2023-2024学年云南省高二下学期期末教学模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1云南省2023-2024学年高二下学期期末教学模拟考试数学试题注意事项：1．考生务必将自己的姓名．考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应答题时，将答案写在黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，则．故选：C2.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C D.【答案】A【解析】由，得，所以，即双曲线的渐近线方程为.故选：A3.虚数z满足，则z的虚部为（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】解法一：设复数,则，化简得，故，即①，②此时，对于选项中的值，代入：若，则，符合要求，若，由②得，但不符合①，故舍去，若，由②得，但不符合①，故舍去，若，由②得，但不符合①，故舍去，综上可得故选：A解法二：由可得，故，故或，由于为虚数，故，故虚部为1，故选：A4.已知两个变量与的对应关系如下表：135796183953若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（）A.29 B.30 C.31 D.32【答案】A【解析】由表格数据得，因为样本中心点在回归方程上，所以，解得.故选：A.5.已知，是两个平面，m，n，l是三条直线，且，，，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于这个平面，若，且，但如果直线与不相交，则不能得到，从而不能推出；如果两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，若，由于，，，则，又，所以.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.6.已知直线：与圆：交于，两点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知圆心，半径，点到直线的距离，则，所以为等边三角形，故．故选：C7.3名男生和3名女生随机站成一排，恰有2名女生相邻，则不同的排法种数为（）A.332 B.360 C.432 D.488【答案】C【解析】先选出2名女生排列有种排法，再将男生全排有种排法，最后将女生插空，则不同的排法种数为.故选：C8.已知是抛物线的准线，与轴交于点是上一点，直线的斜率的最大值为（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】易知，当直线与相切时，设的方程为，与联立，可得，则，解得，故直线的斜率的最大值为1.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则下列结论正确的是（）A.是的一个周期 B.的图象关于点对称C.为奇函数 D.在区间上的最大值为3【答案】BD【解析】对于A：函数的最小正周期为，故A错误；对于B：因为，所以图象关于点对称，故B正确；对于C：不是奇函数，故C错误；对于D：当时，，所以当，即时，取得最大值3，故D正确.故选：BD10.已知等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（）A.B.若，则C.当时，取得最小值D.当时，满足的最大整数的值为25【答案】ABD【解析】因为，所以，即，所以，故A正确．因为，，成等差数列，所以，而，则，故B正确．因为，由得，即，所以，所以对称轴为：，所以当时，开口向上，当，取得最小值，当时，开口向下，当，取得最大值，故C错误．因，数列单调递增，所以，，则，，又因为，所以当时，满足的最大整数的值为25，D正确．故选：ABD11.已知球的直径为，，，为球面上的三点，平面．若是边长为的等边三角形，且，则下列说法正确的是（）A.球的体积为B.二面角的正切值为C.平面与平面的夹角为D.过中点的平面截球所得截面面积的最小值为【答案】ACD【解析】设，因为平面，所以三棱锥和均为正三棱锥．如图，取的中点，底面的中心为，连接，，，则，，，所以为二面角的平面角，为侧面与底面所成二面角的平面角．由，，可得，，，，，所以，解得，所以球的体积为，故A正确．因为，，，所以，，所以，即二面角的正切值为，故B错误．因为，所以平面与平面所成的角为，故C正确．最小截面为过点且垂直于球心与连线的圆，此时截面圆的半径，截面圆的面积为，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12.若，的等差中项为，，的等比中项为1，则__________．【答案】【解析】因为，的等差中项为，知，由，等比中项为1，所以，所以．故答案为：13.已知函数满足，若，则________.【答案】99【解析】由题可知：，令，可得，即，所以.故答案为：99.14.设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则__________.