2025年黑龙江省大庆市中考数学试卷

第1页（共1页）2025年黑龙江省大庆市中考数学试卷一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。1．（3分）﹣2025的绝对值是（）A．2025 B． C．﹣2025 D．﹣2．（3分）某学校开展了“共走平安路”交通安全主题教育活动．以下交通标识图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球．据统计，截至2025年5月底（）A．0.15×1011 B．1.5×1010 C．1.5×1011 D．15×1094．（3分）由若干大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则该几何体的主视图为（）A． B． C． D．5．（3分）一个圆锥的底面半径为3，高为2，则它的体积为（）A．4π B．6π C．12π D．18π6．（3分）下列说法正确的是（）A．调查某种灯泡的使用寿命最适合采用普查的方式 B．64的平方根为8 C．若一个正多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是正五边形 D．甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定7．（3分）如图，△ABC中，AB＝BC＝2，点B，点C的对应点分别为点D，点D恰好落在线段CE上，则CD的长为（）A． B．4 C． D．68．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点与正比例函数y＝kx（k＞0）的图象交于点A．将正比例函数y＝kx（k＞0）个单位后得到的图象与y轴交于点B，与反比例函数，与x轴交于点D．线段CD与OA交于点E，点E为OA中点（）A． B．1 C． D．29．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝20cm．动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点C开始沿CD边以4cm/s的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为ts，当QP＝QH时（）A． B．4 C． D．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，，点E，BC上，，连接EF，F分别作线段AC的垂线，垂足分别为G，四边形EFHG，△PEG，△PFH，△PGH的面积分别为S0，S1，S2，S3，S4，若点P在运动中始终满足3S0＝S1+S2+S3+S4，则满足条件的所有点P组成的图形长度为（）A．2 B． C．4 D．2π二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。11．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是．12．（3分）因式分解：x2﹣x＝．13．（3分）写出一个图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大的一次函数表达式．14．（3分）不等式组的整数解有个．15．（3分）2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为．16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2．在AB和AC上分别截取AM，AN，N为圆心、以大于的长为半径作弧，则点D到AC的距离为．17．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝1．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，得到扇形DAE；第二次操作以点B为圆心，得到扇形EBF；第三次操作以点C为圆心，得到扇形FCG，依此类推进行操作，，…的圆心依次按A，B，C，D循环，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为．（结果保留π）18．（3分）定义：若点A（m，n），点A1（﹣m，﹣n）都在同一函数图象上，则称点A和点A1为该函数的一组“奇对称点对”，记为[A，A1]．规定：[A，A1]与[A1，A]为同一组“奇对称点对”．例如：点B（1，2）和点B1（﹣1，﹣2）都在一次函数y＝2x的图象上，则点B和点B1为一次函数y＝2x的一组“奇对称点对”，记为[B，B1]．下列说法正确的序号为．①点A（1，1），点A1（﹣1，﹣1），则点A和点A1为二次函数y＝x2+x﹣1的一组“奇对称点对”；②反比例函数有无数组“奇对称点对”；③点C（1，2），点C1（﹣1，﹣2），若[C，C1]为函数y＝ax2+bx﹣1的一组“奇对称点对”，则a＝2，b＝2；④由函数y＝﹣x在x＜0范围内的图象与函数y＝﹣x2+2x﹣k（k＞0）在x≥0范围内的图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数．若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范围是．三、解答题：本题10小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程。19．（4分）求值：．20．（4分）先化简，再求值：，其中x＝3．21．