中科大热工基础课件第9章导热

1第九章

导热

HeatConduction2作业教材9－1，9－4，9－5，9－7补充已知两表面的温度分别为tw1、tw2，（1）用对傅氏定律直接积分的方法求空心球壁稳态导热的温度分布、热流量。（2）由傅氏定律直接积分推导任意形状物体一维稳态导热的温度分布、热流量。假设横断面积随x的变化已知，为A(x)=f(x)。39-1导热的基本概念、基本定律研究方法由连续介质假设出发、从宏观的角度来讨论导热热流量与物体温度分布及其他影响因素之间的关系及导热的计算方法。(分子、自由电子、声子)平均自由程与物体的宏观尺寸相比不能忽略的情形不在本章研究范畴之内。4一、导热的基本概念

1、温度场(temperaturefield)

某一时刻

，物体内所有各点的温度分布称为该物体在时刻的温度场。

温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标系中，温度场可表示为

t表示温度，x,y,z为空间直角坐标。5当温度场与时间有关时，称为非稳态温度场。稳态导热的温度场称为稳态温度场。

根据在空间的变化情况温度场可分为:一维温度场二维温度场三维温度场

非稳态稳态62、等温面与等温线

同一时刻温度场中温度相同的点所连成的曲面称为等温面。任何一个二维截面上，等温面表现为等温线。温度场可用等温面或等温线来表示。等温面和等温线的特征：同一时刻，等温面或等温线不相交；连续介质假设下，等温面（或等温线）或者在物体中构成封闭的曲面（或曲线），或者终止于物体的边界，不可能在物体中中断。

为什么？72、等温面与等温线8定义：等温面法线方向的温度变化

—等温面法线方向温度变化率；

n—等温面法线方向的单位矢量。温度梯度是矢量,其方向沿等温面的法线指向温度增加的方向

3、温度梯度(temperaturegradient)9温度梯度是矢量，指向温度增加的方向。直角坐标系中，温度梯度可表示为

分别为x、y、z方向的偏导数；

i、j、k为x、y、z方向的单位矢量。

10

4、热流密度(heatflux)

垂直通过等温面t上的微元面积dA的热流量为d

，则dA上的热流密度为：

热流密度的大小和方向可以用热流密度矢量q

表示：

在直角坐标系中,热流密度矢量可以表示为ngradt11二、导热基本定律

1、均质各向同性材料导热的Fourier定律

标量形式的Fourier定律表达式为:

热流密度的大小与温度梯度的绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反；要计算通过物体的导热热流量,除了物体材料的导热系数之外,还必须知道温度场。所以,求解温度场是导热分析的主要任务。

12Fourier定律的适用条件适用于均质连续介质，工程上许多材料不满足此条件，但所取微元体内的性质基本均匀一致时亦可用，如砖、混凝土等；各向同性材料，导热系数与方向无关。此时，由傅氏定律知：q与gradt共线、反向，均垂直于等温面（线）；傅氏定律假定热扰动以无限大的速度传播，当传播速度有限时a：热扩散率；c：热传播速度132、各向异性介质的导热各向异性介质：

导热系数随方向变化。如木材、石英、沉积岩、经过冷冲压处理的金属、层压板、强化纤维板等。热流密度矢量的方向不仅与温度梯度有关,还与导热系数的方向性有关,因此热流密度矢量与温度梯度不一定在同一条直线上。导热系数矩阵：

一般，各向异性材料的导热系数是二阶张量，写成矩阵形式为：14各向异性介质的导热定律

本课程不涉及各向异性介质材料导热的具体分析计算过程。15三、导热系数(ThermalConductivity)

导热系数是物质的重要热物性参数,表示该物质导热能力的大小。根据傅里叶定律,有： 绝大多数材料的导热系数值都根据上式通过实验测得。 材料的导热系数差别很大。16几种典型材料的导热系数171、物质的导热机理气体：分子的相互作用或碰撞；无机非金属固体：晶格点阵和晶格的振动，振动的能量子称为“声子”；金属固体：主要靠自由电子，声子也有微小贡献；液体：目前的认识尚不很清楚，有两种代表性说法：(1)稠密气体；(2)濒临瓦解的固体。目前以后一种说法为较多人认同；高温固体或有缺陷、空隙的固体：辐射影响不可忽略，热载体为光子。182、导热系数的数学描述

