02　第一章　第2课时　常用逻辑用语

第一章集合、常用逻辑用语、不等式第2课时常用逻辑用语[考试要求]

1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．链接教材·夯基固本1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的______条件，q是p的______条件p是q的_______________条件p⇒q且q/⇒pp是q的必要不充分条件__________________p是q的充要条件_________p是q的____________________条件p/⇒q且q/⇒p充分必要充分不必要p/⇒q且q⇒pp⇔q既不充分也不必要2．全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“___”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“___”表示．∀∃3．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记________________________________否定_________________________________提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”，即两变一不变，量词与结论变，条件不变．∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)∀x∈M，綈p(x)[常用结论]设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B.(1)p是q的充分不必要条件⇔A

B；(2)p是q的必要不充分条件⇔A

B；(3)p是q的充要条件⇔A＝B；(4)p是q的既不充分也不必要条件⇔A与B没有包含关系．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(

)(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(

)(3)“三角形的内角和为180°”是存在量词命题．(

)(4)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词．(

)√√×√二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P31习题1.5T3改编)已知命题p：∀n∈N*，n2>n－1，则命题p的否定为(

)A．∀n∈N*，n2≤n－1

B．∀n∈N*，n2<n－1C．∃n∈N*，n2≤n－1D．∃n∈N*，n2<n－1C

[由全称量词命题的否定为存在量词命题，可得命题p：∀n∈N*，n2>n－1的否定綈p为“∃n∈N*，n2≤n－1”．]√2.(人教A版必修第一册P22习题1.4T2(2)改编)“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根”是“b2－4ac≥0(a≠0)”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件√3．(多选)(人教A版必修第一册P31习题1.5T1、T2改编)下列命题是全称量词命题且为真命题的是(

)A．∀x∈R，x2－x＋1>0B．∃x∈R，sinx＝2C．存在一个无理数，它的平方是有理数D．平面内，到A，B两点距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上√√4．(人教B版必修第一册P38习题1－2BT5改编)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围为____________[3，＋∞)典例精研·核心考点考点一充分、必要条件

充分、必要条件的判定[典例1]

(2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件√B

[由a2＝b2，即(a＋b)(a－b)＝0，解得a＝－b或a＝b，由a2＋b2＝2ab，即(a－b)2＝0，解得a＝b，故“a2＝b2”不能推出“a2＋b2＝2ab”，充分性不成立，

“a2＋b2＝2ab”能推出“a2＝b2”，必要性成立，故“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B.]

充分、必要条件的探求[典例2]若x，y∈R，则“x>y”的一个充分不必要条件可以是(

)√

充分、必要条件的应用[典例3]请在①充分不必要；②必要不充分；③充要中任选一个，补充在横线处，并解答．由不等式x2－2x＋1－m2＝(x－m－1)(x＋m－1)≤0(m>0)，解得1－m≤x≤1＋m，

(1)充分条件、必要条件的判定方法：定义法、集合法．(2)充分条件、必要条件的探求要分清题干的条件和结论，如“p的充分条件是q”等价于“q⇒p是真命题”．(3)应用集合之间的关系解答充分条件、必要条件求参数问题时，需注意区间端点值的检验．[跟进训练]1．(1)(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x,2)，则(

)A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件√(2)若“x＝α”是“sinx＋cosx>1”的一个充分条件，则α的一个可能取值是________.(2)由sinx＋cosx>1可得√

考点二全称量词与存在量词

含量词命题的否定[典例4]

(1)命题p的否定为“∃x<0，使得x＋2>2x”，则命题p为(

)A．∀x<0，x＋2>2xB．∃x≥0，使得x＋2>2xC．∀x<0，x＋2≤2xD．∃x≥0，使得x＋2≤2x(2)命题：“奇数的立方是奇数”的否定是__________.(1)C

(2)存在一个奇数，它的立方不是奇数[(1)因为命题p的否定为“∃x<0，使得x＋2>2x”，所以命题p为“∀x<0，x＋2≤2x”．故选C．(2)命题的否定为“存在一个奇数，它的立方不是奇数”．]√

含量词命题的真假判断[典例5]

(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1，命题q：∃x>0，x3＝x，则(

)A．p和q都是真命题B．綈p和q都是真命题C．p和綈q都是真命题D．綈p和綈q都是真命题B

[对于命题p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，綈p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，綈q是假命题．综上，綈p和q都是真命题．故选B.]

含量词命题的应用[典例6]若命题p：“∃x∈R，x2－mx－m≤0”为假命题，则实数m的取值范围是________.(－4,0)

[法一：若p为真命题，即∃x∈R，x2－mx－m≤0，所以Δ＝m2＋4m≥0，所以m≥0或m≤－4，所以当p为假命题时，－4<m<0.法二：因为p为假命题，所以綈p：∀x∈R，x2－mx－m>0为真命题，即Δ＝m2＋4m<0，所以－4<m<0.]

含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题，需证明所有对象使命题成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个对象使命题成立即可．当一个命题的真假不易判断时，可以先判断其否定的真假．(2)由命题真假求参数的取值范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的取值范围；二是利用等价命题，即p与綈p的关系，转化为綈p的真假求参数的取值范围．(3)全称量词命题对应恒成立，存在量词命题对应成立．[跟进训练]2．(1)命题p：∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根，则对命题p的真假判断和綈p正确的为(

)A．真命题，綈p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根B．假命题，綈p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根C．真命题，綈p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根D．假命题，綈p：∃a∈