苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习-第12讲平方根(学生版+解析)

/第12讲平方根模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根和算术平方根；2．了解开方与乘方是互逆的运算，会用平方运算求一些非负数的平方根和算术平方根；3.能运用算术平方根解决一些简单的实际问题。1.如图，网格边长为1，可以算出下面线段长度吗？AB²=25DF²=412.在初一的时候我们有学过无理数，我们用数轴来表示出正方形的斜边长度。正方形的边长为1时，斜边为多少？设斜边为a，所以a²=2，那a等于多少呢？带着疑问，我们看下面题目：当x²=4时，因为2²=4，（-2）²=4，所以x=±2；当x²=100时，因为10²=100，（-10）²=100，所以x=±10；当x²=169时，因为13²=169，（-13）²=169，所以x=±13；因此，x²=a（a＞0）成立的数，它们互为。如果x²=a（a≥0），那么x叫做a的，也称为。一个正数a的正的平方根，记作“EQ\R(,a)”，；正数a的负的平方根记作“－EQ\R(,a)”．这两个平方根合起来记作“±EQ\R(,a)”，读作“正、负根号a”。所以当a²=2时，a＝，∵a为边长，为正数∴a=。3.填写括号里面的正确数字（）²＝9，（）²＝16，（）²＝EQ\F(9,25)；（）²＝0，（）²＝－EQ\F(4,9)，（）²＝－4．有什么发现？求一个数的平方根的运算叫做。4.我们发现，一个正数的平方根有个，它们互为，我们把正的平方根叫做这个正数的算术平方根。比如：叫做100的算术平方根，叫做169的算术平方根。填写下面横线上面的内容。（1）叫做a的平方根，也称为。（2）.一般地，正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的平方根记作，读作。（3）一个正数有个平方根，它们；0的平方根；数没有平方根。（4）求一个数a的平方根的运算，叫做；开平方运算与平方运算是互逆的运算.（5）的算术平方根为5.填空（1）=（2）（3）（4）（5）（6）因此，可以得到(a≧0)=(a≦0)同时具有性，即：（1）a≥0（2）≥0考点一：求一个数的平方根例1．实数的平方根是（

）A． B． C． D．【变式1-1】16的平方根是（

）A． B．4 C． D．【变式1-2】若，则

．【变式1-3】已知一个正数的两个平方根分别为和，且．(1)求和的值；(2)求的平方根．考点二：求一个数的算术平方根例2．9的算术平方根是（

）A．3 B．81 C． D．【变式2-1】64的算术平方根是（

）A． B． C．8 D．32【变式2-2】已知实数a，b满足，则的算术平方根是．【变式2-3】已知正数x的平方根分别是和，且．(1)求x的值；(2)求的算术平方根．考点三：平方根与算术平方根结合例3.一个正数的两个平方根分别是与，则的值为（

）A． B．1 C．2 D．【变式3-1】若，则的值为（

）A． B．或 C． D．或【变式3-2】一个正数的两个平方根是和，则这个正数是．【变式3-3】已知正实数的两个平方根分别是和．(1)若，求的值；(2)若，求的值．考点四：利用平方根解方程例4．若，则x的值为（）A．3 B． C． D．81【变式4-1】已知，则的值为（

）A． B． C． D．【变式4-2】若与互为倒数，．【变式4-3】求下列各式中的值．(1)；(2)；(3)；(4)．考点五：估算算术平方根例5．估计18的算术平方根介于（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【变式5-1】估计的值应在（

）A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间【变式5-2】写出一个比大且比小的整数．【变式5-3】已知一个正数的两个平方根分别是和．(1)求这个正数；(2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间．考点六：算术平方根的非负性例6.若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形的形状为（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形【变式6-1】已知，那么的值为（

）A． B．1 C． D．【变式6-2】若与互为相反数，则．【变式6-3】已知实数、、满足．(1)求、、的值；(2)判断以、、为边能否构成三角形？若能构成三角形，判别此三角形的形状，并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．1．的平方根是（）A． B． C． D．2．下列说法正确的是（

）A． B．是16的平方根C．的算术平方根是4 D．16的平方根是43．若与是同一个数两个不同的平方根，则m的值（）A． B．1 C．或1 D．4．如图，将面积为的正方形沿虚线剪开，拼成一个长方形，下列说法正确的是（

）A．面积不变，周长变小 B．面积不变，周长变大C．面积变小，周长不变 D．面积不变，周长不变5．若，且，则的值是（

）A． B． C．或 D．或6．若，为实数，且，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．7．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（）A．11 B．10 C．9 D．88．若整数x满足5+≤x≤，则x的值是（

