21　第三章　第2课时　导数与函数的单调性

第三章一元函数的导数及其应用第2课时导数与函数的单调性[考试要求]

1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．链接教材·夯基固本1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在区间(a，b)上____________f′(x)<0f(x)在区间(a，b)上____________f′(x)＝0f(x)在区间(a，b)上是____________单调递增单调递减常数函数2．利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的_________；第2步，求出导数f′(x)的______；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．定义域零点[常用结论]1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解.3．f′(x)＞0在(a，b)上恒成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件，举例：f(x)＝x3在R上单调递增，但f′(0)＝0.一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(

)(2)若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)上单调递减．(

)(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(

)(4)函数f(x)＝x－sinx在R上单调递增．(

)√√×√二、教材经典衍生1.(人教A版选择性必修第二册P103复习参考题5T3改编)f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(

)√C

[由f′(x)的图象知，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，所以f(x)单调递增；当x∈(0，x1)时，f′(x)<0，所以f(x)单调递减；当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)单调递增．故选C．]2．(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)函数f(x)＝cosx－x在(0，π)上的单调性是(

)A．先增后减 B．先减后增C．单调递增 D．单调递减D

[因为f′(x)＝－sinx－1＜0在(0，π)上恒成立，所以f(x)在(0，π)上单调递减．故选D.]√3．(人教A版选择性必修第二册P97

习题5.3T1改编)函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为________.4．(人教A版选择性必修第二册P87

例3改编)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则实数a的最大值是________.3

[f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，又因为x∈[1，＋∞)，所以a≤3，即a的最大值是3.]典例精研·核心考点

考点一不含参数的函数的单调性[典例1]

(1)(2025·菏泽调研)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(

)A．f(x)＝sin2x

B．f(x)＝xexC．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋lnx√

利用导函数求函数单调区间的注意点(1)必须先求函数定义域，单调区间是定义域的子集．(2)正确求导函数．(3)当f′(x)＝0无解时，可根据f′(x)的结构特征确定f′(x)的符号．(4)所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，所以f′(x)＞0；当x＞1时，h(x)＜0，所以f′(x)＜0.综上，f(x)的单调递增区间是(0,1)．]考点二含参数的函数的单调性[拓展变式]若将本例中a>0改为a∈R，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性．解：当a>0时，讨论同例题解析；当a≤0时，ax－1<0，所以x∈(0,1)时，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．综上，当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；

(1)对于含参数的函数的单调性，常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个：分类讨论点1(根的有无讨论)：求导后，考虑f′(x)＝0是否有实数根，从而引起分类讨论；分类讨论点2(根在不在定义域内讨论)：求导后，f′(x)＝0有实数根，但不清楚f′(x)＝0的实数根是否落在定义域内，从而引起分类讨论；分类讨论点3(根的大小的讨论)：求导后，f′(x)＝0有实数根，f′(x)＝0的实数根也落在定义域内，但不清楚这些实数根的大小关系，从而引起分类讨论．(2)求出f′(x)后，先观察f′(x)的解析式的特征，当参数取某些特殊值或在某一取值范围内时，f′(x)≥0(≤0)恒成立，再解不等式．√

考点三函数单调性的应用

比较大小或解不等式[典例3]

(1)已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则(

)A．c<b<a B．b<c<aC．a<c<b D．a<b<c(2)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)>0，且f(1)＝2，则f(ex)>2ex的解集为(

)A．(0，＋∞) B．(ln2，＋∞)C．(1，＋∞) D．(0,1)√(1)D

(2)A

[(1)由题意得0<a<5,0<b<4,0<c<3.即f(5)＝f(a)，而0<a<5，故0<a<1.同理0<b<1,0<c<1，f(4)＝f(b)，f(3)＝f(c)．因为f(5)>f(4)>f(3)，所以f(a)>f(b)>f(c)，所以0<a<b<c<1.故选D.

灵活构造函数，利用函数单调性比较大小或解抽象不等式．

求参数的取值范围因为函数g(x)在[1,2]上单调递增，所以g′(x)≥0在[1,2]上恒成立，所以a≥－2x2－x在[1,2]上恒成立，所以a≥(－2x2－x)max，x∈[1,2]．在[1,2]上，(－2x2－x)max＝－3，所以a≥－3，所以实数a的取值范围是[－3，＋∞)．(2)g(x)在[1,2]上存在单调递增区间，则g′(x)＞0在[1,2]上有解，即a＞－2x2－x在[1,2]上有解，所以a＞(－2x2－x)min.又(－2x2－x)min＝－10，所以a＞－10.所以实数a的取值范围为(－10，＋∞)．[拓展变式]

(1)(变条件)若函数g(x)在区间[1,2]上单调递减，求实数a的取值范围；(2)(变条件)若函数g(x)在区间[1,2]上不单调，求实数a的取值范围．t＝－2x2－x取得最小值－10.所以a≤－10，即实数a的取值范围为(－∞，－10]．(2)因为函数g(x)在区间[1,2]上不单调，所以g′(x)＝0在区间(1,2)内有解，所以y＝－2x2－x在(1,2)上的值域为(－10，－3)，所以实数a的取值范围为(－10，－3)．

根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)f(x)在区间(a，b)上单调递增的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解，但有时等号取不到或f′(x)＝0恒成立．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．√[跟进训练]3．(1)若函数f(x)＝loga(ax－x3)(a>0且a≠1)在区间(0,1)内单调递增，则a的取值范围是(

)A．[3，＋∞) B．(1,3](2)设函数f(x)，g(x)在R上的导函数存在，且f′(x)<g′(x)，则当x∈(a，b)时，(

)A．f(x)<g(x) B．f(x)>g(x)C．f(x)＋g(a)<g(x)＋f(a) D．f(x)＋g(b)<g(x)＋f(b)√(1)A

(2)C

[(1)令μ＝g(x)＝ax－x3，则g′(x)＝a－3x2，此时g(x)在(0,1)上单调递增，则g(x)>g(0)＝0恒成立．(2)设h(x)＝f(x)－g(x)，则h′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，所以h(x)在R上单调递减．因为a<x<b，所以h(a)>h(x)>h(b)，即f(a)－g(a)>f