2024-2025学年北京市顺义区高一上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市顺义区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题.1.已知集合，则集合（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，所以.故选：B.2.下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A：函数在上单调递减，A选项错误；对于B：函数定义域为关于原点对称，且，所以是奇函数不是偶函数，B选项错误；对于C：函数在单调递减，C选项错误；对于D：函数定义域为关于原点对称，且，所以为偶函数，时，单调递增，D选项正确.故选：D.3.命题，都有，则命题的否定为（）A.，使得 B.，都有C.，使得 D.，都有【答案】C【解析】由题意可得.故选：C.4.已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】对于A：因为，左右乘以，所以，所以，故A正确；对于B：由图可得，左右乘以，所以，所以B错误；对于C：因为，所以，故C错误；对于D：因为，取，所以，故D错误.故选：A.5.设，则的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，所以.故选：C.6.函数的零点所在的大致区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】将代入函数，.把代入函数，则.由于，，满足，且内图像连续，根据零点存在定理可知函数在区间内有零点，故A正确.将代入函数，得到.因为，，则，所以函数在区间不一定有零点.把代入函数，可得.由于，，即，所以函数在区间内不一定有零点.将代入函数，得到.因为，，则，所以函数在区间内不一定有零点.再由于中，时，单调递增，单调递增，则时，随着变大增大.综上所得，函数的零点所在的大致区间是.故选：A.7.已知均为第二象限角，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】在第二象限，余弦函数值是负数且单调递减，正弦函数值是正数且单调递减.已知α，β均为第二象限角，当时，根据余弦函数在第二象限的单调性可知.因为正弦函数在第二象限单调递减，当时，可得.这说明由可以推出.当时，根据正弦函数在第二象限单调递减可知，再根据余弦函数在第二象限单调递减，可得.说明由也可以推出.所以“”是“”的充分必要条件.故选：C.8.通过科学研究发现：地震时释放的能里（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9.2级地震，2019年乙地发生里氏7.4级地震，若甲，乙两地地震释放能量分别为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意：，，所以.故选：D.9.给出下列四个结论，其中正确的是（）A.若为第一象限角，且，则B.函数的定义域为C.函数在上的最大值为D.函数的最小正周期为【答案】B【解析】对于A，，满足第一象限角，而，错；对于B，由，可得，故定义域为，对；对于C：当时，函数值为：，错；对于D：由周期公式可知最小正周期为，错.故选：B.10.对于函数，若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，，即.因为，且.若，当时：对于，令，，，，，通过分析函数与的图象可知，在时，最多有个解.要使中恰有个元素，则（且）必须有一个解，（且）必须有一个解.由（），通过分析函数与的图象，当时满足恰有个解.若，当时，与相等的情况会使得满足且的元素个数多于个.综上所得，的取值范围是.故选：B.二、填空题.11.函数的定义域是___________.【答案】【解析】由题知，函数，所以，解得，所以定义域为.12.已知幂函数的图象过点，则____________.【答案】3【解析】设，则，，即，∴．13.已知函数，那么当__________时，函数取得最小值且最小值为__________.【答案】25【解析】因，所以函数，当且仅当，即时取最小值5.14.若点关于x轴的对称点为，则角α的一个取值为________.【答案】（答案不唯一）【解析】因为点关于x轴的对称点为，所以有，由可得：，由可得：或，显然无实数解，由，于是当时，即，符合题意.15.已知函数，给出下列四个结论：①函数的图象经过原点但不关于原点对称；②是周期函数且在区间上单调递增；③函数的图象是轴对称图形；④函数有最大值也有最小值，且最大值为1.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①③④【解析】由有：，故①正确；令，周期为，令，可知不是周期函数，所以不是周期函数，故②错误；，所以，所以，故的图像关于对称，故③正确；由，当时，，又因为是连续函数，当时，，所以有最小值，即函数有最大值也有最小值，且最大值为1，故④正确.三、解答题.16.已知全集，集合.（1）若，求集合；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）由，解得或，可得或，若，则，所以或.（2）由（1）知可得或，所以，又因为，若，则实数的取值范围是.17.已知函数的图象过点.