苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第04讲一元二次方程的解法(因式分解法6种题型)(学生版+解析)

/第04讲一元二次方程的解法（因式分解法6种题型）1.理解用因式分解法解方程的依据.2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；

②将方程左边分解为两个一次式的积；

③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

（2）常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：

（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.例1．（2023秋·江苏·九年级统考期末）一元二次方程的根为（

）A．或 B．或 C．或 D．例2．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如果满足一元二次方程，则代数式的值是______．题型1利用提公因式法例3.方程：的较小的根是（ ）A． B． C． D．例4.解关于的方程（因式分解方法）：（1）；（2）．题型2利用平方差公式例5.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．例6.解关于的一元二次方程：．题型3利用完全平方公式例7.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；题型4十字相乘法因式分解例8．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）若关于的一元二次方程的常数项为，则______．例9．（2022秋·江苏南京·九年级校考期中）已知一元二次方程的两个根分别是的两边长，则第3条边长___________．例10．（2022春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）已知等腰三角形两边长分别是方程两根，求此等腰三角形的周长_____．例11．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）三角形两边的长为3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长是______．题型5：选择合适的方法解一元二次方程例12．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）解方程最适当的方法是（）A．直接开方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法例13.用适当的方法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．题型6：换元法与因式分解综合解一元二次方程例14．（2021秋·江苏淮安·九年级统考期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，；当时，，；原方程有四个根：，，，．仿照上面方法，解方程：．例15．（2022秋·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：(1)将关于x的一元二次方程+bx+c＝0变形为＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出﹣3x+2020的值是______．(2)解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设＝y，那么，于是原方程可变为（1），解得＝1，＝4．当y＝1时，＝1，∴x＝±1；当y＝4时，＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根．请你用（2）中的方法求出方程的实数解．例16．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）阅读下面的材料，解决问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，∴；当时，，∴；∴原方程有四个根：，，，．请参照例题，解方程．一、单选题1．（2022秋·江苏·九年级期中）已知方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0的解是（

）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3C．x1=2，x2=6 D．x1=﹣2，x2=﹣62．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程的两根分别为，则关于x的一元二次方程的两根分别为（

）A． B．C． D．3．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）方程的根可以是（）A． B． C． D．4．（2020秋·江苏苏州·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（

）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021二、填空题5．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根的值是_________．6．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）已知，则的值为______．三、解答题7．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期末）解方程：．8．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）用适当的方法解下列方程：(1)；(2)．9．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）解方程：(1)；(2)．10．（2022秋·江苏·九年级期中）先阅读以下材料，再解答问题：在学习了一元二次方程的解法后，利用课后托管时间，数学兴趣小组的同学对一元四次方程x4－5x2＋4＝0的解法进行了如下探究：根据该方程的特点，可以把x2视为一个整体，然后设x2＝y，则x4＝y2，原方程可化为y2－5y＋4＝0.

①

解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2.∴原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.请解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，主要利用法达到了降次的目的，体现了的数学思想；（2）仿照以上方法解方程：（x2－x）2＋（x2－x）－6＝0.11．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）已知：关于x的一元二次方程(1)求证：方程总有两个实数根；(2)当k为整数______时，方程有两个不相等的正整数根．一、单选题1．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）方程的根是（

）A． B． C． D．2．（2023·江苏南京·九年级专题练习）若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=−5，则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（

