2024-2025学年北京市延庆区高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市延庆区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，，所以.故选：D2.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以，故选：D.3.已知全集且，则集合中元素有（）A.2个 B.4个 C.5个 D.7个【答案】B【解析】依题意，，解不等式，得，则，所以，集合中的元素有4个.故选：B4.已知集合满足，则有（）A.2个 B.4个 C.5个 D.7个【答案】D【解析】集合满足，则集合可视为集合与集合的每个真子集的并集，而集合的真子集个数为，所以有7个.故选：D5.若和，则和的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以，当且仅当时取等号，所以，故选：C6.设，且，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于A，取，满足，而，A错误；对于B，取满足，而，B错误；对于C，取满足，而，C错误；对于D，由不等式性质知，由，得，D正确.故选：D7.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A. B.C.， D.【答案】A【解析】对于选项A，因为，定义域为，关于原点对称，又，所以是偶函数，又由幂函数的性质知在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，故选项A正确，对于选项B，因为图象不关于轴对称，即不是偶函数，所以选项B错误，对于选项C，因为，的定义域不关于原点对称，即，是非奇非偶函数，所以选项C错误，对于选项D，当时，在区间上单调递减，所以选项D错误，故选：A.8.已知函数的定义域为，则“为奇函数”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因函数的定义域是,故“为奇函数”是“”的充分条件；

反之,若,则函数不一定是奇函数,“f(x)为奇函数”不是必要条件.应选A.9.已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函数在上单调递减，在上单调递增，由在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，得且或且，则或，解得或，所以实数的取值范围是.故选：C10.，设取，，三个函数值中的最小值，则的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】在同一坐标系内作出直线，，，由取，，三个函数值中的最小值，得的图象为下图中实线构成的折线图，则的最大值即为的图象最高点对应的纵坐标值，观察图象知，的图象最高点是直线与的交点，由，得，因此的图象最高点是，所以的最大值为2.故选：B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是______.【答案】【解析】依题意，，解得，所以函数的定义域是.故答案：12.已知奇函数满足，则______.【答案】【解析】由奇函数满足，得，所以.故答案为：13.已知，，且是的必要不充分条件，则的取值范围是______【答案】【解析】因为是的必要不充分条件，则，又，，所以，故答案为：.14.已知，则的最大值是______，当且仅当______时，等号成立.【答案】①.②.【解析】由，得，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最大值.故答案为：；15.已知函数，给出下列四个结论：①函数是偶函数；②函数的增区间为；③不等式的解集是；④当时，令，则的最小值为.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①④【解析】函数的定义域为R，对于①，，函数偶函数，①正确；对于②，，函数的增区间为，②错误；对于③，不等式，则或，解得或，所以不等式的解集是，③错误；对于④，依题意，，当时，，当且仅当，即时取等号；当时，，当且仅当，即时取等号，而，即，所以的最小值为，④正确.故所有正确结论的序号是①④.故答案为：①④三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.求下列方程（组）的解集：（1）（2）（3）（4）解：（1）由得，，解得，故方程的解集为.（2）当时，方程无解，解集为，当时，解方程得，方程解集为.（3）令，则方程可化为，解方程得，（舍），，故方程解集为.（4）由得，，解得,方程组的解为，，故方程组解集为.17.求下列不等式（组）的解集：（1）（2）（3）（4）解：（1）由，得到，所以或，故不等式的解集为或.（2）由，即，得到，所以，故不等式的解集为.（3）由，得到，等价于且，所以或，故不等式的解集为或.（4）由，得到，即，对，因为，所以的解集为，故不等式组的解集为.18.已知关于的方程，.（1）当时，若方程两根为与，求下列各式的值：①;②;③;（2）若该方程的两根同号，求实数的取值范围.解：（1）当时，方程，，则，①；②；③.（2）由方程的两根同号，得，解得，所以实数的取值范围是.19.已知函数过点.（1）求函数的解析式及定义域；（2）判断函数的奇偶性并证明；（3）令，求的解析式，并证明的图像关于对称.（1）解：因为函数过点，则，得到，所以，定义域为.（2）解：函数为偶函数，证明如下：因为的定义域为，关于原点对称，又，所以为偶函数.（3）证明：因为，设是图象上任意一点，关于的对称点为，因为，所以，即点也在图象上，所以的图像关于对称.20.已知函数.（1）当，时，求函数的值域；（2）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；（3）当时，比较与的次小.解：（1）当时，，对称轴为直线，在上为减函数，在上为增函数，，故函数的值域为.（2）函数，对称轴为直线，当函数在上是单调增函数时，，，当函数在上是单调减函数时，，，综上得，实数的取值范围为.（3）当时，，对称轴为直线，在上为减函数，在上为增函数，且，∵，∴，故.21.设集合，对于集合A中的任意元素和及实数，定义：当且仅当时；.若A的子集满足：当且仅当时，，则称为A的完美子集.（1）集合，，分别判断这两个集合是否为A的完美子集，并说明理由；（2）集合，若不是A的完美子集，求的值.