苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习-第08讲线段、角的轴对称性-角平分线(学生版+解析)

/第08讲线段、角的轴对称性——角平分线模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．经历探索角的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特性，发展空间观念；2．探索并证明角平分线的性质。如图，OC是∠AOB的角平分线，如果把∠1沿OC翻折，因为∠1=∠2，所以射线OA与射线OB重合。因此，角是图形，是它的对称轴.2.如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，证：PD=PE。证：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°在▲PDO与▲PEO中， ∴▲PDO≌▲PEO（AAS）∴PD=PE因此，角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离． 几何语言：∵点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA,PE⊥OB∴PD＝PE3.如图，若点Q在∠AOB内部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线上吗？为什么？点Q在∠AOB的角平分线上；连接OQ，∵QD⊥OA，QE⊥OB∴∠QDO=QEO=90°在Rt▲QDO和Rt▲QEO中，∠QDO=QEO=90°， ∴Rt▲QDO≌Rt▲QEO（HL）∴∠DOQ=∠EOQ∴点Q在∠AOB的角平分线上因此，角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的上。几何语言：∵点Q在∠AOB的内部，QD⊥OA,QE⊥OB，且QD＝QE∴点Q在∠AOB的平分线上已知∠AOB（如图），求作：用尺规作图作出∠AOB的平分线OM．（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D．（2）分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M（3）作射线OM。5.在直线AB外任取一点C，用该方法作出线段∠A、∠B的角平分线，你会发现什么？三角形三个顶角的角平分线交于一点.这一点到三角形三条边的距离相等6.设三角形角平分线的交点到三边的距离为h，三角形的周长为C，面积为S，三者之间的关系是？考点一：角平分线的性质定理例1．如图，在中，．用尺规作图法作出射线，交于点，则点到的距离是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式1-1】如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（

）A．6 B．11 C．14 D．28【变式1-2】如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，，．

【变式1-3】如图，在中，，分别平分和，连接．若，求的度数．考点二：角平分线的判定定理例2．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（

）A．在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．角平分线的性质D．角是轴对称图形【变式2-1】如图，点在内部的一条射线上，于点，且．已知点到射线的最小距离为4，且，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式2-2】在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为．【变式2-3】如图，于于F，若，(1)求证：平分；(2)已知，求的长．考点三：角平分线性质的实际应用例3.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．的三条中线的交点 B．三边的中垂线的交点C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点【变式3-1】如图，直线表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公距离相等，则可供选择的地址有（

）

A．一处 B．二处 C．三处 D．四处【变式3-2】如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是．

【变式3-3】三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法．考点四：作角平分线例4．如图，在中，．按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；③画射线，交于点D．若，，则的长为（

）A． B．4 C．2 D．3【变式4-1】如图，在中，．以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点，．再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．画射线与交于点，点是上一点，连接．根据以上作图，下列结论正确的是(

)

A． B．C． D．【变式4-2】如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③连接并延长交于点．则的长是．【变式4-3】如图，在中，，．请用尺规作图法在上找一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法）

考点五：角平分线与垂直平分线结合例5．如图，，根据尺规作图的痕迹推断，下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．【变式5-1】在中，，，，用尺规作图的方法作线段和线段，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则的周长是（

）

A．3 B． C． D．6【变式5-2】如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点P，连接．若，则的度数为．【变式5-3】如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上．(1)求证：是的垂直平分线．(2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论．1．如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（

）A． B． C． D．2．如图，已知点在的平分线上，于点，于点，若，则长（

）A．4 B．6 C．8 D．103．如图，在中，，，分别平分，，，于点，若的周长为，的面积为，则的长为（

）A． B． C． D．4．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，作，垂足为，则下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．5．如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（

）A．12 B．8 C． D．106．如图，在中，，点D为中点，过点D作的垂线，交于点E，连接，作的平分线，与的延长线交于点F，则的度数为（

）A． B． C． D．7．如图，已知平分平分，且．则下列结论：①平分，②，③，④点是线段上任意一点，则．正确的有（

）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，为的外角平分线上一点并且在的垂直平分线上，过作于，交的延长线于，则下列结论：；；；．其中正确的结论是（

）A．个 B．个 C．个 D．个9．如图，在中，平分交于点D，于点E，于点F，且，，则的面积是．10．如图，平分，，如果，那么点到的距离等于11．如图，在中，是边上的高线，的平分线交于E，当，的面积为12时，的长为．12．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画两条弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是．13．如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为14，则的面积为．14．如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是．15．如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则．16．如图，在中，D为中点，，，于点F，，，则的长为．