）A．， B．，C．， D．，3．（2019秋·江苏镇江·九年级校联考阶段练习）若实数满足方程，那么的值为（

）A．或4 B．4 C． D．2或4．（2023春·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如果分式的值为0，那么x的值是（）A． B． C．或 D．或05．（2021秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）若实数满足方程，则不同的值有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题6．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）关于的方程的根是，，那么关于的方程的根是________；7．（2022秋·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）若关于x的方程的解是，，则关于y的方程的解是______．8．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）知道方程的解是，，现给出另一个方程，则它的解是_____．9．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）已知实数a、b满足，则的值为______．10．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为________________．三、解答题11．（2022秋·江苏盐城·九年级滨海县第一初级中学校联考阶段练习）解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的．例如：解方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0，如果设x2﹣3＝y，∵x2﹣3＝y，∴3﹣x2＝﹣y，用y表示x后代入（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0得：y2+5y+2＝0．应用：请用换元法解下列各题（1）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，则x2+y2的值；（2）解方程：；（3）已知a2+ab﹣b2＝0（ab≠0），求的值．12．（2022·江苏·九年级专题练习）【阅读】小明同学遇到这样一个问题：已知关于x的方程（a、b、m为常数，）的解是，，求方程的解．他用“换元法”解决了这个问题．我们一起来看看小明同学的具体做法．解：在方程中令，则方程可变形为，根据关于x的方程的解是，，可得方程的解是，．把代入得，，把代入得，，所以方程的解是，．【理解】已知关于x的一元二次方程有两个实数根m，n．(1)关于x的方程的两根分别是______（用含有m、n的代数式表示）；(2)方程______的两个根分别是2m，2n．（答案不唯一，写出一个即可）(3)【猜想与证明】双察下表中每个方程的解的特点：方程方程的解方程方程的解，，，，，，……猜想：方程的两个根与方程______的两个根互为倒数；(4)仿照小明采用的“换元法”，证明你的猜想．13．（2022秋·江苏·九年级专题练习）选择适当的方法解下列方程：(1)-2x=99(2)+3（2x-1）=0(3)-5（-x）+6=0．14．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设（t≥0），则有，原方程可化为：，【续解】

第04讲一元二次方程的解法（因式分解法6种题型）1.理解用因式分解法解方程的依据.2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；

②将方程左边分解为两个一次式的积；

③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

（2）常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：

（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.例1．（2023秋·江苏·九年级统考期末）一元二次方程的根为（

