2024-2025学年广东省广州市越秀区高一上学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市越秀区2024-2025学年高一上学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以，又，所以.故选：C.2.命题的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】命题的否定是.故选：B.3.把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】.故选：D.4.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（）A.160000元 B.179200元C.198400元 D.297600元【答案】C【解析】设池底的长为x，宽为y，则，即，因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，建造这个水池的总造价是，当且仅当，即时，等号成立.故选：C.5.已知幂函数的图象过点，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设幂函数，因为幂函数的图象过点，则，解得，即，因为f3x-1>f2x整理可得，解得或，所以不等式f3x-1>f2x解集为故选：D.6.函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为与在上单调递增，所以在上单调递增，又，则，即，所以，，所以的零点有且只有一个，且所在的一个区间是.故选：D.7.已知则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，那么.因为，根据，可得：.把变形为.由两角差公式可得：.把，，，代入上式得：.故选：B.8.设，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，，又因为，，所以，又因为，因，，故，所以，即，又，因，，故，所以，即，所以，故.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数和，下列结论中正确的有（）A.与有相同的零点 B.与有相同的最大值C.与有相同的最小正周期 D.与的图象有相同的对称轴【答案】BC【解析】A选项，令，得，解得，即为零点，令，得，解得，即为零点，显然零点不同，A选项错误；B选项，易得，B选项正确；C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；D选项，对于，令，得，对于，令，得，所以的对称轴为，的对称轴为，显然图象的对称轴不同，D选项错误.故选：BC.10.使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】当时，此时不等式变为，这个不等式对于一切实数恒成立.当时，不等式是一个二次不等式，要使其对一切实数都成立，则二次函数的图象需开口向下，且与轴无交点.开口向下：二次项系数，即.与轴无交点：判别式.此种情况，解得.综合两种情况，不等式对一切实数都成立时的取值范围是.分析各个选项：A选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件.B选项：不满足，所以不是不等式成立的充分条件.C选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件.D选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件.故选：ACD.11.已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论中一定正确的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因为当时，，所以，，故A正确；又因为，则，故B正确；，，，，，，，，，，，，故D正确；但没有足够条件判断C的正误.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知角的终边与单位圆的交点为，则______．【答案】【解析】因为角的终边与单位圆的交点为，则，所以.13.已知（其中为常数）．①；②当时，．写出满足条件①②的一个函数______．【答案】（答案不唯一，满足，即可）【解析】对于①：因为，即，可得；对于②：当时，，显然，若，可得，即，当时，恒成立，可得，此时显然不恒成立，不合题意；若，可得，即，则，解得；综上所述：，例如，此时（答案不唯一，满足，即可）.14.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．【答案】10【解析】前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t＝5时，P＝0.9P0，代入得(e－k)5＝0.9，∴e－k＝＝0.915，∴P＝P0e－kt＝P0.当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P＝0.81P0，代入得0.81＝，解得t＝10，即需要花费10小时．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，得，所以.（2）因为且，所以，，因为，所以，得，解得：，，所以，所以．16.已知函数．（1）是否存在实数，使函数为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（2）判断函数的单调性，并加以证明．解：（1）存在，，理由如下：因为的定义域为，若函数为奇函数，则，即，整理可得，解得，所以.（2）因为的定义域为，当在定义域为内单调递减，对任意，，设，则，因为，则，，，可得，即，所以在定义域为内单调递减.17.已知函数（且）的最大值为2．（1）求常数的值；（2）求函数的单调递增区间．解：（1），的最大值为，所以，若，则；若，则.综上所述，的值为或.（2）若，则，由，解得，即的单调递增区间为.若，则，由，解得，即的单调递增区间为.18.已知函数.（1）当时，在同一直角坐标系中画出函数的图象；（2），用表示中的较小者，记为.当时，求的解析式；（3）设，记的最小值为，求的最小值.解：（1）当时，，当时，，当时，，又，所以的图象大致如图.（2）因为，，结合（1）中图象，可知当时，，当或时，，所以，即.（3）因为，所以，当时，，则的图象开口向上，对称轴为，若，则在处取得最小值，若，则在处取得最小值；当时，，则的图象开口向上，对称轴为，若，则在处取得最小值，若，则在处取得最小值；综上，当时，，又，所以，此时在时取得最小值；当时，，此时在时取得最小值；当时，，又，所以，此时在时取得最小值；综上，的最小值为.19.函数的凹凸性是函数的重要性质，运用函数的凹凸性可以很好地解决一些数学问题．