线性代数期末考试试题及答案

线性代数期末考试试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.设矩阵\(A\)为\(3\)阶方阵，\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert2A\vert=(\)\)A.\(4\)B.\(8\)C.\(16\)D.\(32\)2.若\(n\)阶方阵\(A\)满足\(A^2=A\)，则\(A\)的特征值为（）A.\(0\)或\(1\)B.\(-1\)或\(1\)C.\(0\)或\(-1\)D.\(2\)或\(1\)3.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关的充分必要条件是（）A.向量组中至少有一个零向量B.向量组中至少有两个向量成比例C.向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示D.向量组的秩等于向量组中向量的个数4.设\(A\)，\(B\)均为\(n\)阶方阵，则下列结论正确的是（）A.\((AB)^T=A^TB^T\)B.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)C.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)D.若\(AB=0\)，则\(A=0\)或\(B=0\)5.已知\(A\)为\(3\)阶方阵，\(r(A)=2\)，则齐次线性方程组\(Ax=0\)的基础解系所含向量个数为（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(3\)6.设\(A\)是\(n\)阶可逆矩阵，\(A^\)是\(A\)的伴随矩阵，则（）A.\(\vertA^\vert=\vertA\vert^{n-1}\)B.\(\vertA^\vert=\vertA\vert\)C.\(\vertA^\vert=\vertA\vert^{-1}\)D.\(\vertA^\vert=\vertA\vert^{n}\)7.若矩阵\(A\)与\(B\)相似，则（）A.\(A\)与\(B\)等价B.\(A\)与\(B\)合同C.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)D.\(A\)与\(B\)有相同的特征向量8.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2\)的矩阵为（）A.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&1\\0&1&3\end{pmatrix}\)9.设\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(A^2-3A+2E=0\)，则\(A^{-1}=(\)\)A.\(A-3E\)B.\(\frac{1}{2}(A-3E)\)C.\(A-\frac{3}{2}E\)D.\(\frac{1}{2}(3E-A)\)10.设向量\(\alpha=(1,-2,3)^T\)，\(\beta=(2,1,0)^T\)，则\(\alpha\)与\(\beta\)的内积\((\alpha,\beta)=(\)\)A.\(0\)B.\(-1\)C.\(1\)D.\(2\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪些是矩阵的初等行变换（）A.交换两行B.某一行乘以一个非零常数C.某一行加上另一行的倍数D.交换两列2.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(AB=0\)，则（）A.\(r(A)+r(B)\leqn\)B.\(A=0\)或\(B=0\)C.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)D.\(A\)与\(B\)至少有一个不可逆3.向量组\(\alpha_1=(1,0,0)^T\)，\(\alpha_2=(0,1,0)^T\)，\(\alpha_3=(0,0,1)^T\)，\(\alpha_4=(1,1,1)^T\)，下列说法正确的是（）A.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关B.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\)线性相关C.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)线性相关D.\(\alpha_4\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性表示4.对于\(n\)阶方阵\(A\)，以下说法正确的是（）A.若\(A\)可逆，则\(A\)的列向量组线性无关B.若\(A\)的行列式不为零，则\(A\)的行向量组线性无关C.若\(r(A)=n\)，则\(A\)可逆D.若\(A\)有\(n\)个不同的特征值，则\(A\)可相似对角化5.设\(A\)为实对称矩阵，以下说法正确的是（）A.\(A\)的特征值都是实数B.\(A\)的不同特征值对应的特征向量正交C.存在正交矩阵\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)为对角矩阵D.\(A\)一定可逆6.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)，下列说法正确的是（）A.二次型矩阵为\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\)B.二次型的秩为\(1\)C.二次型是正定的D.二次型可通过正交变换化为标准形\(3y_1^2\)7.设\(A\)，\(B\)为同阶方阵，且\(A\)与\(B\)合同，则（）A.\(A\)与\(B\)有相同的秩B.\(A\)与\(B\)有相同的正惯性指数C.\(A\)与\(B\)有相同的负惯性指数D.\(A\)与\(B\)有相同的特征值8.以下哪些矩阵是正交矩阵（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)C.\(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\)9.已知齐次线性方程组\(Ax=0\)，其中\(A\)为\(m\timesn\)矩阵，\(r(A)=r\)，则（）A.当\(r=n\)时，方程组只有零解B.当\(r\ltn\)时，方程组有非零解C.基础解系所含向量个数为\(n-r\)D.若\(m=n\)且\(r=n\)，则\(A\)可逆10.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(\lambda\)是\(A\)的一个特征值，\(\xi\)是对应的特征向量，则（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\((A-\lambdaE)\xi=0\)C.\(\lambda\)是\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)的根D.若\(\mu\)是\(A\)的另一个特征值且\(\mu\neq\lambda\)，则\(\xi\)与\(\mu\)对应的特征向量正交三、判断题（每题2分，共10题）1.若\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，则\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)。（）2.向量组中向量个数大于向量的维数时，向量组一定线性相关。（）3.若\(A\)可逆，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)也可逆。（）4.相似矩阵有相同的特征多项式。（）5.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_2^2+x_3^2\)是正定二次型。（）6.若\(A\)为实对称矩阵，则\(A\)的不同特征值对应的特征向量一定正交。（）7.矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩。（）8.齐次线性方程组\(Ax=0\)有非零解的充分必要条件是\(r(A)\ltn\)（\(n\)为未知数个数）。（）9.若\(A\)与\(B\)等价，则\(A\)与\(B\)有相同的标准形。（）10.若\(\lambda\)是矩阵\(A\)的特征值，则\(\lambda^2\)是\(A^2\)的特征值。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.求矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩阵。-答案：先求\(\vertA\vert=1\times4-2\times3=-2\)，伴随矩阵\(A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)，则\(A^{-1}=-\frac{1}{2}A^=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。2.已知向量组\(\alpha_1=(1,1,1)^T\)，\(\alpha_2=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_3=(1,3,t)^T\)，问\(t\)为何值时向量组线性相关？-答案：构造矩阵\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}\)，对\(A\)进行初等行变换得\(\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&2&t-1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&t-5\end{pmatrix}\)。当\(t=5\)时，\(r(A)\lt3\)，向量组线性相关。3.写出二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2-4x_1x_3\)的矩阵。-答案：二次型矩阵\(A=\begin{pmatrix}2&1&-2\\1&3&0\\-2&0&5\end{pmatrix}\)。4.已知矩阵\(A\)的特征值\(\lambda_1=1\)，\(\lambda_2=2\)，\(\lambda_3=3\)，求\(\vertA\vert\)。-答案：对于\(n\)阶方阵\(A\)，\(\vertA\vert\)等于其所有特征值的乘积，这里\(A\)为\(3\)阶方阵，所以\(\vertA\vert=\lambda_1\lambda_2\lambda_3=1\times2\times3=6\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论矩阵可逆的条件及可逆矩阵在实际问题中的应用。-答案：矩阵\(A\)可逆的条件有\(\vertA\vert\neq0\)；\(r(A)=n\)（\(n\)为阶数）等。在实际中，如在密码学里用于加密和解密信息，在计算机图形学中用于图形的变换等，可逆矩阵保证了变换的可恢复性。2.阐述向量组线性相关和线性无关的概念，并举例说明判断方法。-答案：向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)，若存在不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)，则线性相关，否则线性无关。判断方法如定义法、求秩法等。例如\(\alpha_1=(1,0)\)，\(\alpha_2=(0,1)\)，设\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=0\)，可得\(k_1=k_2=0\)，线性无关。3.说明实对称矩阵的性质以及在二次型中的应用。-