2024-2025学年广东省佛山市高一上学期1月期末教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省佛山市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为集合，集合，则.故选：D.2.已知命题，，则命题的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】由题意可知，命题为全称量词命题，该命题的否定为：，.故选：B.3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函数的定义域需满足不等式，解得：且，所以函数的定义域是.故选：C.4.已知某扇形的弧长和面积数值均为，则该扇形的圆心角（正角）为（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】设圆心角为，半径为，则，解得.故选：B.5.函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题可知，函数的定义域为，关于原点对称，，所以函数为奇函数，所以排除选项BD；又，所以排除选项C.故选：A.6.函数的最小值和最大值分别为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】画出的图象如图：画出图象如图：将两个图象画在一起，取下方图象，画出的图象，如图：根据图象可知，函数的最小值和最大值分别为.故选：B.7.若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为方程有两相异实根，且，则，解得.故选：C.8.已知定义在上的函数满足，且当时，，则是（）A.奇函数，在上单调递增 B.奇函数，在上单调递减C.偶函数，在上单调递增 D.偶函数，在上单调递减【答案】A【解析】因为，所以，得，令，则，得，则函数为奇函数，设，且，得，则，则，因为，所以，而，则，得，得，故函数在上单调递增．故选：A．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是第二象限角，且，角、、、的终边与角的终边分别关于原点、轴、轴、直线对称，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】对于A选项，因为是第二象限角，且，则，设角终边与单位圆（圆心为原点）的交点为，由题意可知，角的终边与单位圆的交点坐标为，则，A错；对于B选项，角的终边与单位圆的焦点坐标为，则，B对；对于C选项，角的终边与单位圆的交点坐标为，则，C对；对于D选项，角的终边与单位圆的交点坐标为，则，D错.故选：BC.10.某机构根据逻辑斯蒂增长模型结合过去15年的数据，对2010~2040年我国新能源汽车的市场渗透率进行了模拟和预测，得到我国新能源汽车的市场渗透率与时间（单位：年，规定表示2010年初）的函数关系为，则下列结论正确的是（）参考数据：.A.的图象关于点中心对称B.的图象关于直线对称C.2022年初，我国新能源汽车的市场渗透率不足D.预计2030年初，我国新能源汽车的市场渗透率超过【答案】ACD【解析】对于A，，所以的图象关于点中心对称，故A正确；对于B，，所以的图象不关于直线对称，故B错误；对于C，，因为，所以，所以，所以，故C正确；对于D，，因为，所以，所以，故D正确.故选：ACD.11.2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示：则下列说法正确的是（）A.三项活动都没有参与的人数为15B.三项活动都参与的人数最多为47C.恰好参与一个活动的人数最少为21D.恰好参与两个活动的人数最多为94【答案】ABD【解析】设三项活动都参与的人数为，只参与佛山祖庙和顺德欢乐海岸活动的人数为，只参与佛山祖庙和广东千古情活动的人数为，只参与顺德欢乐海岸和广东千古情活动的人数为，只参与佛山祖庙活动的人数为，只参与顺德欢乐海岸活动的人数为，只参与广东千古情活动的人数为，对于A，已知至少参与了其中一个活动的人数为105，那么三项活动都没有参与的人数为，所以选项A正确；对于B，根据已知条件可得：，①，②，③，④将①②③得：，⑤用⑤④可得：，即，因为，即，解得，所以三项活动都参与的人数最多为47，选项B正确；对于C，由④可得，将代入可得：，因为，所以，即恰好参与一个活动的人数最少为11，选项C错误；对于D，恰好参与两个活动的人数为，因为，所以，所以恰好参与两个活动的人数最多为94，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算：__________.【答案】【解析】原式.13.若正数满足，则的最小值为__________.【答案】25【解析】因为正数满足，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为25.14.定义在上的函数满足，当时，，则__________，不等式的解集为__________.【答案】【解析】因为定义在上的函数满足，当时，，则；当时，由，此时，恒成立；当时，则，则，由，可得，又因为，则，解得，此时，；当且时，且当时，则，则，此时，不等式无解；当时，，则，由可得，由于，可得，解得，此时，；当且时，且当，则，则，此时，不等式无解.综上所述，不等式解集为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合或.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）当时，，又因为或，所以.（2）若，当，即时，，满足；当，即时，，要满足，只需，解得，又因，所以.综上可知，实数的取值范围为.16.已知.（1）求；（2）若是第一象限角，求的值.解：（1），，解得：或.（2），是第一象限角，，，由（1）知：，由得：，.17.已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若函数.（1）求曲线的对称中心；（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明.解：（1）设，则函数的定义域为，其定义域关于原点对称，且，所以为奇函数，所以函数的对称中心为.（2）函数在上单调递减.证明：，且，则，因为，所以，又，所以，所以，即，所以函数在上单调递减.18.已知函数.（1）讨论函数的零点个数；（2）若有两个零点有两个零点，求的取值范围.解：（1）函数y=fx的零点即方程的根，设，则函数y=fx的零点个数转化为方程根的个数.，显然hx在上单调递减，在上单调递增，故.所以，当时，y=fx没有零点；当时，y=fx有1个零点；当时，y=fx有2个零点.（2）由（1）知有两个零点，则，有两个零点，则有两个根，令，则有两个不同的交点，如图所示：则，综合可得.结合（1）即，可知，即.同理可求得，所以，当且仅当即取等号，所以.因此的取值范围为.19.如图，有一块矩形空地，其中米，米，计划在图中的矩形内种植某种蔬菜，其中米，米，并过点修建一条笔直的小路（宽度忽略不计），点在线段上（含端点），点在线段上（含端点），设米，米.