70　第八章　第8课时　抛物线

第8课时抛物线[考试要求]1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用.4.理解数形结合的思想．1．抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R[常用结论]1．与焦点弦有关的常用结论如图，倾斜角为α的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；(3)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p；(4)焦半径：|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，特别地eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；(5)以弦AB为直径的圆与准线相切；(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(8)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝eq\f(p2,2sinα)＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|.2．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上异于原点O的两点，则OA⊥OB是直线AB过定点(2p,0)的充要条件．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(×)(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(×)(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，准线方程是x＝－eq\f(a,4).(×)(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第一册P133练习T2改编)抛物线y＝eq\f(1,4)x2的准线方程是()A．y＝－1 B．y＝－2C．x＝－1 D．x＝－2A[因为y＝eq\f(1,4)x2，所以x2＝4y，所以准线方程为y＝－1.]2．(人教A版选择性必修第一册P133练习T3改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A．eq\f(17,16) B．eq\f(15,16)C．eq\f(7,8) D．0B[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－eq\f(1,16)，设M(x，y)，则y＋eq\f(1,16)＝1，所以y＝eq\f(15,16).]3．(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)已知过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点．如果x1＋x2＝6，那么|PQ|等于()A．9 B．8C．7 D．6B[抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.]4．(人教A版选择性必修第一册P134例3改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________.y2＝－8x或x2＝－y[设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.]考点一抛物线的定义及应用动点轨迹的判定[典例1](1)(2025·泰安模拟)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P的轨迹方程为()A．y2＝2x B．y2＝4xC．y2＝－4x D．y2＝－8x(2)动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A．直线 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线(1)D(2)D[(1)由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与定点(－2,0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2,0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.故选D.(2)设动圆的圆心为点C，半径为r，则点C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1.又动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆的圆心到直线x＝2的距离为r＋1.根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线．故选D.]抛物线上的点到定点的距离及最值[典例2](1)(2023·北京高考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝()A．7 B．6C．5 D．4(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于.(1)D(2)42或22[(1)如图所示，因为点M到直线x＝－3的距离|MR|＝5，所以点M到直线x＝－2的距离|MN|＝4.又抛物线上点M到准线x＝－2的距离和到焦点F的距离相等，故|MF|＝|MN|＝4.故选D.(2)当点M(20,40)位于抛物线内时，如图1，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得20＋eq\f(p,2)＝41，解得p＝42.当点M(20,40)位于抛物线外时，如图2，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得eq\r(402＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(p,2)))2)＝41，解得p＝22或p＝58.当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去．综上，p＝42或p＝22.]抛物线定义的应用规律[跟进训练]1．