2024-2025学年福建省福州十校高一上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省福州十校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各等式中成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，，，，只有B正确．故选：B．2.命题的否定为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】易知命题的否定为.故选：B3.已知实数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得，所以，又，所以，故选：C4.已知定义在上的函数表示为：x0y102设，的值域为M，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为满足，所以，由表中数据可知：的取值仅有三个值：，所以的值域为.故选：B.5.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，所以函数的定义域为，令，则，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，所以函数的单调递减区间是.故选：C.6.甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是（）A.1或2 B.2或3 C.3或4 D.1或3【答案】A【解析】由“甲：此数为小于5的正整数”可得表示的数字可能为1,2,3,4，因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，又是的充分不必要条件，所以是的真子集，又，当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，，不满足题意；当时，，不满足题意；所以“”表示的数字是1或2，故选：A.7.若函数是定义在上的偶函数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，得到，显然，由图象关于轴对称，得到，解得，所以，满足要求，得到.故选：A.8.已知则下列选项错误的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意可知表示中的最小值，表示中的最大值．对于选项A，因为，分别取中的一个最小值与一个最大值，所以，故A正确．对于选项B，当，则，，所以；当时，，，所以．综上所述，，故B正确．对于选项C，取，则，而，此时，故C错误．对于选项D，当，即时，，因为，所以，，所以；当，即时，，因为，所以，，所以．综上所述，，故D正确．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.不同真子集个数为8【答案】BC【解析】因为，所以，因为，所以，因为，所以，又，说明，综上，画出维恩图如下：对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，的不同真子集个数为7，故D错误，故选：BC.10.下列说法不正确的是（）A.已知，若，则组成集合为B.不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是C.的定义域为，则的定义域为D.不等式解集为，则【答案】ACD【解析】A选项，，又，当时，，满足，当时，，当时，，满足，当时，，满足，综上，组成集合为，A说法不正确；B选项，当时，不等式为恒成立，可得对一切实数恒成立，当时，由对一切实数恒成立，可得，解得，综上所述：不等式对一切实数恒成立的充要条件是，所以不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是，故B正确；C选项，因为的定义域为，所以，解得，故的定义域为，C说法不正确；D选项，不等式解集为，则且为方程的两个根，故，则，故，D说法不正确.故选：ACD.11.已知函数的定义域为不恒为0，且，则（）A. B.C.的图象关于原点对称 D.在定义域内单调【答案】ACD【解析】对于A，因为，令，则，故A正确；对于BCD，当且时，，得恒成立，令函数，则，所以，所以为常函数，且，令，则，易得是奇函数，故C正确；，故B错误；因为函数，所以在定义域内单调递增或单调递减，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则________．【答案】【解析】依题意，所以.故答案为：13.已知定义在上的函数（为常数），若，则_______.【答案】【解析】设，则，即，且定义域为R，∴是奇函数，所以，，两式相加得，所以，.故答案为：.14.若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是____________.【答案】【解析】由已知可得，所以，当且仅当即时取等号，所以不等式有解即不等式有解，即，解得或，所以的取值范围，故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.15已知集合，.（1）当时，求，；（2）从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答.问题：若_______，求实数的取值范围.解：（1）当时，，又，∴，又，∴；（2）选①，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，若，则，解得；若，则且等号不能同时成立，解得，综上，或，即的取值范围为选②，因为，所以，下同选①.选③，因为，所以，下同选①.16.已知幂函数为偶函数.（1）求幂函数的解析式；（2）设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围.解：（1）∵幂函数为偶函数∴，即，解得或，当时，为偶函数，符合条件；当时，为奇函数，不符合条件；∴函数的解析式是.（2）由（1）知，，则由，得，即，令，依题意，对任意，恒成立，∴∵函数在上单调递减，∴，故，∴实数的取值范围是.17已知二次函数，且.（1）求函数的解析式；（2）解关于的不等式.解：（1）因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，即（2）由，可得不等式，即当，即时，不等式，解得，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为或；当，即时，不等式的解集为或；综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或18.在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：.（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润.解：（1）∵，∴.（2）当时，，由函数性质可知当时单调递增，所以当时，，当时，，由不等式性质可知，当且仅当，即时，等号成立，所以，因为1150>1130，所以，当时，，即当年产量为20万台时，该公司获得的年利润最大，最大利润为1150万元19.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求的值；（2）判断的单调性，并用定义法证明你的结论；（3）求使成立的实数a的取值范围.