17．如图，道路和的交叉区域（的内部）为一个公园．C，D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点P，使点P到两条道路的距离相等，且到两游乐场的距离也相等，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点．（保留作图痕迹，不写作法）18．如图，平分，，，A，B为垂足，交于点N．求证：．19．如图，在中，，是上一点，于点，且．(1)求证：平分；(2)若，求的度数．20．如图，在四边形中，，点为边上一点，连接．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）

21．数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍.【问题提出】（1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______．【问题探究】（2）①巧翻折，造全等如图②，在中，是的角平分线，请说明．小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答；②构距离，造全等如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离；【问题解决】（3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由．22．如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．(1)求证：；(2)连接，求证：．

第08讲线段、角的轴对称性——角平分线模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．经历探索角的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特性，发展空间观念；2．探索并证明角平分线的性质。如图，OC是∠AOB的角平分线，如果把∠1沿OC翻折，因为∠1=∠2，所以射线OA与射线OB重合。因此，角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.2.如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，证：PD=PE。证：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°在▲PDO与▲PEO中， ∴▲PDO≌▲PEO（AAS）∴PD=PE因此，角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 几何语言：∵点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA,PE⊥OB∴PD＝PE3.如图，若点Q在∠AOB内部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线上吗？为什么？点Q在∠AOB的角平分线上；连接OQ，∵QD⊥OA，QE⊥OB∴∠QDO=QEO=90°在Rt▲QDO和Rt▲QEO中，∠QDO=QEO=90°， ∴Rt▲QDO≌Rt▲QEO（HL）∴∠DOQ=∠EOQ∴点Q在∠AOB的角平分线上因此，角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。几何语言：∵点Q在∠AOB的内部，QD⊥OA,QE⊥OB，且QD＝QE∴点Q在∠AOB的平分线上已知∠AOB（如图），求作：用尺规作图作出∠AOB的平分线OM．（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D．（2）分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M（3）作射线OM。5.在直线AB外任取一点C，用该方法作出线段∠A、∠B的角平分线，你会发现什么？三角形三个顶角的角平分线交于一点.这一点到三角形三条边的距离相等6.设三角形角平分线的交点到三边的距离为h，三角形的周长为C，面积为S，三者之间的关系是？考点一：角平分线的性质定理例1．如图，在中，．用尺规作图法作出射线，交于点，则点到的距离是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本题考查作图基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题．如图，过点作于点．利用角平分线的性质定理判断出即可．【详解】解：如图，过点作于点．由作图可知平分，，，，点到的距离为3．故选：B．【变式1-1】如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（

）A．6 B．11 C．14 D．28【答案】C【分析】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到点E到和的距离相等，点E到的距离等于的长度，利用三角形面积公式即可得到答案．【详解】解：由基本作图得到平分，∴点E到和的距离相等，∴点E到的距离等于的长度，即点E到的距离为4，∴．故选：C．【变式1-2】如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，，．

【答案】2【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，可得，根据的面积是，列式得，再进行计算，即可作答．【详解】解：∵中，于E，于F，为的平分线∴∵的面积是，∴则∴解得故答案为：2【变式1-3】如图，在中，，分别平分和，连接．若，求的度数．【答案】43°【分析】本题考查角平分线的判定和性质，过点O作，、，则根据角平分线的性质得到，，则，即可得到平分，进而解题即可【详解】解：如图，过点O作，、，垂足分别为D，E，F，∵和的平分线交于点O，，，，∴，，∴，∴平分．∵∠，∴．考点二：角平分线的判定定理例2．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线重合，另一边相交于点P，则平分的依据是（

）A．在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．角平分线的性质D．角是轴对称图形【答案】A【分析】本题主要考查了角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．根据角平分线的判定定理进行解答即可．【详解】解：∵两把相同的直尺宽度相同，∴点到射线的距离相等，∵在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，∴点在的平分线上，∴平分，故A正确．故选：A．【变式2-1】如图，点在内部的一条射线上，于点，且．已知点到射线的最小距离为4，且，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，由题意得出点到两边的距离相等，从而得出射线是的角平分线，即，求出，即可得出答案，熟练掌握角平分线的判定与性质是解此题的关键．【详解】解：于点，且，到射线的最小距离为4，点到两边的距离相等，射线是的角平分线，，，，，故选：C．【变式2-2】在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为．【答案】【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的判定定理，熟练应用角平分线的判定定理是解题关键，先证，再求出即可求出结论．【详解】解：，，且，，，，，故答案为：35．【变式2-3】如图，于于F，若，(1)求证：平分；(2)已知，求的长．【答案】(1)见详解(2)12【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等．（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵，∴，∴在和中，，∴，∴，∵，∴平分；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴．考点三：角平分线性质的实际应用例3.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．的三条中线的交点 B．三边的中垂线的交点C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点【答案】C【分析】本题考查角平分线的判定，由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上，可知凉亭选在三条角平分线的交点．【详解】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应在三条角平分线的交点．故选：C【变式3-1】如图，直线表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公距离相等，则可供选择的地址有（