）A．或 B．或 C．或 D．【答案】B【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】解：∴或，解得：或，故选：B．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．例2．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如果满足一元二次方程，则代数式的值是______．【答案】或【分析】解一元二次方程，求出根，代入计算即可．【详解】解：一元二次方程的解为，，∴或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，代入求值，掌握解一元二次方程，代入求值，有理数运算法则是解题的关键．题型1利用提公因式法例3.方程：的较小的根是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】提公因式，得：，整理得：，∴，∵，故选择D．【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．例4.解关于的方程（因式分解方法）：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）（2）①②∴；②∴．【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．题型2利用平方差公式例5.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0．【答案与解析】(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴2x-2＝0或2x+8＝0，∴x1＝1，x2＝-4．例6.解关于的一元二次方程：．【答案】．【解析】移项，得：，，，，，解得：．【总结】本题考查了一元二次方程的解法，当系数比较大时，要注意寻找规律进行变型求解．题型3利用完全平方公式例7.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；【答案与解析】(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即，∴．题型4十字相乘法因式分解例8．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）若关于的一元二次方程的常数项为，则______．【答案】【分析】直接利用常数项为0，得出关于m的方程，解方程求出m的值，再根据一元二次方程的定义进而得出答案．【详解】解：∵常数项为0，∴，解得：或2，又∵，即，∴．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，解一元二次方程以及一元二次方程的定义，正确解方程是解题关键．例9．（2022秋·江苏南京·九年级校考期中）已知一元二次方程的两个根分别是的两边长，则第3条边长___________．【答案】或4/4或【分析】先解方程求出一元二次方程的两个根是3和5，再分两种情况：当3和5都是直角边时；当5是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可．【详解】解∶，解得，当3和5都是直角边时，第三边长为∶；当5是斜边长时，第三边长为：．故答案为∶或4．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，勾股定理，解决本题的关键是当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．例10．（2022春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）已知等腰三角形两边长分别是方程两根，求此等腰三角形的周长_____．【答案】11或13/13或11【分析】先利用因式分解法解得到，，然后分类讨论：当腰为3，底边为5或当腰为5，底边为3，再分别计算三角形的周长．【详解】解：，，所以，，当腰为3，底边为5时，三角形的周长；当腰为5，底边为3时，三角形的周长．故答案为：11或13．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了等腰三角形的定义和三角形三边的关系．例11．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）三角形两边的长为3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长是______．【答案】9【分析】求出方程的解，根据三角形的三边关系看是否能组成三角形，再求出三角形的周长即可．【详解】解：，∴，∴，∴，根据三角形的三边关系定理，能组成三角形，不能组成三角形，当第三边的长是2时，周长，故答案为：9．【点睛】本题主要考查对三角形的三边关系定理，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能求出第三边的长是解此题的关键．题型5：选择合适的方法解一元二次方程例12．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）解方程最适当的方法是（）A．直接开方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法【答案】D【分析】方程的两边都有因式，分析可知分解因式法最为合适．【详解】解：可化为：故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程——直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程时选择适当的方法是解题的关键．例13.用适当的方法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）（2），②，，解得：；解得：；（3）整理得：（4）∵原方程是一元二次方程，，，，解得：；，解得：．【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰当选择．题型6：换元法与因式分解综合解一元二次方程例14．（2021秋·江苏淮安·九年级统考期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，；当时，，；原方程有四个根：，，，．仿照上面方法，解方程：．【答案】，．【分析】设x2+3x=y，则原方程变为y2+4y+3=0，求出y=-1，或y=-3，再分别解方程即可．【详解】解：设x2+3x=y，则原方程变为y2+4y+3=0，∴（y+1）（y+3）=0，解得y=-1，或y=-3，当y=-1时，x2+3x=-1，即x2+3x+1=0，解得x=，当y=-3时，x2+3x=-3，即x2+3x+3=0，因为∆=32-4×3<0，所以方程没有实数根，舍去；∴原方程有两个根：，．【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键．例15．（2022秋·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：(1)将关于x的一元二次方程+bx+c＝0变形为＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出﹣3x+2020的值是______．(2)解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设＝y，那么，于是原方程可变为（1），解得＝1，＝4．当y＝1时，＝1，∴x＝±1；当y＝4时，＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根．请你用（2）中的方法求出方程的实数解．【答案】(1)2022(2)，【分析】（1）根据题目所提供的方法即可求出答案；（2）根据换元法即可求解．（1）解：∵﹣x﹣1＝0，∴＝x+1，∴﹣3x+2020＝＝﹣x+2021＝x+1﹣x+2021＝2022．故答案为：2022；（2）解：设+x＝y，那么，于是原方程可变为，解得＝﹣2，＝4．当y＝﹣2时，+x+2＝0，Δ＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴方程无解；当y＝4时，+x﹣4＝0，∴x＝；∴原方程有两个根：x1＝，x2＝．【点睛】本题考查了降次法求代数式的值和换元法解一元二次方程，能够降次是解此题的关键．例16．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）阅读下面的材料，解决问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，∴；当时，，∴；∴原方程有四个根：，，，．请参照例题，解方程．【答案】；【分析】仿照例题，设，则，再解一元二次方程即可．【详解】解：设，则，∴原方程可变为，解得，．当时，，∴；；当时，，∴此方程无解；∴原方程有两个根：；．【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法及理解题意是解题的关键．一、单选题1．（2022秋·江苏·九年级期中）已知方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0的解是（

）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3C．x1=2，x2=6 D．x1=﹣2，x2=﹣6【答案】D【分析】根据已知方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，求出两个方程的解即可．【详解】解：∵方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0中x+3=1或﹣3，解得：x=﹣2或﹣6，即x1=﹣2，x2=﹣6，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程，换元法解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，是解此题的关键．2．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程的两根分别为，则关于x的一元二次方程的两根分别为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设，则变为，得到一元二次方程的两根分别为，或者，即可求得答案．【详解】解：设，则变为：，∵一元二次方程的两根分别为，∴一元二次方程的两根分别为，∴或者，解得．故选：B【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．3．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）方程的根可以是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用因式分解法求出方程的解即可．【详解】解∶方程可化为，故或，所以．故选∶A．【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．4．（2020秋·江苏苏州·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（