（5分）某公司开发了两款AI模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理10GB数据，求模型A每小时能处理多少GB数据？（备注：GB为数据的存储单位）22．（6分）数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度BC．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离AB＝70米．请根据提供的数据（结果精确到1米，参考数据：）23．（7分）开展航空航天教育对提升青少年的科学素养有重要的意义．某学校对学生进行了航空航天科普教育并组织全校学生参加航空航天知识竞赛，每个学生回答10道问题，每题10分．赛后发现所有学生知识竞赛成绩不低于70分．为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，绘制条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：请根据以上信息，完成下列问题：（1）①此次抽查的学生总数为；②请补全抽取的学生成绩条形统计图；③条形统计图中学生竞赛成绩得分的众数为分；（2）在扇形统计图中：m＝，得分为“100分”这一项所对应的圆心角是度；（3）已知该校共有3000名学生，请估计该校得分不低于90分的学生有多少名？24．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点D关于AC所在直线对称．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点D作BC的垂线交BC延长线于点E．若CE＝3，AD＝5，求线段OC长．25．（7分）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（65≤a≤72且a为整数）．（1）分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；（2）求当a为何值时，每天的利润W最大．26．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OA＝2，点B在反比例函数，△OBA为等边三角形，延长BO与反比例函数，连接CA并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D．（1）求反比例函数的表达式；（2）求点D的坐标及△OAD的面积；（3）在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABC相似，请直接写出Q点坐标；若不存在27．（9分）如图，DE为△ADE外接圆⊙O的直径，点C为线段DO上一点（不与D，O重合），连接BA并延长至点M，满足∠CAE＝∠MAE．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）证明：OE2＝OB•OC；（3）若射线BM与⊙O相切于点A，DC＝3，BD：OC＝10：928．（9分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过坐标原点O及点，过点A作射线AM平行于y轴（点M在点A上方）（0，1），连接AF并延长交抛物线于点E，射线AB平分∠FAM（1）求二次函数的表达式；（2）判断直线l与二次函数y＝ax2+bx+c的图象的公共点的个数，并说明理由；（3）点P（m，0）为x轴上的一个动点，且∠APE为钝角

2025年黑龙江省大庆市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ADB．DBCBCDA一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。1．（3分）﹣2025的绝对值是（）A．2025 B． C．﹣2025 D．﹣【解答】解：由题知，﹣2025的绝对值是2025．故选：A．2．（3分）某学校开展了“共走平安路”交通安全主题教育活动．以下交通标识图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B，也不是轴对称图形；C．既不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D，又是轴对称图形．故选：D．3．（3分）近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球．据统计，截至2025年5月底（）A．0.15×1011 B．1.5×1010 C．1.5×1011 D．15×109【解答】解1.5×1010．故选：B．4．（3分）由若干大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则该几何体的主视图为（）A． B． C． D．【解答】解：这个组合体的主视图为：故选：D．5．（3分）一个圆锥的底面半径为3，高为2，则它的体积为（）A．4π B．6π C．12π D．18π【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，高为2，∴它的体积＝，故选：B．6．（3分）下列说法正确的是（）A．调查某种灯泡的使用寿命最适合采用普查的方式 B．64的平方根为8 C．若一个正多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是正五边形 D．甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定【解答】解：A、调查某种灯泡的使用寿命，其范围广，故原说法不正确；B、64的平方根为±8，该选项不符合题意；C、∵多边形的每一个内角都是108°，∴每一个外角都是180°﹣108°＝72°，∵多边形的外角和为360°，∴这个多边形的边数为360°÷72°＝5，那么这个多边形是正五边形，故原说法正确；D、甲、乙两人在相同的条件下各射击5次，方差分别是，，0.1＜6.5，则甲的成绩较稳定，该选项不符合题意；故选：C．7．（3分）如图，△ABC中，AB＝BC＝2，点B，点C的对应点分别为点D，点D恰好落在线段CE上，则CD的长为（）A． B．4 C． D．6【解答】解：在△ABC中，AB＝BC＝2，∴，由旋转可知∠BAD＝120°，∴∠CAD＝90°，由旋转得：AD＝AB＝7，∠ADE＝120°，∴∠ADC＝60°，∴∠ACD＝30°，∴CD＝2AD＝2×5＝4，故选：B．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点与正比例函数y＝kx（k＞0）的图象交于点A．将正比例函数y＝kx（k＞0）个单位后得到的图象与y轴交于点B，与反比例函数，与x轴交于点D．线段CD与OA交于点E，点E为OA中点（）A． B．1 C． D．2【解答】解：由题知，令点A坐标为（m，），因为点E为OA的中点，所以点E的横坐标为．因为CD⊥x轴，所以点C的横坐标为，则点C坐标可表示为（）．将正比例函数y＝kx（k＞4）的图象向上平移个单位后，将点A和点C坐标分别代入y＝kx和y＝kx+得，mk＝，，则，解得m＝7，经检验m＝2是原方程的解，且符合题意，则2k＝7，解得k＝．故选：C．9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝20cm．动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点C开始沿CD边以4cm/s的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为ts，当QP＝QH时（）A． B．4 C． D．【解答】解：作QE⊥AB于点E，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形BCQE是矩形，∴CQ＝BE，由题意得AP＝t，BH＝2t，∴PH＝20﹣AP﹣BH＝20﹣3t，∵QP＝QH，QE⊥AB，∴，∵CQ＝BE，∴，解得，故选：D．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，，点E，BC上，，连接EF，F分别作线段AC的垂线，垂足分别为G，四边形EFHG，△PEG，△PFH，△PGH的面积分别为S0，S1，S2，S3，S4，若点P在运动中始终满足3S0＝S1+S2+S3+S4，则满足条件的所有点P组成的图形长度为（）A．2 B． C．4 D．2π【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝CD＝AB＝BC＝3，∴AC＝AB＝6，∵EG⊥AC，FH⊥AC，∴∠EGA＝∠EGC＝∠FHC＝∠FHG＝90°，∴∠AEG＝∠HFC＝45°，∴△AGE，△HFC为等腰直角三角形，∴AG＝GE，HC＝HF，∵AE＝CF＝，由勾股定理得AG＝GE＝HC＝HF＝7，BE＝BF，∴∠BEF＝∠BFE＝45°，∴∠BEF＝45°，∴∠GEF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∵∠EGH＝∠FHG＝90°，∴四边形GEFH是矩形，∴S0＝EG•GH＝1×5＝4，∵S1+S3+S3＝S0+S5，3S0＝S5+S2+S3+S3，∴S4＝4，∵动点P在△ACD内部及边界上运动，∴点P的运动轨迹是△ACD内部及边界上平行于AC的一条线段MN，则△DMN是等腰直角三角形，如图，取AC的中点O，则DO＝AC＝3，∵S7＝GH•OQ＝4，∴OQ＝2，∴DQ＝OD﹣OQ＝3﹣3＝1，∴MN＝2，即点P组成的图形长度为5，故选：A．二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。11．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是x≥1．【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0，解得x≥6．故答案为x≥1．12．（3分）因式分解：x2﹣x＝x（x﹣1）．【解答】解：x2﹣x＝x（x﹣1）．故答案为：x（x﹣6）．13．（3分）写出一个图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大的一次函数表达式y＝x+1（答案不唯一）．【解答】解：∵函数图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大，∴y＝x+1，故答案为：y＝x+1（答案不唯一）．14．（3分）不等式组的整数解有2个．【解答】解：，由①得：x﹣2＜14﹣6x，x＜4，由②得：3x﹣6＞2x﹣4，x＞6，∴1＜x＜4，∴整数解为7，3，共2个，故答案为：6．15．（3分）2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为．【解答】解：记“豆包”、“腾讯元宝”、“文心一言”分别用字母A，B，C，根据题意可列出表格如下：ABCDA一（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）一（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）一（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）一由表可知，共有12种等可能的结果，小庆同学恰好选中“豆包”和“腾讯元宝”的概率为，故答案为：．