）

A．一处 B．二处 C．三处 D．四处【答案】D【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键．由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件;然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个．【详解】解：作直线所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点，内角平分线相交于点，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．

故选：D．【变式3-2】如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是．

【答案】【分析】根据角平分线的性质解答即可．【详解】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是，∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是．故答案为：．【点睛】本题考查角平分线的性质的应用，能够熟练运用角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．【变式3-3】三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法．【答案】4处，图见解析【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可．【详解】解：如图，满足条件的点有4个，图中即为所求．考点四：作角平分线例4．如图，在中，．按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；③画射线，交于点D．若，，则的长为（

）A． B．4 C．2 D．3【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再利用基本作图得平分，所以，然后证明和即可．本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质．【详解】解：，，由作法得平分，，，，，，，．故选：D．【变式4-1】如图，在中，．以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点，．再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．画射线与交于点，点是上一点，连接．根据以上作图，下列结论正确的是(

)

A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查作角平分线；由作图可知，是的角平分线，故，即可得到答案．【详解】解：由作图可知，是的角平分线，，故B正确，符合题意；而选项A，C，D都不一定正确，不符合题意；故选：B．【变式4-2】如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③连接并延长交于点．则的长是．【答案】【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，先根据作图过程判断平分，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，进而可得，由此可解．【详解】解：由作图过程可知平分，，，，，，，故答案为：．【变式4-3】如图，在中，，．请用尺规作图法在上找一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】作图见解析．【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，直角三角形的性质和所对直角边是斜边的一半，根据角平分线的作法即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】如图，∵，，∴，

以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点；分别以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点；连接，交于点，∴，∴，∴点即为所求．考点五：角平分线与垂直平分线结合例5．如图，，根据尺规作图的痕迹推断，下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是尺规作角平分线和垂直平分线，熟知角平分线的作法和垂直平分线性质是解答此题的关键．根据题意得到是的角平分线，垂直平分，进而求解即可．【详解】解：由作图知，是的角平分线，∴，故A不符合题意；由作图知垂直平分，∴，，故B，D不符合题意；无法证明，故C符合题意，故选：C．【变式5-1】在中，，，，用尺规作图的方法作线段和线段，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则的周长是（

）

A．3 B． C． D．6【答案】D【分析】本题考查了角平分线性质，三角形全等的判定与性质以及尺规作图，掌握以上知识点是解题的关键．观察作图痕迹，知道是的角平分线，，根据角平分线的性质结合，证明，推出，，那么，从而推出的周长．【详解】由作图痕迹，知道是的角平分线，且是的角平分线，，在和中，，，，的周长为6故选D．【变式5-2】如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点P，连接．若，则的度数为．【答案】12【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理．根据垂直平分线得到，从而得到，由角平分线得到，得到，根据三角形内角和定理，结合，得到，再根据角的和差求解即可得到答案．【详解】解：∵的平分线与的垂直平分线交于点P，，，，，，∴，∴，故答案为：12．【变式5-3】如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上．(1)求证：是的垂直平分线．(2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)，见解析【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先由等边三角形的性质得出，结合，即可得出是的垂直平分线进行作答．（2）先由等边三角形的性质得出，结合角平分线的性质，得出，证明，再证明，结合边的等量代换以及边的运算，即可作答．【详解】（1）证明：是等边三角形，，在的垂直平分线上，，∴在的垂直平分线上，∴是的垂直平分线．（2）证明：过作，如图：是等边三角形，，，．．，．，平分，，，．，，．．又，，1．如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了作角平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键．【详解】解：根据作图可得，，故A，B正确；∵是角平分线，∴，故D选项正确，而不一定成立，故C选项错误，故选：C．2．如图，已知点在的平分线上，于点，于点，若，则长（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】此题考查了角平分线性质性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，利用角平分线性质定理即可得出．【详解】解：平分，于点，于点，故选：C．3．如图，在中，，，分别平分，，，于点，若的周长为，的面积为，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积公式进行计算即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图所示：

∵平分，，，∴，∵平分，，，∴，设，∵的周长为，∴的面积的面积的面积的面积，∵的面积为，∴，解得：，即，故选：C．4．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，作，垂足为，则下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握基本作图；根据角平分线的作图可判断D，根据角平分线的性质可判断B，证明，可判断A，由题目条件无法证明出，可判断C；【详解】根据作图可知平分，，故D选项不符合题意；，，平分，，故B选项不符合题意；，，，故A选项不符合题意；由题目条件无法证明出，故C选项符合题意，故选：C；5．如图，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，点在射线上，过点作，，垂足分别为点，，点，分别在，边上，．若，则的值为（