）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】C【分析】由题意，设，则，然后结合方程的根是，即可求出答案．【详解】解：根据题意，设，∵，∴，∵一元二次方程有一根为，∴的一个根为，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握换元法求一元二次方程的解．二、填空题5．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根的值是_________．【答案】【分析】由题意可把代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根．【详解】解：由题意把代入一元二次方程得：，解得：，∴原方程为，解方程得：，∴方程的另一个根为；故答案为：．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解及其解法是解题的关键．6．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）已知，则的值为______．【答案】1【分析】设=z，则原方程换元为+6z-7=0，可得=1，=-7，即可求解．【详解】解：设=z，则原方程换元为+6z-7=0，∴(z-1)(z+7)=0，解得：=1，=-7，∵≥0，∴=1，故答案为：1．【点睛】本题考查解一元二次方程及换元法解高次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．三、解答题7．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期末）解方程：．【答案】，【分析】用因式分解法求得方程的解即可．【详解】解：，∴，∴或，解得：，．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握因式分解法．8．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）用适当的方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用公式法求解即可．【详解】（1）解：，，，，或，，．（2），，，，，，，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有：直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法等等．9．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：，即，解得，解得：，；（2）解：，即，∴，得，解得：，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．10．（2022秋·江苏·九年级期中）先阅读以下材料，再解答问题：在学习了一元二次方程的解法后，利用课后托管时间，数学兴趣小组的同学对一元四次方程x4－5x2＋4＝0的解法进行了如下探究：根据该方程的特点，可以把x2视为一个整体，然后设x2＝y，则x4＝y2，原方程可化为y2－5y＋4＝0.

①

解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2.∴原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.请解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，主要利用法达到了降次的目的，体现了的数学思想；（2）仿照以上方法解方程：（x2－x）2＋（x2－x）－6＝0.【答案】（1）换元，转化；（2）．【分析】（1）使用了换元法把四次降为二次，这体现了转化的数学思想；（2）设，可将方程转化为，利用因式分解法求出方程的解，从而可得两个关于的一元二次方程，再利用因式分解法解方程即可得．【详解】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，主要利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想，故答案为：换元，转化；（2）设，则原方程可化为，解得，当时，，解得，当时，，即，此方程根的判别式为，方程没有实数根，所以原方程的解为．【点睛】本题考查了利用换元法解方程，熟练掌握换元法是解题关键．11．（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）已知：关于x的一元二次方程(1)求证：方程总有两个实数根；(2)当k为整数______时，方程有两个不相等的正整数根．【答案】(1)证明见解析(2)1或2【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）利用因式分解法求出方程的解，即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∴方程总有两个实数根；（2）解：∴，解得：，∵方程有两个不相等的正整数根，∴或2或4，∵，∴或2．故答案为：1或2【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法是解题的关键．一、单选题1．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）方程的根是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据解一元二次方程的因式分解法，让每个因式为0进行求解即可．【详解】解：，或，，故选C．【点睛】本题考查了解一元二次方程得解法，熟练运用因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程是解本题的关键．2．（2023·江苏南京·九年级专题练习）若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=−5，则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】设t=y+1，则原方程可化为at2+bt+c=0，根据关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=3，x2=-5，得到t1=3，t2=-5，于是得到结论．【详解】解：设t=y+1，则原方程可化为at2+bt+c=0，∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=3，x2=-5，∴t1=3，t2=-5，∴y+1=3或y+1=-5，解得y1=2，y2=-6．故选：B．【点睛】此题主要考查了换元法解一元二次方程，关键是正确找出两个方程解的关系．3．（2019秋·江苏镇江·九年级校联考阶段练习）若实数满足方程，那么的值为（