（1）求及的最小正周期；（2）求的单调递增区间.解：（1）因为的图象过点，所以即，化简得即所以.的最小正周期：.（2）由（1）可知，令，因为的单调递增区间为，所以令，，解得，所以的单调递增区间为.18.在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与坐标原点重合，始边均为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，且两点关于轴对称.（1）若点的纵坐标为，求的值；（2）若，求的最小值.解：（1）因为点的纵坐标为，所以.又.因为，所以.（2）因为，所以，所以.所以.所以当时，取最小值为.19.已知函数，且函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）设函数，判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断；（3）设函数，写出函数的零点个数.（结论不要求证明）解：（1）令，解得，所以函数的定义域为.由于函数是奇函数，所以函数在其定义域内满足，则.整理得：，注意到对任意的上式均成立，可得，解得.（2）因为，可知函数在区间上单调递增.证明如下（方法一）：对任意，且，则.因为，可得，即，所以函数在区间上单调递增.证明单调性（方法二）：对任意，且，则因为，可得，即，所以函数在区间上单调递增.（3）由题意得，根据第(2)小问得在区间上单调递增，又函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，当时，F12当时，，根据零点存在定理得在区间上存在一个零点，同理可得在区间上存在一个零点，所以函数有2个零点.20.某学校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系.满足的条件如下：①函数是区间上的增函数；②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；③每天运动时间为10分钟时，当天得分为2分；④每天运动时间为30分钟时，当天得分不超过5分.现有以下三个函数模型供选择：①；②；③.（1）请你根据条件从中选择一个合适的函数模型（不必说明理由），并求出函数的解析式；（2）若每位学生每天得分不少于5分，求该学生每天至少需要锻炼的时间.（注：，结果保留整数）.解：（1）选择模型①，由函数过点，得，则，当时，，不符合题意；选择模型③，由函数过点，得，则，当时，，不符合题意；选择模型②，由函数过点，得，解得，此时函数的解析式为，当时，，符合题意，所以函数的解析式为.（2）由（1）知，由每位学生每天得分不少于5分，得，即，则，解得，所以若每位学生每天得分不少于5分，该学生每天至少篅要锻炼47分钟.21.“函数图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”.若函数的图象关于点对称，且当时，.（1）求的值；（2）设函数.（i）证明函数的图象关于点对称；（ii）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.解：（1）因为函数的图象关于点对称，所以，所以.（2）（i）因为，所以.所以，即对任意，都有成立故的图象关于点对称.（ii）因为，所以在区间上单调递增，所以在区间上的值域为.记在上的值域为集合在上的值域为集合.由于对任意，总存在，使得成立，所以.由的对称性可知，只需，①当，即时，函数在上单调送增，因为，所以，所以.②当，即时，在上单调遂减，在上单调递增，因为，所以，即，解得，又因为所以.③当，即时，函数在上单调递减，所以，结合，得.综上，实数的取值范围为.北京市顺义区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题.1.已知集合，则集合（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，所以.故选：B.2.下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A：函数在上单调递减，A选项错误；对于B：函数定义域为关于原点对称，且，所以是奇函数不是偶函数，B选项错误；对于C：函数在单调递减，C选项错误；对于D：函数定义域为关于原点对称，且，所以为偶函数，时，单调递增，D选项正确.故选：D.3.命题，都有，则命题的否定为（）A.，使得 B.，都有C.，使得 D.，都有【答案】C【解析】由题意可得.故选：C.4.已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】对于A：因为，左右乘以，所以，所以，故A正确；对于B：由图可得，左右乘以，所以，所以B错误；对于C：因为，所以，故C错误；对于D：因为，取，所以，故D错误.故选：A.5.设，则的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，所以.故选：C.6.函数的零点所在的大致区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】将代入函数，.把代入函数，则.由于，，满足，且内图像连续，根据零点存在定理可知函数在区间内有零点，故A正确.将代入函数，得到.因为，，则，所以函数在区间不一定有零点.把代入函数，可得.