2 1 函数的概念及表示-高考数学真题分类 十年高考

专题二函数及其性质2.1函数的概念及表示考点一函数的概念及表示1.(2024新课标Ⅰ,8,5分,中)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是()A.f(10)>100 B.f(20)>1000 C.f(10)<1000 D.f(20)<100008B当x<3时,f(x)=x,因此,f(1)=1,f(2)=2,又f(x)>f(x-1)+f(x-2),∴f(3)>f(2)+f(1)=2+1=3,f(4)>f(3)+f(2)>3+2=5,……,以此类推知f(10)>89,……,f(16)>1597,……,f(20)>10946,因此B正确,D错误;取f(3)=1000,可知选项C错误;不妨设f(x)=f(x-1)+f(x-2)+λ(λ>0),则f(3)=f(2)+f(1)+λ=3+λ,f(4)=f(3)+f(2)+λ=5+2λ,……,f(10)=89+54λ,令f(10)<100,得89+54λ<100,∴λ<1154,因此当λ<1154时,f(10)<100,选项A错误.2.(2024新课标Ⅱ,8,5分,中)设函数f(x)=(x+a)·ln(x+b).若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为()A.18 B.14 C.18Cf(x)≥0⇔x+a≥0与ln(x+b)≥0的解集相同,①或x+a≤0与ln(x+b)≤0的解集相同.②由①得,x≥-a与x≥1-b的解集相同,因此,-a=1-b,即b=1+a,由②得,-b<x≤-a与-b<x≤1-b的解集相同,因此,-a=1-b,即b=1+a,综上所述,b=1+a.∴a2+b2=a2+(1+a)2=2a+122+123.(2015湖北文,7,5分)设x∈R,定义符号函数sgnx=1,x>0,A.|x|=x|sgnx|B.|x|=xsgn|x|C.|x|=|x|sgnxD.|x|=xsgnx答案D由已知可知xsgnx=x,x>0,0,x=0,−x,4.(2014江西理,3,5分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=()A.1B.2C.3D.-1答案A由已知条件可知:f[g(1)]=f(a-1)=5|a-1|=1,∴|a-1|=0,得a=1.故选A.评析本题主要考查函数的解析式,正确理解函数的定义是解题关键.5.(2017山东理,1,5分)设函数y=4−x2的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)答案D由4-x2≥0,解得-2≤x≤2,由1-x>0,解得x<1,∴A∩B={x|-2≤x<1}.故选D.6.(2015重庆文,3,5分)函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是()A.[-3,1]B.(-3,1)C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)答案D由x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,故选D.7.(2015湖北文,6,5分)函数f(x)=4−|x|A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6]答案C要使函数f(x)有意义,需满足4即|x|≤4,(x−3)(8.(2014山东理,3,5分)函数f(x)=1(loA.0,1C.0,12∪(2,+∞)D.0,答案C要使函数f(x)有意义,需使(log2x)2-1>0,即(log2x)2>1,∴log2x>1或log2x<-1.解之得x>2或0<x<12故f(x)的定义域为0,129.(2016课标Ⅱ文,10,5分)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是()A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y=1答案D函数y=10lgx的定义域、值域均为(0,+∞),而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lgx的值域为R,排除B,故选D.易错警示利用对数恒等式将函数y=10lgx变为y=x,将其值域认为是R是失分的主要原因.评析本题考查函数的定义域和值域,熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解题的关键.10.(2022北京,4,4分)已知函数f(x)=11+2x,则对任意实数x,有(A.f(-x)+f(x)=0B.f(-x)-f(x)=0C.f(-x)+f(x)=1D.f(-x)-f(x)=1答案C∵f(x)=11+2x,∴f(-x)=11+2−x=2x2x+1,∴f(x)一题多解:若对任意实数x,使得选项中式子成立,则可任取x值,代入验证,进行排除.当x=0时,f(0)+f(0)=12+12=1,f(0)-f(0)=0,故A,D选项错误.当x=1时,f(-1)-f(1)=11+2−1−11.(2022北京,11,5分)函数f(x)=1x+1−答案(-∞,0)∪(0,1]解析由题意得x≠0,1−x≥0,解得x≤1且x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(012.(2015课标Ⅱ文,13,5分)已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),则a=.

答案-2解析因为函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),所以4=a×(-1)3-2×(-1),故a=-2.13.(2016江苏,5,5分)函数y=3−2x−x答案[-3,1]解析若函数有意义,则3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.考点二分段函数1.(2015陕西文,4,5分)设f(x)=1−xA.-1B.14C.12答案C∵f(-2)=2-2=14,∴f(f(-2))=f14=1-14=12.(2015山东文,10,5分)设函数f(x)=3x−b,x<1,A.1B.78C.34答案Df56=3×56-b=当52-b≥1,即b≤32时,f52即252−b=4=22,得到52当52-b<1,即b>32时,f52−b即152-4b=4,得到b=78<32综上,b=12,故选3.(2014江西文,4,5分)已知函数f(x)=a·2x,x≥0,2−xA.14B.1答案A由f[f(-1)]=f(2)=4a=1,得a=14,故选4.(2022浙江,14,6分)已知函数f(x)=−x2+2,x≤1,x+1x−1,x>1,则ff12=;若当x∈[a,b]时答案3728;3+解析∵f12∴ff1f(x)的大致图象如图.∵当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,∴由图可得b>1且b+1b-1=3,∴b=2+3∵f(a)=1,∴-a2+2=1,解得a=1或a=-1,∴(b-a)max=2+3-(-1)=3+3.一题多解:第二空:∵当x≤1时,y=-x2+2≤2,∴f(x)=3⇒x+1x-1=3(x>1),故x=2+3令-x2+2=