71　第八章　第9课时　圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题

第八章解析几何第9课时圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题典例精研·核心考点

考点一定点问题(1)求双曲线C的方程．(2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，从下面两个条件中选一个，证明：直线l过定点．①k1＋k2＝1；②k1k2＝1.当m＝2k＋3时，y＝kx＋m＝kx＋2k＋3＝k(x＋2)＋3，则直线l过定点(－2,3)；当m＝－4k＋3时，y＝kx＋m＝kx－4k＋3＝k(x－4)＋3，则直线l过定点P(4,3)，不合题意．综上可得，直线l过定点(－2,3)．

求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线过定点(0，m)．(3)解析几何大题中设直线方程一般有三种设法：y－y0＝k(x－x0)，x＝my＋n，y＝kx＋m.若设y＝kx＋m这种形式，研究定点，只需根据条件得到m与k的关系即可，如m＝3k.[跟进训练]

考点二定值问题

圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)证明代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值．(2)证明点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)证明某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．(4)定值问题可由特殊情况先寻求定值，再推广到一般，这样方向和目标明确．[跟进训练]2．已知直线l1：y＝2x和直线l2：y＝－2x，过动点E作平行于l2的直线交l1于点A，过动点E作平行于l1的直线交l2于点B，且四边形OAEB(O为原点)的面积为4.(1)求动点E的轨迹方程；解：(1)设E(x0，y0)，过点E(x0，y0)且平行于l2的直线方程为y－y0＝－2(x－x0)．

考点三定直线问题(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．

定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题．这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法如下．(1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程．(2)待定系数法：设出含参数的直线方程，代入已知条件求解出系数．(3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证．[跟进训练](1)求E的标准方程；(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上.椭圆中的等角定理逆定理双曲线的等角定理逆定理注：定点在实轴上即可，不要求在双曲线内部，也不要求过定点的直线必须是和同一侧曲线相交于两点，包括如下三种情况，证明过程一致．证明：普通联立法即可．抛物线的等角定理已知抛物线C：y2＝2px，直线l过定点(m,0)(m≠0)，同时直线l与抛物线C交于P，Q两点，则x轴上存在点R(－m,0)，使得∠ORP＝∠ORQ.逆定理已知抛物线C：y2＝2px与x轴上定点R(m，0)(m≠0)，直线l与抛物线C交于P，Q两点，若∠ORP＝∠ORQ，则直线恒过定点(－m,0)．注：定点在对称轴上即可．证明：普通联立法即可．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.点拨：解析几何中与角有关的问题可以向斜率转化．课时分层作业(六十)点击页面进入