由于，，即，所以函数在区间内不一定有零点.将代入函数，得到.因为，，则，所以函数在区间内不一定有零点.再由于中，时，单调递增，单调递增，则时，随着变大增大.综上所得，函数的零点所在的大致区间是.故选：A.7.已知均为第二象限角，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】在第二象限，余弦函数值是负数且单调递减，正弦函数值是正数且单调递减.已知α，β均为第二象限角，当时，根据余弦函数在第二象限的单调性可知.因为正弦函数在第二象限单调递减，当时，可得.这说明由可以推出.当时，根据正弦函数在第二象限单调递减可知，再根据余弦函数在第二象限单调递减，可得.说明由也可以推出.所以“”是“”的充分必要条件.故选：C.8.通过科学研究发现：地震时释放的能里（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9.2级地震，2019年乙地发生里氏7.4级地震，若甲，乙两地地震释放能量分别为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意：，，所以.故选：D.9.给出下列四个结论，其中正确的是（）A.若为第一象限角，且，则B.函数的定义域为C.函数在上的最大值为D.函数的最小正周期为【答案】B【解析】对于A，，满足第一象限角，而，错；对于B，由，可得，故定义域为，对；对于C：当时，函数值为：，错；对于D：由周期公式可知最小正周期为，错.故选：B.10.对于函数，若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，，即.因为，且.若，当时：对于，令，，，，，通过分析函数与的图象可知，在时，最多有个解.要使中恰有个元素，则（且）必须有一个解，（且）必须有一个解.由（），通过分析函数与的图象，当时满足恰有个解.若，当时，与相等的情况会使得满足且的元素个数多于个.综上所得，的取值范围是.故选：B.二、填空题.11.函数的定义域是___________.【答案】【解析】由题知，函数，所以，解得，所以定义域为.12.已知幂函数的图象过点，则____________.【答案】3【解析】设，则，，即，∴．13.已知函数，那么当__________时，函数取得最小值且最小值为__________.【答案】25【解析】因，所以函数，当且仅当，即时取最小值5.14.若点关于x轴的对称点为，则角α的一个取值为________.【答案】（答案不唯一）【解析】因为点关于x轴的对称点为，所以有，由可得：，由可得：或，显然无实数解，由，于是当时，即，符合题意.15.已知函数，给出下列四个结论：①函数的图象经过原点但不关于原点对称；②是周期函数且在区间上单调递增；③函数的图象是轴对称图形；④函数有最大值也有最小值，且最大值为1.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①③④【解析】由有：，故①正确；令，周期为，令，可知不是周期函数，所以不是周期函数，故②错误；，所以，所以，故的图像关于对称，故③正确；由，当时，，又因为是连续函数，当时，，所以有最小值，即函数有最大值也有最小值，且最大值为1，故④正确.三、解答题.16.已知全集，集合.（1）若，求集合；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）由，解得或，可得或，若，则，所以或.（2）由（1）知可得或，所以，又因为，若，则实数的取值范围是.17.已知函数的图象过点.（1）求及的最小正周期；（2）求的单调递增区间.解：（1）因为的图象过点，所以即，化简得即所以.的最小正周期：.（2）由（1）可知，令，因为的单调递增区间为，所以令，，解得，所以的单调递增区间为.18.在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与坐标原点重合，始边均为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，且两点关于轴对称.（1）若点的纵坐标为，求的值；（2）若，求的最小值.解：（1）因为点的纵坐标为，所以.又.因为，所以.（2）因为，所以，所以.所以.所以当时，取最小值为.19.已知函数，且函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）设函数，判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断；（3）设函数，写出函数的零点个数.（结论不要求证明）解：（1）令，解得，所以函数的定义域为.由于函数是奇函数，所以函数在其定义域内满足，则.整理得：，注意到对任意的上式均成立，可得，解得.（2）因为，可知函数在区间上单调递增.证明如下（方法一）：对任意，且，则.因为，可得，即，所以函数在区间上单调递增.证明单调性（方法二）：对任意，且，则因为，可得，即，所以函数在区间上单调递增.（3）由题意得，根据第(2)小问得在区间上单调递增，又函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，当时，F12当时，，根据零点存在定理得在区间上存在一个零点，同理可得在区间上存在一个零点，所以函数有2个零点.20.某学校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函