在不同的条件下，可以给出函数凹凸性的不同定义．定义1：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，当且仅当，有定义2：设函数在区间上有定义，称为上的下凸函数，当且仅当有将定义1，2中的“”改为“”，则相应地称函数为上的上凸函数．可以证明定义1与定义2等价．试运用以上信息解答下面的问题：（1）若，试根据定义1证明为上的下凸函数；（2）已知为上的上凸函数，若为的内角，求的最大值；（3）设为大于或等于1的实数，证明：．解：（1）因为的定义域为，任取，则，即，所以为上的下凸函数.（2）因为为上的上凸函数，且，，则，即，例如时，，所以的最大值为.（3）设，因为，所以，要证，只需证，下证：在上为下凸函数.设，则，下证，即证，即证，化简得，即证又式显然成立，所以成立，在上为下凸函数，则得证.广东省广州市越秀区2024-2025学年高一上学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以，又，所以.故选：C.2.命题的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】命题的否定是.故选：B.3.把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】.故选：D.4.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（）A.160000元 B.179200元C.198400元 D.297600元【答案】C【解析】设池底的长为x，宽为y，则，即，因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，建造这个水池的总造价是，当且仅当，即时，等号成立.故选：C.5.已知幂函数的图象过点，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设幂函数，因为幂函数的图象过点，则，解得，即，因为f3x-1>f2x整理可得，解得或，所以不等式f3x-1>f2x解集为故选：D.6.函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为与在上单调递增，所以在上单调递增，又，则，即，所以，，所以的零点有且只有一个，且所在的一个区间是.故选：D.7.已知则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知，那么.因为，根据，可得：.把变形为.由两角差公式可得：.把，，，代入上式得：.故选：B.8.设，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，，又因为，，所以，又因为，因，，故，所以，即，又，因，，故，所以，即，所以，故.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数和，下列结论中正确的有（）A.与有相同的零点 B.与有相同的最大值C.与有相同的最小正周期 D.与的图象有相同的对称轴【答案】BC【解析】A选项，令，得，解得，即为零点，令，得，解得，即为零点，显然零点不同，A选项错误；B选项，易得，B选项正确；C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；D选项，对于，令，得，对于，令，得，所以的对称轴为，的对称轴为，显然图象的对称轴不同，D选项错误.故选：BC.10.使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】当时，此时不等式变为，这个不等式对于一切实数恒成立.当时，不等式是一个二次不等式，要使其对一切实数都成立，则二次函数的图象需开口向下，且与轴无交点.开口向下：二次项系数，即.与轴无交点：判别式.此种情况，解得.综合两种情况，不等式对一切实数都成立时的取值范围是.分析各个选项：A选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件.B选项：不满足，所以不是不等式成立的充分条件.C选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件.D选项：满足，所以是不等式成立的一个充分条件.故选：ACD.11.已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论中一定正确的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因为当时，，所以，，故A正确；又因为，则，故B正确；，，，，，，，，，，，，故D正确；但没有足够条件判断C的正误.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知角的终边与单位圆的交点为，则______．【答案】【解析】因为角的终边与单位圆的交点为，则，所以.13.已知（其中为常数）．①；②当时，．写出满足条件①②的一个函数______．【答案】（答案不唯一，满足，即可）【解析】对于①：因为，即，可得；对于②：当时，，显然，若，可得，即，当时，恒成立，可得，此时显然不恒成立，不合题意；若，可得，即，则，解得；综上所述：，例如，此时（答案不唯一，满足，即可）.14.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．【答案】10【解析】前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t＝5时，P＝0.9P0，代入得(e－k)5＝0.9，∴e－k＝＝0.915，∴P＝P0e－kt＝P0.当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P＝0.81P0，代入得0.81＝，解得t＝10，即需要花费10小时．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，得，所以.（2）因为且，所以，，因为，所以，得，解得：，，所以，所以．16.已知函数．（1）是否存在实数，使函数为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（2）判断函数的单调性，并加以证明．解：（1）存在，，理由如下：因为的定义域为，若函数为奇函数，则，即，整理可得，解得，所以.（2）因为的定义域为，当在定义域为内单调递减，对任意，，设，则，因为，则，，，可得，即，所以在定义域为内单调递减.17.已知函数（且）的最大值为2．（1）求常数的值；（2）求函数的单调递增区间．解：（1），的最大值为，所以，若，则；若，则.综上所述，的值为或.（2）若，则，由，解得，即的单调递增区间为.若，则，由，解得，即的单调递增区间为.18.已知函数.（1）当时，在同一直角坐标系中画出函数的图象；（2），用表示中的较小者，记