(1)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线l与坐标轴交于点N，M是抛物线上一点．若|FN|＝|FM|，则△FMN的面积为()A．4 B．2eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2(2)已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上的一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是.(1)D(2)eq\r(17)－1[(1)由x2＝4y，得p＝2，则|FN|＝|FM|＝2.根据抛物线的定义知|MF|＝yM＋eq\f(p,2)＝yM＋1＝2，解得yM＝1，代入x2＝4y，得xM＝±2，所以△FMN的面积为eq\f(1,2)×2×2＝2.故选D.(2)由题可知，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，焦点坐标为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心坐标为E(0,4)，半径为R＝1.设点P到抛物线准线的距离为|PP′|，则|PP′|＝|PF|，故|PP′|＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|，所以当动点Q，P位于线段EF上时，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和最小，此时|PP′|＋|PQ|＝|EF|－R＝eq\r(17)－1.]考点二抛物线的标准方程与几何性质[典例3](1)(多选)过点(1，－2)的抛物线的标准方程可能是()A．y2＝4x B．y2＝－4xC．x2＝－eq\f(1,2)y D．x2＝eq\f(1,2)y(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为______.(1)AC(2)x＝－eq\f(3,2)[(1)点(1，－2)满足y2＝4x，x2＝－eq\f(1,2)y，所以过点(1，－2)的抛物线的标准方程可能是y2＝4x，x2＝－eq\f(1,2)y.故选AC.(2)法一(解直角三角形法)：由题易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以eq\f(|OF|,|PF|)＝eq\f(|PF|,|FQ|)，即eq\f(\f(p,2),p)＝eq\f(p,6)，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－eq\f(3,2).法二(应用射影定理法)：由题易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq\f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－eq\f(3,2).]1.求抛物线的标准方程的方法(1)定义法．(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，为避免过多的讨论，通常依据焦点所在的位置，将抛物线的标准方程设为y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)．2．抛物线性质的应用要树立两个意识(1)转化意识：“见准线想焦点，见焦点想准线”．(2)图形意识：借助平面图形的性质简化运算．[跟进训练]2.(1)(2025·日照模拟)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q.若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝()A．3 B．6C．9 D．12(2)如图所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x(3)已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点．若|PF|＝4，则△POF的面积为________.(1)B(2)B(3)eq\r(3)[(1)设准线l与x轴交于点H(图略)，依题意∠QFH＝60°，|HF|＝3，|QH|＝3eq\r(3)，|QF|＝6，又|PF|＝|QP|，∠PQF＝60°，则△PQF为等边三角形，|PF|＝6.故选B.(2)如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D.设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°.在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，又|AF|＝4，所以|AC|＝4＋3a，|AE|＝4，所以4＋3a＝8，从而得a＝eq\f(4,3).因为AE∥FG，所以eq\f(FG,AE)＝eq\f(CF,AC)，即eq\f(p,4)＝eq\f(4,8)，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.故选B.(3)法一(通性通法)：由y2＝4x可得抛物线的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，如图，过点P作准线x＝－1的垂线，垂足为点M，根据抛物线的定义可知|PM|＝|PF|＝4.设P(x，y)，则x－(－1)＝4，解得x＝3.将x＝3代入y2＝4x，可得y＝±2eq\r(3)，所以△POF的面积为eq\f(1,2)|y|·|OF|＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1＝eq\r(3).法二(巧用结论)：设∠PFx＝θ，则|PF|＝eq\f(p,1－cosθ)＝eq\f(2,1－cosθ)＝4，所以cosθ＝eq\f(1,2)，即θ＝60°.设P(x，y)，则|y|＝|PF|sinθ＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，所以S△POF＝eq\f(1,2)×|OF|×|y|＝eq\f(1,2)×1×2eq\r(3)＝eq\r(3).]考点三直线与抛物线的位置关系[典例4](1)(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－eq\r(3)(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则()A．p＝2B．|MN|＝eq\f(8,3)C．