16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2．在AB和AC上分别截取AM，AN，N为圆心、以大于的长为半径作弧，则点D到AC的距离为．【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝，在Rt△ABD中，∵∠ABD＝90°，∴BD＝AB＝，∵AD平分∠BAC，∴点D到AB、AC的距离相等，而点D到AB的距离为，∴点D到AC的距离为．故答案为：．17．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝1．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，得到扇形DAE；第二次操作以点B为圆心，得到扇形EBF；第三次操作以点C为圆心，得到扇形FCG，依此类推进行操作，，…的圆心依次按A，B，C，D循环，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为π．（结果保留π）【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，∴第一次操作（扇形DAE），以点A为圆心，以AD为半径，∵AD＝1，圆心角n＝90°，∴S4＝＝π，第二次操作（扇形EBF），以点B为圆心，以BE为半径，∵BE＝2，圆心角n＝90°，∴S2＝＝π，第三次操作（扇形FCG），点C为圆心，以CF为半径，∵CF＝6，圆心角n＝90°，∴S3＝＝，第四次操作（扇形GDH），点D为圆心，以DG为半径，∵DG＝8，圆心角n＝90°，∴S4＝＝4π，∴S1+S6+S3+S4＝π+π+π．故答案为：π．18．（3分）定义：若点A（m，n），点A1（﹣m，﹣n）都在同一函数图象上，则称点A和点A1为该函数的一组“奇对称点对”，记为[A，A1]．规定：[A，A1]与[A1，A]为同一组“奇对称点对”．例如：点B（1，2）和点B1（﹣1，﹣2）都在一次函数y＝2x的图象上，则点B和点B1为一次函数y＝2x的一组“奇对称点对”，记为[B，B1]．下列说法正确的序号为①②④．．①点A（1，1），点A1（﹣1，﹣1），则点A和点A1为二次函数y＝x2+x﹣1的一组“奇对称点对”；②反比例函数有无数组“奇对称点对”；③点C（1，2），点C1（﹣1，﹣2），若[C，C1]为函数y＝ax2+bx﹣1的一组“奇对称点对”，则a＝2，b＝2；④由函数y＝﹣x在x＜0范围内的图象与函数y＝﹣x2+2x﹣k（k＞0）在x≥0范围内的图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数．若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范围是．【解答】解：①将x＝1代入y＝x2+x﹣6，得到y＝1+1﹣3＝1；将x＝﹣1代入y＝x5+x﹣1，得到y＝（﹣1）3﹣1﹣1＝﹣7；可知点A（1，1）5（﹣1，﹣1）都在二次函数y＝x2+x﹣1上，那么点A和点A1为二次函数y＝x5+x﹣1的一组“奇对称点对”；故①正确；②当x＝a（a≠0）代入，得到，当x＝﹣a代入，可得，∴，都在反比例函数上，∴，为反比例函数，∵a可以取无数个不为3的数，∴反比例函数有无数组“奇对称点对”；③∵点C（1，3）1（﹣1，﹣5），C1]为函数y＝ax2+bx﹣6的一组“奇对称点对”，∴点C（1，2）2（﹣1，﹣2）都在函数y＝ax6+bx﹣1上，∴，∴③错误；④不妨设C和C是函数的一组“奇对称点对”，即C和C1在w函数上，假设C（m，﹣m）在y＝﹣x上7（﹣m，m）在y＝﹣x2+2x﹣k上，将C7（﹣m，m）代入y＝﹣x2+2x﹣k，得到m＝﹣m2﹣2m﹣k，∴m2+6m+k＝0，∵，该函数有两组“奇对称点对”，∴m6+3m+k＝0有两个不同的实数根m7，m2，∴38﹣4k＞0，m8•m2＞0，∴（符合题意），∴，∴④正确；故答案为：①②④．三、解答题：本题10小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程。19．（4分）求值：．【解答】解：＝2﹣7+＝．20．（4分）先化简，再求值：，其中x＝3．【解答】解：＝＝＝x﹣1，当x＝3时，原式＝4．21．（5分）某公司开发了两款AI模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理10GB数据，求模型A每小时能处理多少GB数据？（备注：GB为数据的存储单位）【解答】解：设模型A每小时能处理xGB数据，则模型B每小时男处理（x+10）GB数据，根据题意得：＝，解得：x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，∴x+10＝20+10＝30，答：模型A每小时能处理20GB数据，模型B每小时能处理30GB数据．22．（6分）数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度BC．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离AB＝70米．请根据提供的数据（结果精确到1米，参考数据：）【解答】解：延长BC交直线l于点F，过点A作AE⊥l，则BF⊥l，由题意得：AE＝BF＝40米，AB＝EF＝70米，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，∴DE＝＝40（米），∴DF＝EF﹣DE＝70﹣40＝30（米），在Rt△CDF中，∠CDF＝30°，∴CF＝DF•tan30°＝30×＝10，∴BC＝BF﹣CF＝40﹣10≈23（米），∴楼房高度约为23米．