【答案】-1【解析】因为与互为反函数，其图象关于直线对称，又点在曲线上，点在曲线上，的最小值为，所以曲线上的点到直线的最小距离为，设与直线平行且与曲线相切的切线的切点，，解得，所以，得到切点，点到直线即的距离，解得或3.当时，过点和，过点和，又，，所以与相交，不符合题意；当时，令，则，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即恒成立，所以与不相交，符合题意.综上，.故答案为：-1.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角，，的对边分别为，，，且．（1）若，，成等差数列，求的面积；（2）若，，成等比数列，求当取得最大值时，的周长．解：（1）由及正弦定理，得，则，解得．因为，，成等差数列，所以，则，所以．故的面积．（2）因为，，成等比数列，所以，结合（1）有．由余弦定理可知，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，此时，故的周长为3．16.如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，侧面平面分别为的中点．（1）证明：平面．（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）连接，设与相交于点，因为，，所以为平行四边形，即为的中点．连接，因为为的中点，所以．因为平面平面，所以平面．（2）因为，所以．因为平面平面，平面平面平面，所以平面．取的中点，连接．因为是等腰梯形，所以．以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以．设平面的法向量为，则令，则，可得．所以直线与平面所成角的正弦值为．17.已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）不经过点的直线与椭圆交于，两点，若直线和的斜率互为相反数，证明：直线的斜率为定值．解：（1）因为，所以．又在上，所以，解得，，则椭圆的方程为．（2）由题可知，直线的斜率显然存在，设的方程为，，，则，得，则，，．又，整理可得，化简得，即，所以或．当时，直线过点，不符合题意，所以，即直线的斜率为定值．18.学校组织一项竞赛，在初赛中有三轮答题，三轮答题相互独立，三轮答题至少两轮合格即视为通过初赛，进入决赛.已知甲在初赛中每轮答题合格的概率均为.（1）求甲在通过初赛的条件下，第三轮答题没有合格的概率.（2）已知决赛共有五道题，参赛人从中抽出三道题回答，每题的分值如下：分值1020202030答对该试题可得相应的分值，答错不得分，得分不低于60分可以获得一等奖.已知参加决赛的学生乙答对题的概率为，答对题的概率均为，答对题的概率为，求乙获得一等奖的概率.解：（1）设事件为甲通过了初赛，事件为甲第三轮答题没有合格，则，，所以甲在通过初赛的条件下，第三轮答题没有合格的概率为（2）若乙在中只抽到了一题，则获得一等奖的概率；若乙在中抽到了两题，则获得一等奖的概率若乙在中抽到了三题，则获得一等奖的概率故乙获得一等奖的概率.19.若存在正实数，对任意，使得，则称函数在上被控制．（1）已知函数在上被控制，求取值范围．（2）①证明：函数在上被控制．②设，证明：．解：（1）因为在上单调递增，所以．由，可得．令，，则．当时，由，得，所以当时，，函数单调递减，，不符合题意；当时，，因为，所以，则，所以函数在上单调递增，，符合题意．综上，的取值范围为．（2）①由题可知在上恒成立，所以在上单调递增，则．令，，则，所以在上单调递增，则，即，所以．故在上被控制．②由①可知，当时，，当且仅当时，等号成立，则，即，即，则有，即．云南省2023-2024学年高二下学期期末教学模拟考试数学试题注意事项：1．考生务必将自己的姓名．考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应答题时，将答案写在黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，则．故选：C2.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C D.【答案】A【解析】由，得，所以，即双曲线的渐近线方程为.故选：A3.虚数z满足，则z的虚部为（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】解法一：设复数,则，化简得，故，即①，②此时，对于选项中的值，代入：若，则，符合要求，若，由②得，但不符合①，故舍去，若，由②得，但不符合①，故舍去，若，由②得，但不符合①，故舍去，综上可得故选：A解法二：由可得，故，故或，由于为虚数，故，故虚部为1，故选：A4.已知两个变量与的对应关系如下表：135796183953若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（）A.29 B.30 C.31 D.32【答案】A【解析】由表格数据得，因为样本中心点在回归方程上，所以，解得.故选：A.5.已知，是两个平面，m，n，l是三条直线，且，，，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于这个平面，若，且，但如果直线与不相交，则不能得到，从而不能推出；如果两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，若，由于，，，则，又，所以.