以MN为直径的圆与l相切D．△OMN为等腰三角形(2)若抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是________.(1)AC(2)(－eq\r(2)，eq\r(2))[(1)由题意，易知直线y＝－eq\r(3)(x－1)过点(1,0)．因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1,0)，所以eq\f(p,2)＝1，即p＝2，A正确．不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1<x2，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)x－1，,y2＝4x，))消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝eq\f(1,3)，x2＝3，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2\r(3),3)))，N(3，－2eq\r(3))．由抛物线的定义得，|MN|＝x1＋x2＋p＝eq\f(10,3)＋2＝eq\f(16,3)，B错误．准线l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，－\f(2\r(3),3)))，半径r＝eq\f(1,2)|MN|＝eq\f(8,3)＝eq\f(5,3)＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，C正确．由两点间距离公式可得|OM|＝eq\f(\r(13),3)，|ON|＝eq\r(21)，又|MN|＝eq\f(16,3)，D错误．故选AC.(2)当k＝0时，显然符合题意．当k≠0时，设两对称点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)．由yeq\o\al(2,1)＝2x1，yeq\o\al(2,2)＝2x2，两式相减得(y1＋y2)·(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2,y1＋y2)＝eq\f(2,2y0)＝eq\f(1,y0).由对称性知kBC＝－eq\f(1,k)，点M在直线y＝k(x－2)上，所以y0＝－k，y0＝k(x0－2)，所以x0＝1.由点M在抛物线内，得yeq\o\al(2,0)<2x0，即(－k)2<2，所以－eq\r(2)<k<eq\r(2)，且k≠0.综上，k的取值范围为(－eq\r(2)，eq\r(2))．]解决直线与抛物线位置关系问题的方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p；若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．(3)重视常用结论在选择、填空题中的灵活应用．[跟进训练]3．(1)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l：y＝k(x＋1)与C交于A，B两点(A在B的左边)，则4|AF|＋|BF|的最小值是()A．10 B．9C．8 D．5(2)(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则()A．C的准线为y＝－1B．直线AB与C相切C．|OP|·|OQ|＞|OA|2D．|BP|·|BQ|＞|BA|2(1)B(2)BCD[(1)由题知C的焦点F(1,0)，准线为x＝－1，如图，作AM⊥准线，BN⊥准线，l：y＝k(x＋1)过定点(－1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx＋1，))得k2(x2＋2x＋1)－4x＝0，即k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，所以x1x2＝eq\f(k2,k2)＝1.又因为|AF|＝|AM|＝x1＋1，|BF|＝|BN|＝x2＋1，所以4|AF|＋|BF|＝4x1＋4＋x2＋1＝4x1＋x2＋5≥2eq\r(4x1x2)＋5＝2×2＋5＝9，当且仅当4x1＝x2时取等号．故选B.(2)将点A的坐标代入抛物线方程得1＝2p，所以抛物线方程为x2＝y，故准线方程为y＝－eq\f(1,4)，A错误．kAB＝eq\f(1－－1,1－0)＝2，所以直线AB的方程为y＝2x－1，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,x2＝y，))可得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，即直线AB与C相切于点A，故B正确．设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，所以直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx－1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,x2＝y，))得x2－kx＋1＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝k2－4＞0，,x1＋x2＝k，,x1x2＝1，))所以k＞2或k＜－2，y1y2＝(x1x2)2＝1.又|OP|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))＝eq\r(y1＋y\o\al(2,1))，|OQ|＝eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))＝eq\r(y2＋y\o\al(2,2))，所以|OP|·|OQ|＝eq\r(y1y21＋y11＋y2)＝eq\r(kx1·kx2)＝|k|＞2＝|OA|2，故C正确．因为|BP|＝eq\r(1＋k2)|x1|，|BQ|＝eq\r(1＋k2)|x2|，所以|BP|·|BQ|＝(1＋k2)|x1x2|＝1＋k2＞5，而|BA|2＝5，故D正确．故选BCD.]如图，假设抛物线方程为x2＝2py(p＞0),过抛物线准线y＝－eq\f(p,2)上一点P(x0，y0)向抛物线引两条切线，切点分别记为A，B，其坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则以点P和两切点A，B围成的△PAB中，有如下的常见结论：(1)抛物线在A处的切线方程：x1x＝p(y＋y1)，抛物线在B处的切线方程：x2x＝p(y＋y2)，直线AB的方程：x0x＝2peq\f(y0＋y,2)＝p(y0＋y)；(2)直线AB过抛物线的焦点；(3)过F的直线与抛物线交于A，B两点，以A，B分别为切点作两条切线，则这两条切线的交点P(x0，y0)的轨迹即为抛物线的准线；(4)PF⊥AB；(5)AP⊥PB；(6)若直线AB的中点为M，则PM平行于抛物线的对称轴．