解：（1）是A的完美子集，不是A的完美子集，理由如下：对于，因为，所以，所以当且仅当时，，所以是A的完美子集；对于，因为，所以，令，所以存在无数组解使得，如当时，，所以不是A的完美子集.（2）因为，所以，所以，因为不是A的完美子集，所以存在，使得，即存在使得，解方程组得，由集合互异性可得且，故且，所以解得或，且由得，若，则有，所以存在无数组解使得，如当时，，所以不是A的完美子集，符合题意；当且时，则由得，所以由得，又得，故，不符合题意；综上的值为.北京市延庆区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，，所以.故选：D2.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以，故选：D.3.已知全集且，则集合中元素有（）A.2个 B.4个 C.5个 D.7个【答案】B【解析】依题意，，解不等式，得，则，所以，集合中的元素有4个.故选：B4.已知集合满足，则有（）A.2个 B.4个 C.5个 D.7个【答案】D【解析】集合满足，则集合可视为集合与集合的每个真子集的并集，而集合的真子集个数为，所以有7个.故选：D5.若和，则和的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以，当且仅当时取等号，所以，故选：C6.设，且，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于A，取，满足，而，A错误；对于B，取满足，而，B错误；对于C，取满足，而，C错误；对于D，由不等式性质知，由，得，D正确.故选：D7.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A. B.C.， D.【答案】A【解析】对于选项A，因为，定义域为，关于原点对称，又，所以是偶函数，又由幂函数的性质知在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，故选项A正确，对于选项B，因为图象不关于轴对称，即不是偶函数，所以选项B错误，对于选项C，因为，的定义域不关于原点对称，即，是非奇非偶函数，所以选项C错误，对于选项D，当时，在区间上单调递减，所以选项D错误，故选：A.8.已知函数的定义域为，则“为奇函数”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因函数的定义域是,故“为奇函数”是“”的充分条件；

反之,若,则函数不一定是奇函数,“f(x)为奇函数”不是必要条件.应选A.9.已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函数在上单调递减，在上单调递增，由在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，得且或且，则或，解得或，所以实数的取值范围是.故选：C10.，设取，，三个函数值中的最小值，则的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】在同一坐标系内作出直线，，，由取，，三个函数值中的最小值，得的图象为下图中实线构成的折线图，则的最大值即为的图象最高点对应的纵坐标值，观察图象知，的图象最高点是直线与的交点，由，得，因此的图象最高点是，所以的最大值为2.故选：B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是______.【答案】【解析】依题意，，解得，所以函数的定义域是.故答案：12.已知奇函数满足，则______.【答案】【解析】由奇函数满足，得，所以.故答案为：13.已知，，且是的必要不充分条件，则的取值范围是______【答案】【解析】因为是的必要不充分条件，则，又，，所以，故答案为：.14.已知，则的最大值是______，当且仅当______时，等号成立.【答案】①.②.【解析】由，得，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最大值.故答案为：；15.已知函数，给出下列四个结论：①函数是偶函数；②函数的增区间为；③不等式的解集是；④当时，令，则的最小值为.其中所有正确结论的序号是______.【答案】①④【解析】函数的定义域为R，对于①，，函数偶函数，①正确；对于②，，函数的增区间为，②错误；对于③，不等式，则或，解得或，所以不等式的解集是，③错误；对于④，依题意，，当时，，当且仅当，即时取等号；当时，，当且仅当，即时取等号，而，即，所以的最小值为，④正确.故所有正确结论的序号是①④.故答案为：①④三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.求下列方程（组）的解集：（1）（2）（3）（4）解：（1）由得，，解得，故方程的解集为.（2）当时，方程无解，解集为，当时，解方程得，方程解集为.（3）令，则方程可化为，解方程得，（舍），，故方程解集为.（4）由得，，解得,方程组的解为，，故方程组解集为.17.求下列不等式（组）的解集：（1）（2）（3）（4）解：（1）由，得到，所以或，故不等式的解集为或.（2）由，即，得到，所以，故不等式的解集为.（3）由，得到，等价于且，所以或，故不等式的解集为或.（4）由，得到，即，对，因为，所以的解集为，故不等式组的解集为.18.已知关于的方程，.（1）当时，若方程两根为与，求下列各式的值：①;②;③;（2）若该方程的两根同号，求实数的取值范围.解：（1）当时，方程，，则，①；②；③.（2）由方程的两根同号，得，解得，所以实数的取值范围是.19.已知函数过点.（1）求函数的解析式及定义域；（2）判断函数的奇偶性并证明；（3）令，求的解析式，并证明的图像关于对称.（1）解：因为函数过点，则，得到，所以，定义域为.（2）解：函数为偶函数，证明如下：因为的定义域为，关于原点对称，又，所以为偶函数.（3）证明：因为，设是图象上任意一点，关于的对称点为，因为，所以，即点也在图象上，所以的图像关于对称.20.已知函数.（1）当，时，求函数的值域；（2）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；（3）当时，比较与的次小.解：（1）当时，，对称轴为直线，在上为减函数，在上为增函数，，故函数的值域为.（2）函数，对称轴为直线，当函数在上是单调增函数时，，，当函数在上是单调减函数时，，，综上得，实数的取值范围为.（3）当时，，对称轴为直线，在上为减函数，在上为增函数，且，∵，∴，故.21.设集合，对于集合A中的任意元素和及实数，定义：当且仅当时；.若A的子集满足：当且仅当时，，则称为