江苏省江阴一中、青阳高中2024-2025学年高一（下）期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省江阴一中、青阳高中高一下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z(1一i)=I1+iI2，则z=()2.在△ABC中，若则A是或或3.如图，在△ABC中，M是边BC的中点，P是AM上一点，且4.一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为28π,则它的表面积为()6.已知m,n为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A.mCα,nCα,m//β,n//β→α//βB.α//β,mCα,nCβ→m//n7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b、C，若b=a(cosC+sinC)，AD是△ABC的角平分线，点D在BC上D.48.已知正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是棱BC,CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，若PA1//面AEF，则线段PA1的长度范围是()二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。示正确的是()-10.下列结论中正确的是()C.若复数Z满足IZI=1，则IZ+2iI的最大值为3A1B1的中点，D在线段B1C1上，则下列说法中正确的有()A.EF//平面AA1B1BB.BD//平面EFGC.存在点D，满足BD丄EFD.三棱锥D-EFG的体积不变三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。则四边形ABCD的面积为___________14.斯特瓦尔特(stewart)定理是由18世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、C，点D在边BC上，且0，点D在BC上，且△ADB的面积与△ADC的面积之比为2，则AD=．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)(1)若z1+z2是实数，求z1.z2的值；若是纯虚数，求z1的虚部以及z116.(本小题15分)17.(本小题15分)(Ⅰ)求角A；(Ⅱ)若△ABC是锐角三角形，且a=2，求b+C的取值范围．18.(本小题17分)《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥P—ABCD为阳马，PA丄底面分别为AB,PC的中点．(1)证明：EF//平面PAD；(2)证明：EF丄平面PCD；(3)求直线BF与平面ABCD所成角的大小．19.(本小题17分)古希腊数学家托勒密对凸四边形(凸四边形是指没有角度大于180。的四边形)进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题：如图，在凸四边形ABCD中，若匕AC=CD(图1)，求线段BD长度的最大值;(2)若AB=2，BC=6，AD=CD=4(图2)，求四边形ABCD面积取得最大值时角A的大小，并求出四边形ABCD面积的最大值；(3)在满足(2)条件下，若点P是△ABD外接圆上异于B，D的点，求PB+PD的最大值．2.C4.B5.C9.BC15.(1):a=4,z1=2+4i，:z1z2=(2+4i)(3—4i)=22+4i；.(2)所以所以与2夹角的余弦值为．17.解：因为所以由正弦定理得因为sinB≠0，所以(Ⅱ)因为a=2，所以由正弦定理得所以因为△ABC是锐角三角形，所以且可得所以可得所以．18.解：(1)证明：作PD的中点M，连接AM、MF，所以MF//DC且又因为AE//DC且所以MF//AE且MF=AE，所以四边形AMFE为平行四边形，所以EF//AM，因为AMC平面PAD,EF丈平面PAD，所以EF//平面PAD所以EF丄平面PCD；(3)连接AC,BD交于点O，连接OF，所以OF//PA，所以BO为BF在平面ABCD中的射影，所以BF与平面ABCD所成角为匕FBO，由已知得所以BF与平面ABCD所成角为．解得，所以线段BD长度的最大值为．(2)由材料可知，当A、B、C、D四点共圆时，四边形ABCD的面积达到最大．连接BD，在ΔABD中，由余弦定理，得