）A．或4 B．4 C． D．2或【答案】B【分析】设x2＋2x＝y，则原方程化为y（y−2）−8＝0，求出y，即可得出选项．【详解】解：设x2＋2x＝y，则原方程化为y（y−2）−8＝0，解得：y＝4或−2，当y＝4时，x2＋2x＝4，此时方程有解，当y＝−2时，x2＋2x＝−2，此时方程无解，舍去，所以x2＋2x＝4．故选：B．【点睛】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程，解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．4．（2023春·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如果分式的值为0，那么x的值是（）A． B． C．或 D．或0【答案】A【分析】根据计算即可．【详解】∵分式的值为0，∴，∴，∴，故选A．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分子为零且分母不能为零是解题的关键．5．（2021秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）若实数满足方程，则不同的值有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】设，则原方程转化为关于t的一元二次方程，由因式分解法解该方程即可．【详解】设，则原方程转化为整理得：解得：t=4或t=-1当即时，，方程有两个异根；当即时，，方程有两个相同的解；综上，不同的x值有3个故选：C．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是构造元和设元进行等量代换．二、填空题6．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）关于的方程的根是，，那么关于的方程的根是________；【答案】，【分析】令，可得，易得的两根分别为1和，即的值为1和，求解即可．【详解】解：令，可得，∵关于的方程的根是，，∴的两根分别为1和，即或，解得：，，故答案为：，．【点睛】本题考查换元法解方程，观察两个方程之间的联系，掌握换元法解方程的方法是解题的关键．7．（2022秋·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）若关于x的方程的解是，，则关于y的方程的解是______．【答案】，【分析】根据关于x的方程的解是，，令关于y的方程中，即可得到，解这个方程组即可得到答案．【详解】解：关于x的方程的解是，，令，则或，解得，，故答案为：，．【点睛】本题考查换元法及一元二次方程解的定义，令关于y的方程中是解决问题的关键．8．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）知道方程的解是，，现给出另一个方程，则它的解是_____．【答案】，【分析】令，则方程可转化为，即，解出，即可得出或，解出即可得出答案．【详解】解：令，∴方程可转化为，即，解得：或，∴或，解得：，．故答案为：，【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程，熟悉换元法的解题步骤是解本题关键．9．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）已知实数a、b满足，则的值为______．【答案】3【分析】把看作为一个整体，再利用因式分解法解答，即可求解．【详解】解：，∴，∴，∴，解得：，∵，∴．故答案为：3【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，利用整体思想解答是解题的关键．10．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为________________．【答案】4【分析】设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，然后求得y，进而求得x即可．【详解】解：设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，解得：y＝4或﹣2，当y＝4时，x2+2x＝4，此时方程有解，当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此时方程没有实数根，舍去，所以x2+2x＝4．故答案为4．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握换元法成为解答本题的关键．三、解答题11．（2022秋·江苏盐城·九年级滨海县第一初级中学校联考阶段练习）解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的．例如：解方程（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0，如果设x2﹣3＝y，∵x2﹣3＝y，∴3﹣x2＝﹣y，用y表示x后代入（x2﹣3）2﹣5（3﹣x2）+2＝0得：y2+5y+2＝0．应用：请用换元法解下列各题（1）已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8，则x2+y2的值；（2）解方程：；（3）已知a2+ab﹣b2＝0（ab≠0），求的值．【答案】（1）1；（2）；（3）或【分析】（1）令可得，求解一元二次方程即可；（2）令，则，原方程可化为，求得，即可求解；（3）因为所以，方程两边同时除以，可得，令，方程可化简为，求解方程即可．【详解】解：（1）令，则，原方程可化为即，，解得或又∵∴所以，x2+y2的值为1（2）令，则原方程可化为即，解得或当时，即，，即解得当时，，判别式，方程无解综上所述，的解为（3）∵∴，两边同时除可得：令，可化为，解得，∴或【点睛】此题考查了一元二次方程的求解方法，涉