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.6.已知直线：与圆：交于，两点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知圆心，半径，点到直线的距离，则，所以为等边三角形，故．故选：C7.3名男生和3名女生随机站成一排，恰有2名女生相邻，则不同的排法种数为（）A.332 B.360 C.432 D.488【答案】C【解析】先选出2名女生排列有种排法，再将男生全排有种排法，最后将女生插空，则不同的排法种数为.故选：C8.已知是抛物线的准线，与轴交于点是上一点，直线的斜率的最大值为（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】易知，当直线与相切时，设的方程为，与联立，可得，则，解得，故直线的斜率的最大值为1.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则下列结论正确的是（）A.是的一个周期 B.的图象关于点对称C.为奇函数 D.在区间上的最大值为3【答案】BD【解析】对于A：函数的最小正周期为，故A错误；对于B：因为，所以图象关于点对称，故B正确；对于C：不是奇函数，故C错误；对于D：当时，，所以当，即时，取得最大值3，故D正确.故选：BD10.已知等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（）A.B.若，则C.当时，取得最小值D.当时，满足的最大整数的值为25【答案】ABD【解析】因为，所以，即，所以，故A正确．因为，，成等差数列，所以，而，则，故B正确．因为，由得，即，所以，所以对称轴为：，所以当时，开口向上，当，取得最小值，当时，开口向下，当，取得最大值，故C错误．因，数列单调递增，所以，，则，，又因为，所以当时，满足的最大整数的值为25，D正确．故选：ABD11.已知球的直径为，，，为球面上的三点，平面．若是边长为的等边三角形，且，则下列说法正确的是（）A.球的体积为B.二面角的正切值为C.平面与平面的夹角为D.过中点的平面截球所得截面面积的最小值为【答案】ACD【解析】设，因为平面，所以三棱锥和均为正三棱锥．如图，取的中点，底面的中心为，连接，，，则，，，所以为二面角的平面角，为侧面与底面所成二面角的平面角．由，，可得，，，，，所以，解得，所以球的体积为，故A正确．因为，，，所以，，所以，即二面角的正切值为，故B错误．因为，所以平面与平面所成的角为，故C正确．最小截面为过点且垂直于球心与连线的圆，此时截面圆的半径，截面圆的面积为，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12.若，的等差中项为，，的等比中项为1，则__________．【答案】【解析】因为，的等差中项为，知，由，等比中项为1，所以，所以．故答案为：13.已知函数满足，若，则________.【答案】99【解析】由题可知：，令，可得，即，所以.故答案为：99.14.设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则__________.【答案】-1【解析】因为与互为反函数，其图象关于直线对称，又点在曲线上，点在曲线上，的最小值为，所以曲线上的点到直线的最小距离为，设与直线平行且与曲线相切的切线的切点，，解得，所以，得到切点，点到直线即的距离，解得或3.当时，过点和，过点和，又，，所以与相交，不符合题意；当时，令，则，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即恒成立，所以与不相交，符合题意.综上，.故答案为：-1.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角，，的对边分别为，，，且．（1）若，，成等差数列，求的面积；（2）若，，成等比数列，求当取得最大值时，的周长．解：（1）由及正弦定理，得，则，解得．因为，，成等差数列，所以，则，所以．故的面积．（2）因为，，成等比数列，所以，结合（1）有．由余弦定理可知，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，此时，故的周长为3．16.如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，侧面平面分别为的中点．（1）证明：平面．（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）连接，设与相交于点，因为，，所以为平行四边形，即为的中点．连接，因为为的中点，所以．因为平面平面，所以平面．（2）因为，所以．因为平面平面，平面平面平面，所以平面．取的中点，连接．因为是等腰梯形，所以．以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以．设平面的法向量为，则令，则，可得．所以直线与平面所成角的正弦值为．17.已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）不经过点的直线与椭圆交于，两点，若直线和的斜率互为相反数