解：（1）由题意可知，故，又由可得，解得；所以，此时定义域关于原点对称，且，故是定义在上的奇函数，满足题意，所以.（2）在上单调递增，证明如下：取任意，且，则；因为，且，所以，，所以，所以，即，因此在上单调递增.（3）由（1）（2）可知，是在上单调递增的奇函数，所以由可得，因此需满足，解得，即；故实数a的取值范围为.20.若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点．已知函数（）．（1）当，时，求函数的不动点；（2）若对任意的实数，函数恒有两个相异不动点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值．参考公式：，的中点坐标为．解：（1）当，时，,由,解得或,所以所求的不动点为-1或3.（2）令则①,由题意，方程①恒有两个不等实根，所以,即恒成立，则，故（3）设,,又AB的中点在该直线上，所以,而应是方程①的两个根，所以即,,,福建省福州十校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各等式中成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，，，，只有B正确．故选：B．2.命题的否定为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】易知命题的否定为.故选：B3.已知实数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得，所以，又，所以，故选：C4.已知定义在上的函数表示为：x0y102设，的值域为M，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为满足，所以，由表中数据可知：的取值仅有三个值：，所以的值域为.故选：B.5.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，解得，所以函数的定义域为，令，则，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，所以函数的单调递减区间是.故选：C.6.甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是（）A.1或2 B.2或3 C.3或4 D.1或3【答案】A【解析】由“甲：此数为小于5的正整数”可得表示的数字可能为1,2,3,4，因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，又是的充分不必要条件，所以是的真子集，又，当时，，满足题意；当时，，满足题意；当时，，不满足题意；当时，，不满足题意；所以“”表示的数字是1或2，故选：A.7.若函数是定义在上的偶函数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，得到，显然，由图象关于轴对称，得到，解得，所以，满足要求，得到.故选：A.8.已知则下列选项错误的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意可知表示中的最小值，表示中的最大值．对于选项A，因为，分别取中的一个最小值与一个最大值，所以，故A正确．对于选项B，当，则，，所以；当时，，，所以．综上所述，，故B正确．对于选项C，取，则，而，此时，故C错误．对于选项D，当，即时，，因为，所以，，所以；当，即时，，因为，所以，，所以．综上所述，，故D正确．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.不同真子集个数为8【答案】BC【解析】因为，所以，因为，所以，因为，所以，又，说明，综上，画出维恩图如下：对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，的不同真子集个数为7，故D错误，故选：BC.10.下列说法不正确的是（）A.已知，若，则组成集合为B.不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是C.的定义域为，则的定义域为D.不等式解集为，则【答案】ACD【解析】A选项，，又，当时，，满足，当时，，当时，，满足，当时，，满足，综上，组成集合为，A说法不正确；B选项，当时，不等式为恒成立，可得对一切实数恒成立，当时，由对一切实数恒成立，可得，解得，综上所述：不等式对一切实数恒成立的充要条件是，所以不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是，故B正确；C选项，因为的定义域为，所以，解得，故的定义域为，C说法不正确；D选项，不等式解集为，则且为方程的两个根，故，则，故，D说法不正确.故选：ACD.11.已知函数的定义域为不恒为0，且，则（）A. B.C.的图象关于原点对称 D.在定义域内单调【答案】ACD【解析】对于A，因为，令，则，故A正确；对于BCD，当且时，，得恒成立，令函数，则，所以，所以为常函数，且，令，则，易得是奇函数，故C正确；，故B错误；因为函数，所以在定义域内单调递增或单调递减，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则________．【答案】【解析】依题意，所以.故答案为：13.已知定义在上的函数（为常数），若，则_______.【答案】【解析】设，则，即，且定义域为R，∴是奇函数，所以，，两式相加得，所以，.故答案为：.14.若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是____________.【答案】【解析】由已知可得，所以，当且仅当即时取等号，所以不等式有解即不等式有解，即，解得或，所以的取值范围，故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.15已知集合，.（1）当时，求，；（2）从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答.问题：若_______，求实数的取值范围.解：（1）当时，，又，∴，又，∴；（2）选①，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，若，则，解得；若，则且等号不能同时成立，解得，综上，或，即的取值范围为选②，因为，所以，下同选①.选③，因为，所以，下同选①.16.已知幂函数为偶函数.（1）求幂函数的解析式；（2）设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围.解：（1）∵幂函数为偶函数∴，即，解得或，当时，为偶函数，符合条件；当时，为奇函数，不符合条件；∴函数的解析式是.（2）由（1）知，，则由，得，即，令，依题意，对任意，恒成立，∴∵函数在上单调递减，∴，故，∴实数的取值范围是.17已知二次函数，且.（1）求函数的解析式；（2）解关于的不等式.解：（1）因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，即（2）由，可得不等式，即当，即时，不等式，解得，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为或；当，即时，不等式的解集为或；综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或18.在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台