中考数学复习专练-二次函数综合题 课件

专练二次函数综合题二次函数压轴题常考题型与方法总结类型常考问题设计解题通用技法母题如图Z2-1，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（-1，-4），与y轴相交于点C（0，-3），与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），求抛物线的解析式.

图Z2-1由待定系数法将点D，C的坐标代入，求得b，c的值进而得出解析式

图Z2-1以下对于上述母题设计若干常考问题，并进行分析类型常考问题设计解题通用技法二次函数与特殊三角形（直角三角形）（1）如图Z2-2，连接AC，CD，AD.试判断△ACD的形状，并说明理由.

图Z2-2先应用勾股定理或平面内两点间的距离公式，求出三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状

图Z2-2类型常考问题设计解题通用技法二次函数与特殊三角形（等腰三角形与动点）（2）如图Z2-3，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCB是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

图Z2-3设出动点P的坐标为（-1，t）后，分三种情况，若∠BPC为顶角，则PB=PC；若∠PBC为顶角，则BP=BC；若∠PCB为顶角，则CP=CB，分别用两点间的距离公式求出或表示各线段的长度，再根据上述等式列方程求解即可

图Z2-3

图Z2-3类型常考问题设计解题通用技法二次函数与角度（3）如图Z2-4，若点P在抛物线上，且∠PCA=45°，求点P的坐标.

图Z2-4利用直线AC的解析式与△AOC的特点，数形结合，列出有关的方程，即可求出点P的坐标解：∵A（-3，0），C（0，-3），∴在Rt△AOC中，OA=OC=3.∴∠OAC=45°.∵∠OAC=∠PCA=45°，点P在抛物线上，∴CP∥x轴.令y=-3，得x2+2x-3=-3.解得x1=0，x2=-2.∴点P的坐标为（-2，-3）.图Z2-4类型常考问题设计解题通用技法二次函数与相似

（4）如图Z2-5，△ACD与△COB是否相似？请说明理由.

图Z2-5用两点间的距离公式分别求出两个三角形的各边长度，再用相似的判定方法进行判定.注意相似中没有指明对应边时，要进行分类讨论

图Z2-5类型常考问题设计解题通用技法二次函数与相似（动点、动线）（5）如图Z2-6，若Q是线段AB上的一个动点（不与点A，B重合），QE∥AC交BC于点E，当△QCE的面积最大时，求动点Q的坐标.

图Z2-6△QCE是三边均动的动三角形，把该三角形分割成大三角形减去小三角形的差.根据平行线的性质得出两个三角形相似，从而有面积的比等于对应边的比的平方，最后该动三角形的面积可表示为与动点Q（t，0）的坐标有关的开口向下的二次函数，根据二次函数的性质即可求解

图Z2-6

图Z2-6类型常考问题设计解题通用技法二次函数与特殊四边形（6）如图Z2-7，若E为x轴上的一个动点，F为抛物线上的一个动点，当C，A，E，F构成平行四边形时，求点E的坐标.

图Z2-7以其中一个已知点（如：点A）作为起点，列出所有对角线的情况（如：AC，AF，AE），分别设出两个动点（点E，点F）的坐标，运用中点坐标公式，求出每一种情况下，两条对角线的中点坐标.因为两条对角线的中点重合，所以两个中点的坐标对应相等，列出方程组，求解即可

图Z2-7

图Z2-7

图Z2-7类型常考问题设计解题通用技法二次函数与线段的和差（最值问题）（7）如图Z2-8，试在x轴上找一点P，使PC+PD的值最小，并求出其最小值以及点P的坐标.

图Z2-8在两定点中任选一个点（为了方便计算，常常选择轴上的点），求出该点关于题中的动点运动所经过的那条直线的对称点的坐标，再把此对称点与另一个定点相连，连线与动点所在直线的交点即为所求的点

答图Z2-1

答图Z2-1类型常考问题设计解题通用技法二次函数与周长（最值问题）

（8）如图Z2-9，在y轴上是否存在点P，使△PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标，并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由.