）A．8 B．9 C．10 D．119．若的算术平方根是3，则的平方根是．10．若，则11．若和是实数的两个不同的平方根，则的值为．12．已知，则．13．已知，则的值为．14．我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，且点D也在格点上，那么边的长为．15．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．

(1)在图①中以格点为顶点画出一个面积为13的正方形；(2)在图②中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，，并计算该三角形的面积．16．若，求的平方根．17．如图，小华用两个面积为的小正方形拼成一个的正方形．(1)则大正方形的边长为__________．(2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？(3)小华手中有一个面积为的圆、请问，这个圆可以完全覆盖拼成的大正方形吗？请说明理由．（取3.14）18．同学们，本学期我们结识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题：(1)若，其中，为有理数，则__________，__________；(2)如果，其中，为有理数，求的平方根．

第12讲平方根模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根和算术平方根；2．了解开方与乘方是互逆的运算，会用平方运算求一些非负数的平方根和算术平方根；3.能运用算术平方根解决一些简单的实际问题。1.如图，网格边长为1，可以算出下面线段长度吗？AB²=25DF²=412.在初一的时候我们有学过无理数，我们用数轴来表示出正方形的斜边长度。正方形的边长为1时，斜边为多少？设斜边为a，所以a²=2，那a等于多少呢？带着疑问，我们看下面题目：当x²=4时，因为2²=4，（-2）²=4，所以x=±2；当x²=100时，因为10²=100，（-10）²=100，所以x=±10；当x²=169时，因为13²=169，（-13）²=169，所以x=±13；因此，x²=a（a＞0）成立的数有两个，它们互为相反数。如果x²=a（a≥0），那么x叫做a的平方根，也称为二次方根。一个正数a的正的平方根，记作“EQ\R(,a)”，；正数a的负的平方根记作“－EQ\R(,a)”．这两个平方根合起来记作“±EQ\R(,a)”，读作“正、负根号a”。所以当a²=2时，a＝±，∵a为边长，为正数∴a=。3.填写括号里面的正确数字（）²＝9，（）²＝16，（）²＝EQ\F(9,25)；（）²＝0，（）²＝－EQ\F(4,9)，（）²＝－4．有什么发现？正数有两个平方根，它们互为相反数0只有一个平方根，它是0本身负数没有平方根求一个数的平方根的运算叫做开平方。4.我们发现，一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，我们把正的平方根叫做这个正数的算术平方根。比如：10叫做100的算术平方根，13叫做169的算术平方根。填写下面横线上面的内容。（1）叫做a的平方根，也称为二次方根。（2）.一般地，正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的平方根记作，读作正、负根号a。（3）一个正数有2个平方根，它们互为相反数；0的平方根0；负数没有平方根。（4）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方；开平方运算与平方运算是互逆的运算.（5）的算术平方根为5.填空（1）=（2）（3）（4）（5）（6）因此，可以得到aa(a≧0)=-a(a≦0)同时具有双重非负性，即：（1）a≥0（2）≥0考点一：求一个数的平方根例1．实数的平方根是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可．【详解】解：∵，∴实数的平方根是，故选：C．【变式1-1】16的平方根是（

）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数是非负数；②算术平方根本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．根据平方根的定义即可得解．【详解】解：∵，∴16的平方根是：．故选：C．【变式1-2】若，则

．【答案】【分析】本题考查平方根，先根据有理数的乘方将已知转化为，再根据平方根定义求解即可．解题的关键是掌握平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根（或二次方根），即如果，那么叫做的平方根．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：．【变式1-3】已知一个正数的两个平方根分别为和，且．(1)求和的值；(2)求的平方根．【答案】(1)和的值分别为1和；(2)【分析】本题考查平方根，掌握平方根的定义和性质，是解题的关键．（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，结合，进行求解即可；（2）根据平方根的定义进行求解即可．【详解】（1）解：由题意得，解得和的值分别为1和；（2）解：，，，，，的平方根为考点二：求一个数的算术平方根例2．9的算术平方根是（

）A．3 B．81 C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，两个实数a、b若满足且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可．【详解】解：9的算术平方根是3，故选：A．【变式2-1】64的算术平方根是（

）A． B． C．8 D．32【答案】C【分析】此题考查了算术平方根，如果一个正数x的平方等于a，那么x叫做a的算术平方根，据此解答即可.【详解】解：∵∴，即64的算术平方根是8，故选：C【变式2-2】已知实数a，b满足，则的算术平方根是．【答案】2【分析】本题考查用加减法解二元一次方程组．将方程组中两方程相加即可得，再方程两边同除以3，进一步计算即可求解．【详解】解：由，得，∴，∴的算术平方根是故答案为：2．【变式2-3】已知正数x的平方根分别是和，且．(1)求x的值；(2)求的算术平方根．【答案】(1)49(2)3【分析】本题主要考查了平方根与算术平方根，熟记定义与性质是解题的关键．（1）根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，列出方程求得a的值，从而即可求得x的值；（2）根据算术平方根的定义求得b，再根据算术平方根的定义进行计算即可．【详解】（1）解：依题意得：，解得：，；（2），，，，∴9的算术平方根为3．考点三：平方根与算术平方根结合例3.一个正数的两个平方根分别是与，则的值为（

