10.4 三元一次方程组的解法 2025年春初中数学人教版七年级下册教案

10.4三元一次方程组的解法一、教学目标1.了解三元一次方程组的概念.2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想.3.会解较复杂的三元一次方程组.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】1.三元一次方程组的解法.2.三元一次方程组的应用.【教学难点】三元一次方程组的应用.五、课前准备教师：课件.学生：铅笔、练习本.六、教学过程（一）导入新课1.解二元一次方程组有哪几种方法？代入消元法和加减消元法2.解二元一次方程组的基本思路是什么？化二元为一元【思考】若含有3个未知数的方程组如何求解？（二）探索新知1.探究三元一次方程组的概念教师出示问题：在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2，按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.那么这支球队胜、平、负各多少场？教师问：题目中有几个条件？学生答：题目中共有3个条件.教师问：问题中有几个未知量？学生答：问题中有3个未知量.教师问：题目中有哪些数量关系呢？教师依次展示学生答案：学生1答：胜的场数+平的场数+负的场数=22.学生2答：胜的分数+平的分数+负的分数=47.学生3答：胜的场数=负的场数×4+2.教师总结如下：（1）胜的场数+平的场数+负的场数=22.（2）胜的分数+平的分数+负的分数=47.（）胜的场数=负的场数×4+2.教师问：你能利用表格表示上面的数量关系吗？学生答：如下表所示.比赛结果场数分数胜x3x平yy负z0合计2247注胜的场数比负的场数的4倍多2，即x=4z+2教师问：观察上表，你能得到几个方程呢？师生共同解答.在这个题目中，要我们求的有三个未知数，我们自然会想到设这个球队胜、平、负的场数分别为x，y，z，根据题意,可以得到下列三个方程:x+y+z=22,3x+y=47,x=4z+2.教师问：根据等量关系你能列出方程组吗？学生答：对于这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把三个方程合在一起写成x+y+z=22,3x+y=47,x=4z+2.教师问：这个方程组含有几个未知数呢？学生答：这个方程组中含有3个未知数.教师问：这个方程组里每一个方程所含未知数的次数都是几呢？学生答：这个方程组里每一个方程所含未知数的次数都是1.教师问：仿照前面学习的二元一次方程组的定义，你能给这个方程组下定义吗？学生答：含有三个一次方程并且有三个一次未知数的方程组，叫作三元一次方程组.总结点拨：由此，我们得出三元一次方程组的定义含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．考点1：三元一次方程组的判断下列是三元一次方程组的是()A.B.C.D.学生独立思考后，师生共同解答.解析：A选项中，方程x²+y＝7中含未知数的项的次数为2，不符合三元一次方程组的定义，故A选项不是；B选项中4x不是整式，故B选项不是；C选项中,方程xyz＝1中含未知数的项的次数为3，不符合三元一次方程组的定义，故C选项不是；D选项符合三元一次方程组的定义．故答案为D.答案：D总结点拨：满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程．学生自主练习后口答，教师订正.2.出示课件11，探究三元一次方程组的解法教师问：类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解.怎样解三元一次方程组呢例如：学生答：通过消元转化一元一次方程来解答.教师问：能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？学生答：可以的，利用代入法和加减法把“三元”化成“二元”，再像以前解二元一方程组一样，通过消元转化为一元一次方程来解答即可.考点2：三元一次方程组的解法解三元一次方程组3x+4z=7,①学生独立思考后，师生共同解答.分析：方程①中只含x,z,因此,可以由②③消去y,得到一个只含x,z的方程,与方程①组成一个二元一次方程组.解：②×3＋③，得11x＋10z=35.④与④组成方程组3x+4z=7,11x+10z=35.解这个方程组，得x=5,z=-2.把x＝5，z＝-2代入②，得y=13.因此，三元一次方程组的解为x总结点拨：解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.三元一次方程组消元二元一次方程组消元一元一次方程

学生自主练习后口答，教师订正.考点3：利用三元一次方程组求字母的值在等式y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时，y=60，求a，b，c的值.学生独立思考后，师生共同解答.解:根据题意，得三元一次方程组

a－①，得a＋b=1;④

③－①，得4a＋b=10.⑤

④与⑤组成二元一次方程组a+b=1,4a+b=10.解这个方程组，得a=3,把a＝3，b＝-2代入①，得c=-5.因此a,b,c的值分别为3，-2，-5.学生自主练习，教师给出答案.考点4：三元一次方程组的应用一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的.如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数.学生独立思考后，师生共同解答.分析：把这个三位数各位上的数看成三个未知数，则根据题目中的三个相等关系，可以列三元一次方程组.解:设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z.根据题意,得解这个方程组，得因此这个三位数是473.学生自主练习，教师给出答案.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.（三）课堂练习略（四）课堂小结三元一次方程组三元一次方程组的概念含有三个未知数含有未知数的式子都是整式每个方程中含未知数的项的次数都是1一共有三个方程三元一次方程组的解法通过代入消元法或加减消元法转化为二元一次方程组三元一次方程组的应用（五）课前预习预习下节课11.1.1的相关内容.知道不等式