[典例1](多选)阿基米德是古希腊的物理学家、数学家、天文学家．若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称△PAB为“阿基米德三角形”．已知抛物线x2＝8y的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为x－y＋2＝0，弦AB的中点为C，则关于“阿基米德三角形”PAB，下列结论正确的是()A．点P(eq\r(3)，－2) B．PC⊥x轴C．PA⊥PB D．PF⊥ABBCD[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝8y，,y＝x＋2，))消去y可得x2－8x－16＝0.令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，x1x2＝－16.因为y＝eq\f(x2,8)，所以y′＝eq\f(x,4)，kPA＝eq\f(x1,4)，所以PA：y＝eq\f(x1,4)(x－x1)＋eq\f(x\o\al(2,1),8)＝eq\f(x1,4)x－eq\f(x\o\al(2,1),8)，PB：y＝eq\f(x2,4)x－eq\f(x\o\al(2,2),8)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(x1,4)x－\f(x\o\al(2,1),8)，,y＝\f(x2,4)x－\f(x\o\al(2,2),8)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)＝4，,y＝\f(x1x2,8)＝－2，))即P(4，－2)，A错误；xC＝eq\f(x1＋x2,2)＝4，所以PC⊥x轴，B正确；kPF＝eq\f(－2－2,4－0)＝－1，kAB＝1，kPF·kAB＝－1，所以PF⊥AB，D正确；kPA·kPB＝eq\f(x1x2,16)＝－1，所以PA⊥PB，C正确．故选BCD.][典例2](2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求p的值；(2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．解：(1)由题意知M(0，－4)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，圆M的半径r＝1，所以|MF|－r＝4，即eq\f(p,2)＋4－1＝4，解得p＝2.(2)由(1)知，抛物线方程为x2＝4y，由题意可知直线AB的斜率存在，设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(x\o\al(2,1),4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(x\o\al(2,2),4)))，直线AB的方程为y＝kx＋b，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,x2＝4y，))消去y得x2－4kx－4b＝0，则Δ＝16k2＋16b＞0，①x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝4eq\r(1＋k2)·eq\r(k2＋b).因为x2＝4y，即y＝eq\f(x2,4)，所以y′＝eq\f(x,2)，则抛物线在点A处的切线斜率为eq\f(x1,2)，在点A处的切线方程为y－eq\f(x\o\al(2,1),4)＝eq\f(x1,2)(x－x1)，即y＝eq\f(x1,2)x－eq\f(x\o\al(2,1),4)，同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝eq\f(x2,2)x－eq\f(x\o\al(2,2),4)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(x1,2)x－\f(x\o\al(2,1),4)，,y＝\f(x2,2)x－\f(x\o\al(2,2),4)，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)＝2k，,y＝\f(x1x2,4)＝－b，))即P(2k，－b)．因为点P在圆M上，所以4k2＋(4－b)2＝1，②且－1≤2k≤1，－5≤－b≤－3，即－eq\f(1,2)≤k≤eq\f(1,2)，3≤b≤5，满足①.设点P到直线AB的距离为d，则d＝eq\f(|2k2＋2b|,\r(1＋k2))，所以S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝4eq\r(k2＋b3).由②得，k2＝eq\f(1－4－b2,4)＝eq\f(－b2＋8b－15,4)，令t＝k2＋b，则t＝eq\f(－b2＋12b－15,4)，且3≤b≤5.因为t＝eq\f(－b2＋12b－15,4)在[3,5]上单调递增，所以当b＝5时，t取得最大值，tmax＝5，此时k＝0，所以△PAB面积的最大值为20eq\r(5).课时分层作业(五十八)(本试卷共99分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．)一、单项选择题1．抛物线y＝－eq\f(1,2)x2的焦点坐标为()A．(－1,0) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))C．(0，－1) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)))D[抛物线的标准方程为x2＝－2y，所以焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2))).故选D.]2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为()A．y2＝x B．y2＝2xC．y2＝4x D．y2＝8xC[根据题意，抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，与y轴平行，若抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则该抛物线上任意一点到准线的距离比到y轴的距离大1，故eq\f(p,2)＝1，解得p＝2.