图Z2-9注意到AD是定线段，其长度是个定值，因此只需求PA+PD的最小值，再加上定值AD即可

答图Z2-2

答图Z2-2类型常考问题设计解题通用技法二次函数与面积（最值问题）（9）如图Z2-10，P为直线AC下方的抛物线上一动点，当△APC的面积最大时，求出其最大值及点P的坐标.图Z2-10

答图Z2-3

答图Z2-3类型常考问题设计解题通用技法二次函数与面积（最值问题）（10）如图Z2-11，P为直线AC下方的抛物线上一动点，当四边形AOCP的面积最大时，求出其最大值及点P的坐标.图Z2-11四边形AOCP是不规则图形，通常用割补法求解，则S四边形AOCP=S△AOC+S△ACP或S四边形AOCP=S△COP+S△AOP

图Z2-11类型常考问题设计解题通用技法二次函数与距离（最值问题）（11）如图Z2-12，P为直线AC下方的抛物线上一动点，当点P到直线AC的距离最大时，求出最大距离及点P的坐标.

图Z2-12已知AC是定线段，当△ACP的面积最大时，也就是点P到直线AC的距离最大

图Z2-12类型常考问题设计解题通用技法二次函数与面积（12）如图Z2-13，在抛物线上是否存在点P，使S△PBC=2S△ACD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

图Z2-13

图Z2-13

答图Z2-4

图Z2-14

答图Z2-5（2）若△OAB的内切圆半径为1，求此抛物线的函数表达式；

答图Z2-6（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使△POB是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

答图Z2-7

题型二：二次函数与特殊四边形、面积例2.如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的四边形称为这条抛物线的“抛物四边形”.如图Z2-15①，抛物线y=ax2+bx+c（a<0）与x轴交于A，C两点，B为抛物线的顶点，点D在抛物线的对称轴上，则四边形ABCD为“抛物四边形”，已知A（-1，0），C（3，0）.（1）若图Z2-15①中的“抛物四边形”ABCD为菱形，且∠ABC=60°，则顶点B的坐标为

；

图Z2-15（2）如图Z2-15②，若“抛物四边形”ABCD为正方形，边AB与y轴交于点E，连接CE.①求这条抛物线的函数解析式；

图Z2-15②P为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC的面积为S，点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值；图Z2-15

答图Z2-8③如图Z2-15③，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD？若存在，请直接写出点Q的横坐标：若不存在，说明理由.图Z2-15

图Z2-16

图Z2-16（1）求抛物线的解析式；（2）求证：OE⊥AB；

答图Z2-9

答图Z2-9（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由.

图Z2-16

答图Z2-10

答图Z2-111.

（2024·海南）如图Z2-17①，抛物线y=-x2+bx+4经过点A（-4，0），B（1，0），交y轴于点C（0，4），P是抛物线上一动点.（1）求该抛物线的函数表达式；图Z2-17解：（1）由题意，得y=-（x+4）（x-1）=-（x2+3x-4）=-x2-3x+4.（2）当点P的坐标为（-2，6）时，求四边形AOCP的面积；

答图Z2-12（3）当∠PBA=45°时，求点P的坐标；（3）当∠PBA=45°时，则直线BP的表达式为y=±（x-1）.联立上式和抛物线的表达式，得-x2-3x+4=x-1或-x+1=-x2-3x+4.解得x=-5或-3或1（舍去）.∴点P的坐标为（-5，-6）或（-3，4）.图Z2-17（4）过点A，O，C的圆交抛物线于点E，F，如图Z2-17②.连接AE，AF，EF，判断△AEF的形状，并说明理由.（4）△AEF为等边三角形.理由如下：如答图Z2-12②，连接AC，由于∠AOC=90°，则AC为圆的直径.连接EC，EA，则∠AEC=90°.过点E作x轴的平行线交y轴于点N，交过点A和y轴的平行线于点M.设点E（m，-m2-3m+4），则EN=-m，ME=m+4，AM=-m2-3m+4，CN=-m2-3m+4-4=-m2-3m.答图Z2-12

答图Z2-12

图Z2-18

图Z2-18（2）P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m.①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；

答图Z2-13②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似.若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由.②存在.∵∠PDB=∠ADE，∠ADE=∠ACO，∴∠BDP=∠ACO.∵△AOC是直角三角形，∴要使△BPD与△AOC相似，只有保证△BPD是直角三角形就可以.答图Z2-13（Ⅰ）当△BPD∽△AOC时，如答图Z2-14.∴∠BPD=∠AOC=90°.此时BP∥x轴，B，P关于对称轴对称，∴P（3，3）；答图Z2-14

答图Z2-15

3.

（2024·济南）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A（0，2），B（2，2），顶点为D；抛物线C2：y=x2-2mx+m2-m+2（m≠1），顶点为Q.（1）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；

图