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%.故选：D.7.已知随机变量的分布列如表所示：0p其中，若，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以，，所以.所以.故选：A.8.若函数的定义域为，满足，，都有，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，，所以构造函数，则，所以在上单调递增，因为，所以，所以不等式，因为在上单调递增，所以，所以不等式的解集为，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列有关回归分析的结论中，正确的是（）A.若回归方程为，则变量y与x负相关B.运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心C.若线性相关系数越小，说明两个变量之间的线性相关性越强D.若散点图中所有点都在直线，则相关系数【答案】AB【解析】对于A，由于回归方程为，有，故变量y与x负相关，A正确；对于B，运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心，正确；对于C，线性相关系数越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，C错误；对于D，散点图中所有点都在直线，则相关系数，D错误，故选：AB10.一枚质地均匀的正方体骰子，其中1点和4点所在面为红色，其余各面均为黑色．将这枚骰子抛掷两次，记事件“向上一面的颜色均是红色”，“向上一面的颜色不相同”，“向上一面的点数之和为5”，“向上一面的点数之和为奇数”，则（）A.事件A与事件C相互独立 B.事件B与事件D相互独立C. D.【答案】BC【解析】由题可知，,，，，对于A，，，，所以事件A与事件C不独立，故A错误；对于B，，，因为，所以事件B与事件D相互独立，故B正确；对于C，，，所以，故C正确；对于D，由得，，解得，由得，，解得，所以，故D错误；故选：BC．11.对于函数，下列说法正确的是（）A.在处取得极大值为B.有两个不同的零点C.D.若在区间上恒成立，则【答案】ACD【解析】由知其定义域为，，则当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减；对于A：由上分析知，在时取得极大值，故A正确；对于B：令，解得，故函数只有一个零点，故B错误；对于C：因为，即，又，故，因为在上单调递减，则，即，故C正确；对于D：由可得，令，则，由可得，则当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.故，故得，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.以曲线拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则________．【答案】【解析】因为，所以，令，则，又因为，所以，，所以.故答案为：.13.一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是__________.【答案】【解析】两次抽取的试验的样本空间,共16个，两次抽取的卡片数字之和大于6的事件，共3个，所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是，则不大于6的概率为.故答案为：.14.设函数若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是___________.【答案】【解析】因为，令，则，令，又对任意，存在不等式恒成立，又，即，即恒成立.又，，则时，，单调递减；时，，单调递增，故；又当时，，当且仅当时，等号成立，故，又，所以，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.用二项式定理展开，（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项．解：（1）展开式的通项公式为，令，解得，则展开式的常数项为.（2）设第项的系数最大，则，解得，由于为整数，所以，所以展开式中系数最大的项为．16.袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.（1）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列；（2）若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列.解：（1）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，，所以，X的分布列为：X0123P（2）有放回地抽取3次，可看作3次独立重复试验，每次抽取到黑球的概率均为，由题意可知Y的可能取值为0，1，2，3，，所以，Y的分布列为：Y0123P17.随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展.其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计.年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份编号123456销售金额/万元15.425.435.4854155.4195.4若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：（1）试求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）；（2）试求关于的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额.（，均保留一位小数）附：经验回归方程，其中，样本相关系数参考数据：.解：（1），所以.（2）由题意，所以，所以关于的经验回归方程为，所以预测2024年2月份该公司的销售金额为万元.18.已知函数．（1）若，求函数在上的最大值和最小值；（2）讨论函数的单调性．解：（1）当时，，则，令，得或，由于，所以当，，在单调递减，所以当，，在单调递增，所以在时取到极小值，且，又因为，，综上，函数在上的最大值为，最小值为.（2）因为，所以，当，即时，，在单调递增，当，即时，令，则，所以当，，在单调递增，当，，在单调递减，当，，在单调递增.综上所述，当时，在单调递增，当时，，单调递增，在单调递减.19.对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”.（1）若数列的通项公式为,试判断数列是否为“数列”，并说明理由；（2）已知数列为等差数列，①若是“数列”，，且，求所有可能的取值；②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”.解：（1）数列的通项公式为，对任意的，都有，取，则，所以是“数列”.（2）数列为等差数列，①若是“数列”，，且，则，对任意的，，由题意存在，使得，即，显然，所以，即，.所以是8的正约数，即，时，；时；时；时.综上，的可能值为.②若对任意，存在，使得成立，所以存在，设数列公差为，则，可得，对任意，则，取，可得，所以数列是“数列”.