23．（7分）开展航空航天教育对提升青少年的科学素养有重要的意义．某学校对学生进行了航空航天科普教育并组织全校学生参加航空航天知识竞赛，每个学生回答10道问题，每题10分．赛后发现所有学生知识竞赛成绩不低于70分．为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，绘制条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：请根据以上信息，完成下列问题：（1）①此次抽查的学生总数为200人；②请补全抽取的学生成绩条形统计图；③条形统计图中学生竞赛成绩得分的众数为90分；（2）在扇形统计图中：m＝144，得分为“100分”这一项所对应的圆心角是72度；（3）已知该校共有3000名学生，请估计该校得分不低于90分的学生有多少名？【解答】解：（1）①被调查的人数为：40÷20%＝200（人），故答案为：200；②200×25%＝50（人），补全条形统计图如下：③样本中竞赛成绩出现次数最多的是90分，共出现80次，故答案为：90；（2）80÷200×100%＝40%，即m＝40，360°×＝72°，故答案为：40，72；（3）3000×＝1800（人），答：该校3000名学生中得分不低于90分的学生大约有1800人．24．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点D关于AC所在直线对称．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点D作BC的垂线交BC延长线于点E．若CE＝3，AD＝5，求线段OC长．【解答】（1）证明：∵点B、点D关于AC所在直线对称，∴BD⊥AC，BO＝DO，∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（ASA），∴AB＝CD，又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：由（1）得：四边形ABCD是菱形，∴OC＝OA＝AC，∴BE＝BC+CE＝4+3＝8，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，在Rt△CED中，由勾股定理得：DE＝＝，在Rt△BED中，由勾股定理得：BD＝＝，∵S菱形ABCD＝DE•BC，S菱形ABCD＝AC•BD＝OC•BD，∴DE•BC＝OC•BD，∴OC＝＝＝．25．（7分）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（65≤a≤72且a为整数）．（1）分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；（2）求当a为何值时，每天的利润W最大．【解答】解：（1）由题意，设每个A纪念品的成本为x元，∴．∴．答：每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为35元．（2）由题意，每套成本为25+35＝60元，∴每套利润为（a﹣60）元．∵售价为72元时销量80套，每降价1元销量增10套，∴故销量为80+10（72﹣a）＝800﹣10a．∴利润W＝（a﹣60）（800﹣10a）＝﹣10a2+1400a﹣48000＝﹣10（a﹣70）3+1000．∵65≤a≤72且a为整数，∴当a＝70时，天的利润W最大．26．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OA＝2，点B在反比例函数，△OBA为等边三角形，延长BO与反比例函数，连接CA并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D．（1）求反比例函数的表达式；（2）求点D的坐标及△OAD的面积；（3）在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABC相似，请直接写出Q点坐标；若不存在【解答】解：（1）作BF⊥x轴于点F，∵△OBA为等边三角形，OA＝2，∴OB＝2，OF＝AF＝2，∴，∴点B的坐标为，∵点B在反比例函数的图象上，∴，∴反比例函数的表达式为；（2）∵延长BO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，∴点C与点B关于原点对称，∴点C的坐标为，∵OA＝2，∴点A的坐标为（2，6），设直线AC的解析式为y＝k'x+b，∴，解得，∴直线AC的解析式为，联立得，解得x＝3或x＝﹣3（舍去），经检验，x＝3是原方程的解，∴点D的坐标为，∴；（3）是，理由如下：∵△OBA为等边三角形，点C与点B关于原点对称，∴OA＝OB＝OC，∠BOA＝∠BAO＝60°，∴，∴∠BAC＝90°，当DQ⊥x轴时，∠DAQ＝∠OAC＝30°＝∠BCA，∠DQA＝∠BAC＝90°，∴△DQA∽△BAC，∵点D的坐标为，∴点O的坐标为（3，8）；当DQ⊥AD时，∠DAQ＝∠OAC＝30°＝∠BCA，∠QDA＝∠BAC＝90°，∴△QDA∽△BAC，∵点D的坐标为，点A的坐标为（2，∴，∴，∴，∴点O的坐标为，综上，点Q的坐标为（3．27．（9分）如图，DE为△ADE外接圆⊙O的直径，点C为线段DO上一点（不与D，O重合），连接BA并延长至点M，满足∠CAE＝∠MAE．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）证明：O