31　第四章　第3课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第四章三角函数与解三角形第3课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式[考试要求]

1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．链接教材·夯基固本1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝____________________；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝____________________；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝_____________________；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝_____________________；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝________________；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝________________.cos

αcos

β＋sin

αsin

βcos

αcos

β－sin

αsin

βsin

αcos

β－cos

αsin

βsin

αcos

β＋cos

αsin

β2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝___________＝__________；(3)tan2α＝___________.2cos2α－11－2sin2α[常用结论]1．两角和与差的公式的常用变形(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(

)(2)在锐角三角形ABC中，sinAsinB和cosAcosB的大小关系不确定．(

)√×××√2．(人教A版必修第一册P229习题5.5T6(1)改编)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝(

)√√√典例精研·核心考点考点一和、差、倍角公式的直接应用√(2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tanαtanβ＝2，则cos(α－β)＝(

)√(2)因为cos(α＋β)＝m，所以cosαcosβ－sinαsinβ＝m.又因为tanαtanβ＝2，所以sinαsinβ＝2cosαcosβ，故cosαcosβ－2cosαcosβ＝m，即cosαcosβ＝－m.从而sinαsinβ＝－2m，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－3m.故选A．]

应用公式化简求值的策略(1)要记住公式的结构特征和符号变化规律．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．√√√

考点二公式的逆用与变形

公式的逆用[典例2]

(多选)下列等式正确的是(

)√√

公式的变形√cosγ＝cosα－cosβ，将两式分别平方后相加，得1＝(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝2－2(sinβsinα＋cosβcosα)，

三角函数公式活用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．√[跟进训练]2．(1)(2025·潍坊模拟)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为(

)√A．a>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．a>c>b(2)a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°＝cos50°cos127°＋sin50°sin127°＝cos239°－sin239°＝cos78°＝sin12°.因为当0°≤x≤90°时，函数y＝sinx单调递增，所以sin13°>sin12°>sin11°，所以a>c>b.]√考点三角的变换问题√(2)已知α，β满足sin(2α＋β)＝cosβ，tanα＝2，则tanβ的值为(

)(2)因为sin(2α＋β)＝cosβ，所以sin(α＋α＋β)＝cos(α＋β－α)，即sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝cos(α＋β)cosα＋sinαsin(α＋β)，显然cosα≠0，两边同除cosα得：tanαcos(α＋β)＋sin(α＋β)＝cos(α＋β)＋tanαsin(α＋β)，2cos(α＋β)＋sin(α＋β)＝cos(α＋β)＋2sin(α＋β)，即cos(α＋β)＝sin(α＋β)，易知cos(α＋β)≠0，

三角公式求值中变角的解题思路(2)当“已知角”有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，应用诱导