四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二下学期6月期末校际联考数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知函数（）A.12 B. C.3 D.6【答案】B【解析】，，故选：B.2.某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有（）A.120种 B.240种 C.216种 D.256种【答案】B【解析】先将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种方法，再与其余的个元素(同学)一起进行全排列有种方法，所以这样的排法一共有种方法.故选：B3.（）A.36 B.64 C.128 D.256【答案】C【解析】因为，又，两式相加得：，则.故选：C.4.已知随机变量,则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为随机变量,所以,所以.故选:C.5.展开式的常数项为（）A. B. C.42 D.43【答案】B【解析】，其中的常数项为，的常数项，所以展开式的常数项，故选：B6.根据分类变量x与y的观察数据，计算得到，依据下表给出的独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（）0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828A.有95%的把握认为变量x与y独立B.有95%的把握认为变量x与y不独立C.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10%D.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%【答案】D【解析】因为，所以变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%.故选：D.7.已知随机变量的分布列如表所示：0p其中，若，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以，，所以.所以.故选：A.8.若函数的定义域为，满足，，都有，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，，所以构造函数，则，所以在上单调递增，因为，所以，所以不等式，因为在上单调递增，所以，所以不等式的解集为，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列有关回归分析的结论中，正确的是（）A.若回归方程为，则变量y与x负相关B.运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心C.若线性相关系数越小，说明两个变量之间的线性相关性越强D.若散点图中所有点都在直线，则相关系数【答案】AB【解析】对于A，由于回归方程为，有，故变量y与x负相关，A正确；对于B，运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心，正确；对于C，线性相关系数越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，C错误；对于D，散点图中所有点都在直线，则相关系数，D错误，故选：AB10.一枚质地均匀的正方体骰子，其中1点和4点所在面为红色，其余各面均为黑色．将这枚骰子抛掷两次，记事件“向上一面的颜色均是红色”，“向上一面的颜色不相同”，“向上一面的点数之和为5”，“向上一面的点数之和为奇数”，则（）A.事件A与事件C相互独立 B.事件B与事件D相互独立C. D.【答案】BC【解析】由题可知，,，，，对于A，，，，所以事件A与事件C不独立，故A错误；对于B，，，因为，所以事件B与事件D相互独立，故B正确；对于C，，，所以，故C正确；对于D，由得，，解得，由得，，解得，所以，故D错误；故选：BC．11.对于函数，下列说法正确的是（）A.在处取得极大值为B.有两个不同的零点C.D.若在区间上恒成立，则【答案】ACD【解析】由知其定义域为，，则当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减；对于A：由上分析知，在时取得极大值，故A正确；对于B：令，解得，故函数只有一个零点，故B错误；对于C：因为，即，又，故，因为在上单调递减，则，即，故C正确；对于D：由可得，令，则，由可得，则当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.故，故得，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.以曲线拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则________．【答案】【解析】因为，所以，令，则，又因为，所以，，所以.故答案为：.13.一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是__________.【答案】【解析】两次抽取的试验的样本空间,共16个，两次抽取的卡片数字之和大于6的事件，共3个，所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是，则不大于6的概率为.故答案为：.14.设函数若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是___________.【答案】【解析】因为，令，则，令，又对任意，存在不等式恒成立，又，即，即恒成立.又，，则时，，单调递减；时，，单调递增，故；又当时，，当且仅当时，等号成立，故，又，所以，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.用二项式定理展开，（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项．解：（1）展开式的通项公式为，令，解得，则展开式的常数项为.（2）设第项的系数最大，则，解得，由于为整数，所以，所以展开式中系数最大的项为．16.袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.（1）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列；（2）若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列.解：（1）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，，所以，X的分布列为：X0123P（2）有放回地抽取3次，可看作3次独立重复试验，每次抽取到黑球的概率均为，由题意可知Y的可能取值为0，1，2，3，，所以，Y的分布列为：Y0123P17.随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展.其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计.年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月