）A．12 B．8 C． D．10【答案】D【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意可知平分，由角平分线的性质定理可得，进而证明，由全等三角形的性质可得，再证明，可得，然后由求解即可．【详解】解：根据题意，可知平分，∵，，∴，∴又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故选：D．6．如图，在中，，点D为中点，过点D作的垂线，交于点E，连接，作的平分线，与的延长线交于点F，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本考查中垂线的性质，与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据题意，易得垂直平分，进而推出，角平分线，得到，三角形的内角和得到，进而得到，三角形内角和求出的度数即可．【详解】解：∵在中，，∴，∵点D为中点，过点D作的垂线，交于点E，∴垂直平分，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，即：，∴；故选B．7．如图，已知平分平分，且．则下列结论：①平分，②，③，④点是线段上任意一点，则．正确的有（

）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的判定与性质．由，平分，平分，得，，，再由，可得，①正确；进而得，②正确；由得，③正确；点是线段上任意一点，由与不平行，与不平行，得，故，④不正确，所以有3个正确．【详解】解：平分平分平分,故①正确；,故②正确；，故③正确；如图，点是线段上任意一点与不平行，与不平行，故④不正确，所以，正确的个数有3个．故选：C．8．如图，为的外角平分线上一点并且在的垂直平分线上，过作于，交的延长线于，则下列结论：；；；．其中正确的结论是（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【详解】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出；根据全等三角形对应角相等可得，利用三角形内角和定理可得；利用三角形的外角性质得到．【分析】解：∵平分，，，∴，∵在的垂直平分线上，∴，在和中，，∴，故正确；∴，在和中，，∴，∴，∴，故正确；∵，∴，∵，∴，，∴，故正确；在中，，故错误；综上，正确，共个．故选：．【点睛】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．9．如图，在中，平分交于点D，于点E，于点F，且，，则的面积是．【答案】14【分析】此题主要考查了角平分线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质定理可得；最后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：∵平分，于点E，于点F，∴，∴；故答案为：14．10．如图，平分，，如果，那么点到的距离等于【答案】6【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出．过作于，由角平分线的性质推出，即可得到点到的距离等于6．【详解】解：过作于，平分，，，点到的距离等于6．故答案为：6．11．如图，在中，是边上的高线，的平分线交于E，当，的面积为12时，的长为．【答案】4【分析】本题考查了角平分线的性质，过点E作于点F，根据角平分线的性质可得出，由三角形面积可得出，即可求出的长．【详解】解：过点E作于点F，如图所示．∵平分，且，∴．∵，即，∴，∴．故答案为：4．12．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画两条弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是．【答案】40【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，由作图方法可得平分，则由角平分线上的点到角两边的距离相等可得，据此利用三角形面积计算公式求解即可．【详解】解：如图所示，过点D作于H，由作图方法可知，平分，∵，，∴，∴，故答案为：40．13．如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为14，则的面积为．【答案】20【分析】本题主要考查了尺规作图-作角平分线、角平分线的性质定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握角平分线的作法和性质是解题关键．过点作于点，点作于点，由作图可知，平分，由角平分线的性质定理可得，利用三角形面积公式可解得，易得，然后计算的面积即可．【详解】解：如下图，过点作于点，点作于点，由作图可知，平分，∴，∵，的面积为14，即，解得，∴，∴的面积．故答案为：20．14．如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是．【答案】2【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，垂直平分线上的点到两端距离相等．连接，通过证明，得出，在证明，得出，即可解答．【详解】解：连接，∵平分，，，∴，在和中，，∴，∴，∵是的垂直平分线，∴，在和中，，∴，∴，∴，整理得：，∴，故答案为：2．15．如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则．【答案】【分析】连接，过E作于R，交于Q，交于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，求出，求出的度数，再求出，求出，根据三角形的外角性质求出，再求出答案即可．【详解】解：连接，过E作于R，交C于Q，交于O，∵是线段的中垂线，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∵平分，，，∴，在和中，，∴（），∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．16．如图，在中，D为中点，，，于点F，，，则的长为．

【答案】【分析】连接，过点E作，交的延长线于N，由，可得；由D为中点，，则可得；证明，再证明即可求得结果．【详解】解：连接，过点E作，交的延长线于N，如图，∵，，∴；∵D为中点，，∴；∵，，∴，∵，∴，∴；∵，，，∴，∴，∴，即，∴．∴

故答案为：．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这两个性质是关键．17．如图，道路和的交叉区域（的内部）为一个公园．C，D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点P，使点P到两条道路的距离相等，且到两游乐场的距离也相等，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握角平分线的性质和线段的垂直平分线的是解题的关键．作的平分线和线段的垂直平分线的交点即为所求．【详解】解：如图，作的平分线和线段的垂直平分