故抛物线的标准方程为y2＝4x.故选C.]3．“米”是象形字．数学探究课上，某同学用拋物线C1：y2＝－2px(p＞0)和C2：y2＝2px(p＞0)构造了一个类似“米”字形的图案，如图所示．若抛物线C1，C2的焦点分别为F1，F2，点P在拋物线C1上，过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q，若|PF1|＝2|PQ|＝4，则p＝()A．2 B．3C．4 D．6D[因为2|PQ|＝4，所以|PQ|＝2.由抛物线的对称性知xP＝－1，由抛物线的定义可知，|PF1|＝eq\f(p,2)－xP，即4＝eq\f(p,2)－(－1)，解得p＝6.故选D.]4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线l的倾斜角等于()A．30°或150° B．45°或135°C．60°或120° D．与p值有关C[如图所示，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线方程为x＝－eq\f(p,2)，分别过点A，B作准线的垂线，垂足为A′，B′，直线l交准线于点C，作BM⊥AA′，垂足为M，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AA′))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BB′))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)).又|FA|＝3|FB|，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AM))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝4eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF))，所以∠ABM＝30°，即直线l的倾斜角等于∠AFx＝60°.同理可得直线l的倾斜角为钝角时即为120°.故选C.]5．(2025·菏泽模拟)已知点P为抛物线x2＝4y上任意一点，点A是圆x2＋(y－6)2＝5上任意一点，则|PA|的最小值为()A．eq\r(5) B．2eq\r(5)C．3eq\r(5) D．6－eq\r(5)A[圆x2＋(y－6)2＝5的圆心为C(0,6)，半径r＝eq\r(5).设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(x\o\al(2,0),4)))，则|PC|2＝xeq\o\al(2,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),4)－6))2＝eq\f(1,16)xeq\o\al(4,0)－2xeq\o\al(2,0)＋36＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x\o\al(2,0)－4))2＋20，当xeq\o\al(2,0)＝16时，|PC|2有最小值20.数形结合可知|PA|min＝|PC|min－eq\r(5)＝2eq\r(5)－eq\r(5)＝eq\r(5).]6．如图，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是()A．(6,10) B．(8,12)C．[6,8] D．[8,12]B[抛物线y2＝8x的准线方程l：x＝－2，焦点F(2，0)，由抛物线的定义可得|AF|＝xA＋2，圆(x－2)2＋y2＝16的圆心(2,0)，半径R＝4，所以△FAB的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,x2＋y2－4x－12＝0，))消去y，得x2＋4x－12＝0，解得x＝2(x＝－6舍去)，即交点的横坐标为2，所以xB∈(2,6)，所以6＋xB∈(8,12)，所以△FAB的周长的取值范围是(8,12)．故选B.]7．(2025·泰安模拟)设抛物线E：y2＝8x的焦点为F，过点M(4,0)的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比eq\f(S△BCF,S△ACF)＝()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,7)C[如图，过点B作BD垂直准线x＝－2于点D，则由抛物线定义可知，|BF|＝|BD|＝3.设直线AB的方程为x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－2，yC)，不妨设m＞0，则y1＞0，y2＜0，所以x2＋2＝3，解得x2＝1.又yeq\o\al(2,2)＝8x2＝8，解得y2＝－2eq\r(2)，则B(1，－2eq\r(2))，所以－2eq\r(2)m＋4＝1，解得m＝eq\f(3\r(2),4).故直线AB的方程为x＝eq\f(3\r(2),4)y＋4，所以当x＝－2时，即eq\f(3\r(2),4)y＋4＝－2，解得yC＝－4eq\r(2)，则C(－2，－4eq\r(2))．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3\r(2),4)y＋4，,y2＝8x，))消去x，得y2－6eq\r(2)y－32＝0，则y1y2＝－32，所以y1＝8eq\r(2).因此eq\f(S△BCF,S△ACF)＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(y2－yC,y1－yC)＝eq\f(2\r(2),12\r(2))＝eq\f(1,6).故选C.]8．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A．16 B．14C．12 D．10A[由题意知，抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为－eq\f(1,k)，故l1：y＝k(x－1),l2：y＝－eq\f(1,k)(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx－1，))消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)＝2＋eq\f(4,k2).