）A． B．1 C．2 D．【答案】A【分析】本题考查了平方根，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此列式计算，即可作答．【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与，∴，解得，故选：A．【变式3-1】若，则的值为（

）A． B．或 C． D．或【答案】C【分析】本题考查了算术平方根的概念，根据算术平方根的概念即可求解，正确理解算术平方根的概念解题的关键．【详解】解：∵，∴，故选：．【变式3-2】一个正数的两个平方根是和，则这个正数是．【答案】36【分析】本题考查的是平方根的概念，根据题意得到，求出，进而求解即可．掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键．【详解】解：由题意得，，解得，所以，∴这个正数是36．故答案为：36．【变式3-3】已知正实数的两个平方根分别是和．(1)若，求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（1）先根据平方根的定义，得，再化简即可；（2）根据平方根的定义，得，代入，再利用平方根的定义解方程即可．【详解】（1）解：正实数的两个平方根分别是和，，，若，则；（2）解：正实数的两个平方根分别是和，，，，即，，是正实数，即，．考点四：利用平方根解方程例4．若，则x的值为（）A．3 B． C． D．81【答案】C【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，先把常数项移到方程右边，再根据求平方根的方法解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，故选：C．【变式4-1】已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了根据平方根的定义解方程，先移项，然后根据平方根的定义，解方程，即可求解．【详解】解：∵，∴∴，解得：，故选：D．【变式4-2】若与互为倒数，．【答案】【分析】考查了倒数、平方差公式及解方程，解题的关键是根据互为倒数的两个数的乘积为1列出方程．根据倒数定义列出方程并解方程即可解决．【详解】解：若与互为倒数，，，，故答案为：．【变式4-3】求下列各式中的值．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)或(3)(4)或【分析】本题考查了平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先系数化1，再开平方根，即可作答．（2）开平方根，然后再移项运算，即可作答．（3）先系数化1，再开平方根，即可作答．（4）先系数化1，再开平方根，移项运算，即可作答．【详解】（1）解：解得（2）解：解得或；（3）解：解得（4）解：解得或．考点五：估算算术平方根例5．估计18的算术平方根介于（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【答案】D【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用了算术平方根与被开方数的关系．根据算术平方根越大被开方数越大，可得答案．【详解】解：由，得，即，故选：D．【变式5-1】估计的值应在（

）A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间【答案】C【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，利用算术平方根的性质可得．【详解】解：，，故选：C．【变式5-2】写出一个比大且比小的整数．【答案】答案不唯一，如：1【分析】先对进行估值，在找出范围中的整数即可．【详解】解：∵1<<2∴-2<x<2,(x为整数)故答案为：-1,0,1（答案不唯一）【点睛】本题考查算术平方根的估值．理解算术平方根的定义是关键．【变式5-3】已知一个正数的两个平方根分别是和．(1)求这个正数；(2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间．【答案】(1)81(2)的算术平方根在之间【分析】本题考查了平方根及算术平方根：（1）根据题意得，进而可解得，则可得，再根据平方根的定义即可求解；（2）由（1）得，进而可得，再利用算术平方根的估算方法即可求解；熟练掌握平方根的定义是解题的关键．【详解】（1）解：由题意得，解得：，∴，这个正数是81．（2）由（1）得：，，∵，∴，的算术平方根在之间．考点六：算术平方根的非负性例6.若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形的形状为（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，绝对值非负性，平方根的非负性质．根据绝对值非负性，平方根的非负性质得出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出三角形的形状．【详解】解：∵，∴，，，∴，，，∴，，∴，∴这个三角形是直角三角形，故选：B．【变式6-1】已知，那么的值为（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，乘方运算，先根据，求出，再代入求解即可．【详解】∵，，∴，∴，∴，故选：B．【变式6-2】若与互为相反数，则．【答案】6【分析】本题考查相反数的应用，解二元一次方程组及根式、绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握非负式子和为0则它们分别等于0．根据互为相反两个数和为0列方程组，解方程组，即可得到答案．【详解】解：∵与互为相反数，∴，∵，，∴，解得：，∴故答案为：6．【变式6-3】已知实数、、满足．(1)求、、的值；(2)判断以、、为边能否构成三角形？若能构成三角形，判别此三角形的形状，并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．【答案】(1)，，(2)能．以、、为边构成的三角形是直角三角形，三角形的面积是【分析】本题主要考查非负数的性质以及勾股定理逆定理：（1）将原等式移项后运用非负数的性质即可求出、、的值；（2）运用勾股定理逆定理进行判断后，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：∵，∴∴．，，，解得：，，；（2）解：∵，，∴，，以、、为边构成的三角形是直角三角形．三角形的面积是：．1．的平方根是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可．【详解】解：，∵9的平方根为，∴的平方根是，故选：A．2．下列说法正确的是（