（1）求的值；（2）求面积的最小值，并求面积取得最小值时的值；（3）在线段上取一点，过点作，，垂足分别为、，求矩形面积最大值.解：（1）因为，所以；同理，由，得，而，所以，即，所以.（2）由（1）可知，即，则，当且仅当时，即当时等号成立.所以，当且仅当时取等号，所以面积的最小值为平方米，面积取得最小值时的值为.（3）由题可知，矩形的面积取决于点的位置，连接并延长交于点，连接并延长交于点，则点在和的内部及其边界上，显然，只有当点位于线段和线段上时，矩形的面积才有可能取到最大值.则，即，即.过点作于点，作于点，设.如图1，当点在线段上时，由相似关系可得，即，所以，此时矩形的面积，又，所以当时，矩形的面积取得最大值，最大值为平方米.如图2，当点在线段上时，由相似关系可得，即，所以，此时矩形的面积，又，所以当时，矩形的面积取得最大值，最大值为平方米.综上可知，矩形的面积的最大值为平方米.广东省佛山市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为集合，集合，则.故选：D.2.已知命题，，则命题的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】由题意可知，命题为全称量词命题，该命题的否定为：，.故选：B.3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函数的定义域需满足不等式，解得：且，所以函数的定义域是.故选：C.4.已知某扇形的弧长和面积数值均为，则该扇形的圆心角（正角）为（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】设圆心角为，半径为，则，解得.故选：B.5.函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题可知，函数的定义域为，关于原点对称，，所以函数为奇函数，所以排除选项BD；又，所以排除选项C.故选：A.6.函数的最小值和最大值分别为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】画出的图象如图：画出图象如图：将两个图象画在一起，取下方图象，画出的图象，如图：根据图象可知，函数的最小值和最大值分别为.故选：B.7.若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为方程有两相异实根，且，则，解得.故选：C.8.已知定义在上的函数满足，且当时，，则是（）A.奇函数，在上单调递增 B.奇函数，在上单调递减C.偶函数，在上单调递增 D.偶函数，在上单调递减【答案】A【解析】因为，所以，得，令，则，得，则函数为奇函数，设，且，得，则，则，因为，所以，而，则，得，得，故函数在上单调递增．故选：A．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是第二象限角，且，角、、、的终边与角的终边分别关于原点、轴、轴、直线对称，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】对于A选项，因为是第二象限角，且，则，设角终边与单位圆（圆心为原点）的交点为，由题意可知，角的终边与单位圆的交点坐标为，则，A错；对于B选项，角的终边与单位圆的焦点坐标为，则，B对；对于C选项，角的终边与单位圆的交点坐标为，则，C对；对于D选项，角的终边与单位圆的交点坐标为，则，D错.故选：BC.10.某机构根据逻辑斯蒂增长模型结合过去15年的数据，对2010~2040年我国新能源汽车的市场渗透率进行了模拟和预测，得到我国新能源汽车的市场渗透率与时间（单位：年，规定表示2010年初）的函数关系为，则下列结论正确的是（）参考数据：.A.的图象关于点中心对称B.的图象关于直线对称C.2022年初，我国新能源汽车的市场渗透率不足D.预计2030年初，我国新能源汽车的市场渗透率超过【答案】ACD【解析】对于A，，所以的图象关于点中心对称，故A正确；对于B，，所以的图象不关于直线对称，故B错误；对于C，，因为，所以，所以，所以，故C正确；对于D，，因为，所以，所以，故D正确.故选：ACD.11.2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示：则下列说法正确的是（）A.三项活动都没有参与的人数为15B.三项活动都参与的人数最多为47C.恰好参与一个活动的人数最少为21D.恰好参与两个活动的人数最多为94【答案】ABD【解析】设三项活动都参与的人数为，只参与佛山祖庙和顺德欢乐海岸活动的人数为，只参与佛山祖庙和广东千古情活动的人数为，只参与顺德欢乐海岸和广东千古情活动的人数为，只参与佛山祖庙活动的人数为，只参与顺德欢乐海岸活动的人数为，只参与广东千古情活动的人数为，对于A，已知至少参与了其中一个活动的人数为105，那么三项活动都没有参与的人数为，所以选项A正确；对于B，根据已知条件可得：，①，②，③，④将①②③得：，⑤用⑤④可得：，即，因为，即，解得，所以三项活动都参与的人数最多为47，选项B正确；对于C，由④可得，将代入可得：，因为，所以，即恰好参与一个活动的人数最少为11，选项C错误；对于D，恰好参与两个活动的人数为，因为，所以，所以恰好参与两个活动的人数最多为94，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算：__________.【答案】【解析】原式.13.若正数满足，则的最小值为__________.【答案】25【解析】因为正数满足，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为25.14.定义在上的函数满足，当时，，则__________，不等式的解集为__________.【答案】【解析】因为定义在上的函数满足，当时，，则；当时，由，此时，恒成立；当时，则，则，由，可得，又因为，则，解得，此时，；当且时，且当时，则，则，此时，不等式无解；当时，，则，由可得，由于，可得，解得，此时，；当且时，且当，则，则，此时，不等式无解.综上所述，不等式解集为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合或.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）当时，，又因为或，所以.（2）若，当，即时，，满足；当，即时，，要满足，只需，解得，又因，所以.综上可知，实数的取值范围为.16.已知.（1）求；（2）若是第一象限角，求的值.解：（1），，解得：或.（2），是第一象限角，，，由（1）知：，由得：，.17.已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若函数.（1）求曲线的对称中心；（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明.解：（1）设，则函数的定义域为，其定义域关于原点对称，且，所以为奇函数，所以函数的对称中心为.（2）函数在上单调递减.证明：，且，则，因为，所以，又，所以，所以，即，所以函数在上单调递减.18.已知函数.（1）讨论函数的零点个数；（2）若有两个零点有两个零点，求的取值范围