由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋eq\f(4,k2).同理得|DE|＝4＋4k2，所以|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋eq\f(4,k2)≥8＋2eq\r(16)＝16，当且仅当eq\f(1,k2)＝k2，即k＝±1时取等号．故|AB|＋|DE|的最小值为16.]二、多项选择题9．已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则下列结论中正确的有()A．点M的坐标可能为(1,2)B．坐标原点在以PQ为直径的圆内C．OP与OQ的斜率之积为定值D．线段PQ的最小值为4BC[抛物线C：y2＝2x的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，设过焦点F的直线方程为x＝my＋eq\f(1,2)，与抛物线方程联立可得y2－2my－1＝0，Δ＝4m2＋4>0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，若点M的坐标为(1,2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝2m，,y1y2＝－1，,x1＋x2＝2m2＋1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＝4，,2m2＋1＝2，))方程组无解，故A错误；又eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(my1＋\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(my2＋\f(1,2)))＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋eq\f(1,2)m(y1＋y2)＋eq\f(1,4)＝－(m2＋1)＋m2＋eq\f(1,4)＝－eq\f(3,4)<0，即eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))<0，所以坐标原点在以PQ为直径的圆内，故B正确；kOP·kOQ＝eq\f(y1y2,x1x2)＝eq\f(y1y2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(my1＋\f(1,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(my2＋\f(1,2))))＝eq\f(y1y2,m2y1y2＋\f(1,2)my1＋y2＋\f(1,4))＝eq\f(－1,－m2＋\f(1,2)m×2m＋\f(1,4))＝－4，故C正确；抛物线的通径为2p＝2，所以线段PQ的长度的最小值为2，故D错误．故选BC.]10．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l绕点P(－2，1)旋转，点Q为C上的动点(O为坐标原点)，则()A．以Q为圆心，|QF|为半径的圆与直线x＝－1相切B．若直线l与抛物线有且只有一个公共点，则这样的直线l有两条C．线段PF的垂直平分线方程为3x－y＋2＝0D．过点F的直线交C于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线有2条AC[由抛物线C：y2＝4x可知，C的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义可知以Q为圆心，|QF|为半径的圆与直线x＝－1相切，A正确；当过点P(－2,1)的直线l的斜率不存在时，直线l与抛物线无公共点，当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则过点P(－2，1)的直线方程为l：y＝k(x＋2)＋1，当k＝0时，直线l：y＝1与抛物线有且只有一个公共点，当k≠0时，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2＋1，,y2＝4x，))整理可得k2x2＋(4k2＋2k－4)x＋4k2＋4k＋1＝0，所以Δ＝(4k2＋2k－4)2－4k2(4k2＋4k＋1)＝0，化简得2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝eq\f(1,2)，综上，与抛物线有且只有一个公共点的直线l有3条，B错误；线段PF的中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，又kPF＝eq\f(1－0,－2－1)＝－eq\f(1,3)，所以线段PF的中垂线方程为y－eq\f(1,2)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，即3x－y＋2＝0，C正确；因为|AB|＝4＝2p，此时线段AB为抛物线的通径，所以这样的直线只有一条，D错误．故选AC.]11．(2025·八省适应性测试)已知F(2,0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点，则()A．p＝4B．|MF|≥|OF|C．以点M为圆心且过点F的圆与C的准线相切D．当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2eq\r(3)ABC[由题意得eq\f(p,2)＝2，所以p＝4，故A正确；设M(x0，y0)，则|MF|＝x0＋eq\f(p,2)＝x0＋2，|OF|＝2，因为x0≥0，所以|MF|≥|OF|，故B正确；由抛物线的定义知，点M到点F的距离与点M到准线的距离相等，故以点M为圆心且过点F的圆与C的准线相切，故C正确；当∠OFM＝120°时，过点M作MN⊥x轴于点N(图略)，则∠NFM＝60°，因为|MF|＝x0＋2，所以(x0＋2)cos60°＋2＝x0，解得x0＝6，所以|MN|＝4eq\r(3)，所以S△OFM＝eq\f(1,2)×2×4eq\r(3)＝4eq\r(3)，故D错误．故选ABC.]12．已知F为抛物线y2＝4x的焦点，点P在抛物线上，过点F的直线l与抛物线交于B，C两点，O为坐标原点，抛物线的准线与x轴的交点为M，则下列说法正确的是()A．∠OMB的最大值为eq\f(π,4)B．若点A(4,2)，则|PA|＋|PF|的最小值为6C．无论过点F的直线l在什么位置，总有∠OMB＝∠OMCD．