）A． B．是16的平方根C．的算术平方根是4 D．16的平方根是4【答案】B【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可．【详解】解：A．，原说法错误，不符合题意；B．是16的平方根，原说法正确，符合题意；C．的算术平方根是2，原说法错误，不符合题意；D．16的平方根是，原说法错误，不符合题意；故选：B．3．若与是同一个数两个不同的平方根，则m的值（）A． B．1 C．或1 D．【答案】B【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求解即可．【详解】解：∵与是同一个数两个不同的平方根，∴，∴，故选：B．4．如图，将面积为的正方形沿虚线剪开，拼成一个长方形，下列说法正确的是（

）A．面积不变，周长变小 B．面积不变，周长变大C．面积变小，周长不变 D．面积不变，周长不变【答案】B【分析】本题主要考查图形的拼组、算术平方根，关键注意拼组前后周长和面积的变化．根据题意可知，求解相应的面积和周长，进行比较即可．【详解】解；正方形面积为，则边长为，周长为．将其分为个全等的等腰直角三角形后，直角边为，其面积不变，而周长为，因为，所以周长变大．故选B．5．若，且，则的值是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本题考查绝对值、算术平方根、平方根，本题主要考查了求代数式的值，首先依据绝对值和平方根的定义求得、，然后结合条件，进行分类计算即可，解题的关键是理解绝对值、算术平方根、平方根的定义．【详解】解：∵，，∴，，∵，∴，，则；，，则；故选：．6．若，为实数，且，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】本题主要考查了非负数的性质、代数式求值等知识，熟练掌握非负数的性质是解题关键．首先根据非负数的性质解得的值，然后代入求值即可．【详解】解：∵，又∵，，∴，，解得，，∴．故选：A．7．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，∴重叠部分也为正方形，∵空白部分的面积为2﹣6，∴一个空白长方形面积=，∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3，∴大正方形边长=，重叠部分边长=，∴空白部分的长=，设空白部分宽为x，可得：，解得：x=，∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=，∴小正方形面积==10，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．8．若整数x满足5+≤x≤，则x的值是（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【详解】解：∵4＜＜5，∴9＜5+＜10；，8＜＜9，∴10＜＜11，∴整数x=10．故选C．点睛：本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．9．若的算术平方根是3，则的平方根是．【答案】【分析】本题考查了平方根和算术平方根，由算术平方根求出，将其代入求出值，由平方根的定义即可求解；掌握()的平方根为，算术平方根为是解题的关键．【详解】解：的算术平方根是3，，解得：，，的平方根是，故答案为：．10．若，则【答案】5【分析】本题考查了算术平方根，等式的性质．利用算术平方根的性质计算即可求解．【详解】解：∵，∴，故答案为：5．11．若和是实数的两个不同的平方根，则的值为．【答案】【分析】此题考查了算术平方根，以及平方根根据正数有两个平方根，且互为相反数，求出m的值，即可求出所求．【详解】解：根据题意得：，解得：，∴，则，故答案为：．12．已知，则．【答案】/【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的非负性，根据得出，求出，然后代入求值即可．【详解】解：∵，∴，解得：，∴．故答案为：．13．已知，则的值为．【答案】【分析】此题主要考查了绝对值、算术平方根的非负性质的应用，以及解二元一次方程组的方法，首先根据题意，可得：，应用加减消元法，求出方程组的解，然后把求出的的值代入计算即可，注意代入消元法和加减消元法的应用．【详解】解：∵，∴，得：，解得：，把代入，可得，解得：，∴原方程组的解为，∴，故答案为：．14．我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，且点D也在格点上，那么边的长为．【答案】或1【分析】本题考查了新定义，网格与勾股定理，正确理解新定义是解题的关键．根据直邻四边形的定义结合网格作出图形，再根据勾股定理与网格求出的长即可．【详解】解：若，如图1所示；则；若，如图2所示，则．故答案为：或1．15．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．

(1)在图①中以格点为顶点画出一个面积为13的正方形；(2)在图②中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，