若点C在抛物线准线上的射影为D，则B，O，D三点共线ACD[设直线MB的方程为x＝－1＋my，与抛物线的方程y2＝4x联立，可得y2－4my＋4＝0，当且仅当MB与抛物线相切时，∠OMB取得最大值，由Δ＝16m2－16＝0，得m＝±1，直线MB的斜率为±1，此时∠OMB取得最大值eq\f(π,4)，故A正确；设点A在准线x＝－1上的射影为A′(－1，2)，设点P到准线的距离为d，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d≥|AA′|＝5，当且仅当A，P，A′三点共线时，等号成立，故B错误；M(－1,0)，设直线BC的方程为x＝ny＋1，代入抛物线的方程y2＝4x，可得y2－4ny－4＝0，设Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)，y1))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)，y2))，可得y1＋y2＝4n，y1y2＝－4，则kMB＋kMC＝eq\f(y1,\f(y\o\al(2,1),4)＋1)＋eq\f(y2,\f(y\o\al(2,2),4)＋1)＝eq\f(y1＋y2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1y2,4)＋1)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)＋1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)＋1)))＝0，故MB，MC的倾斜角互补，所以∠OMB＝∠OMC，故C正确；由C的分析可知D(－1，y2)，kOB＝eq\f(y1,\f(y\o\al(2,1),4))＝eq\f(4,y1)，kOD＝－y2，由于y1y2＝－4，则kOB＝kOD，可得B，O，D三点在同一条直线上，故D正确．故选ACD.]三、填空题13．(2025·德州模拟)在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分(如图中虚线所示)，称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40m，碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80m，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为________m.80[如图，以抛物线最高点为坐标原点，平行于地面为x轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意得A(80，－40)，将其代入抛物线方程得6400＝80p，解得p＝80，故安全抛物线的焦点到其准线的距离为80米．]14．(2024·天津高考)圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为________.eq\f(4,5)[由题意知，圆(x－1)2＋y2＝25的圆心坐标为F(1,0)，故eq\f(p,2)＝1，即p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－12＋y2＝25，,y2＝4x，))可得x2＋2x－24＝0，解得x＝4或x＝－6(舍去)，所以A(4,4)或A(4，－4)．故直线AF的方程为y＝eq\f(4,3)(x－1)或y＝－eq\f(4,3)(x－1)，即4x－3y－4＝0或4x＋3y－4＝0，故原点到直线AF的距离为d＝eq\f(4,5).]15．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|＝________.3[由题意可知，点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，又F为△ABC的重心，故eq\f(xA＋xB＋xC,3)＝eq\f(1,2)，即xA＋xB＋xC＝eq\f(3,2).又由抛物线的定义可知|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|＝xA＋xB＋xC＋eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝3.]16．已知M(1,2)为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，过点T(0,1)的直线与抛物线C交于A，B两点，且直线MA与MB的倾斜角互补，则|TA|·|TB|＝________.2[由点M(1,2)在抛物线C：y2＝2px上得22＝2p，即p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线AB的斜率存在，且不为0.设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线MA与MB的倾斜角互补得kMA＋kMB＝0，即eq\f(y1－2,x1－1)＋eq\f(y2－2,x2－1)＝eq\f(y1－2,\f(y\o\al(2,1),4)－1)＋eq\f(y2－2,\f(y\o\al(2,2),4)－1)＝eq\f(4y1＋y2＋4,y1＋2y2＋2)＝0，所以y1＋y2＝－4.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))得ky2－4y＋4＝0，所以y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1y2＝eq\f(4,k).所以eq\f(4,k)＝－4，即k＝－1，所以y1y2＝－4，所以|TA|·|TB|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y1－12)·eq\r(x\o\al(2,2)＋y2－12)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋kx12)·eq\r(x\o\al(2,2)＋kx22)＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1y2,4)))2＝2.]四、解答题17．(15分)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq\f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求|AB|.解：设直线l：y＝eq\f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq\f(3,2)＝4，所以x1