由以上分析知：物质的导热可归结为自由电子、声子、分子（原子）以及光子四种载体的运动和相互作用。研究表明：每一载体单独作用时：载体的体积热容载体的平均速度平均自由程两种或两种以上载体同时存在时：19(1)同一种物质的固态导热系数最大,气态导热系数最小；(2)金属导热系数大于非金属的导热系数(相差1～2个数量级)；(3)导电性能好的金属,导热性能也好（Wiedemann-Franz定律）。银是最好的导电体,也是最好的导热体;(4)合金中杂质(或其他金属)破坏了晶格的结构,纯金属的导热系数大于它的合金。(5)各向异性物体的导热系数与方向有关；(6)同一种物质,晶体的导热系数大于非晶体的。3、物质导热系数的特点204、影响导热系数的因素(1)温度气体的导热系数随温度的增大而增加；液体的导热系数一般随温度的增大而减小，但有特例，如水；固体因结构的不同会表现出不同规律。固体晶体非晶体液体少数液体气体21(2)压力气体：随压力增加而增大。稀薄气体(P<100Pa)导热系数与压力近似成正比；低压气体(100Pa--1MPa)压力影响可忽略不计；高压气体压力影响明显，尤其是临界区。液体：压力影响可忽略不计。固体晶体：压力达到足以使晶格变形时，导热系数随压力增大而减小；非晶体：压力增大促使导热系数增大。22(3)化学成分与杂质

第二种组分或杂质的介入，或固溶体的形成，都破坏了晶体的完整性，引起晶格的扭曲、畸变和错位，引起导热系数的减小。组分共晶体固溶体(4)其他影响晶体结构、缺陷、尺寸效应23对特定物质作导热分析计算时，通常只需考虑温度对导热系数的影响。所研究的温度范围较小时，材料的导热系数可以近似认为随温度线性变化:

0为按上式计算0℃下的导热系数值，并非材料在0℃下的导热系数真实值，如图所示；b为由实验确定的实常数，与物质的种类有关。245、多孔材料的导热系数

绝大多数建筑材料和绝热材料都具有多孔或纤维结构(如砖、混凝土、石棉、炉渣等),不是均匀介质。应用傅里叶定律的条件：孔隙大小与物体总体几何尺寸相比非常小，近似看作均匀介质。

多孔材料的导热系数是指它的表观（有效）导热系数,或称作折算导热系数，它相当于和多孔材料物体具有相同的形状、尺寸和边界温度,且通过的导热热流量也相同的某种均质物体的导热系数。最简单的表观导热系数的计算式为：

effectivethermalconductivity

porosity25多孔材料的导热系数的特点多孔材料的导热系数随温度的升高而增大孔隙中气体的导热系数随温度的升高而增大；孔隙内壁面间的辐射传热加强；

多孔材料导热系数与密度关系一般密度愈小,多孔材料的空隙率愈大,导热系数愈小；密度小到一定程度后,由于孔隙较大,空隙中的空气出现宏观流动,由于对流换热的作用反而使多孔材料的表观导热系数增大；26多孔材料导热系数的特点多孔材料的导热系数受湿度的影响较大

例如：干砖导热系数0.35W/(m

K),水的导热系数0.60W/(m

K)，湿砖导热系数1.0W/(m

K)多孔介质是典型的保温材料（或绝热材料） 膨胀塑料、膨胀珍珠岩、矿渣绵，……我国国标规定，<0.12W/m.K(t<350ºC)的材料为保温材料。为什么？27固体与液体导热系数随温度的变化固体液体28气体导热系数随温度的变化讨论：导热系数是物性参数，对一定的物质，只取决于热力学状态。29典型材料导热系数的数值范围纯金属

50--415W/m·K合金

12--120W/m·K非金属固体

1--40W/m·K液体(非金属)0.17--0.7W/m·K绝热材料

0.03--0.12W/m·K气体

0.007--0.17W/m·K30四、导热问题的数学描述

（数学模型）

导热微分方程式+单值性条件建立数学模型的目的：求解温度场导热数学模型的组成：31导热微分方程式的导出假设：1）物体由各向同性的连续介质组成；

2）有内热源，强度为，表示单位时间、单位体积内的生成热，单位为W/m3

。1）根据物体的形状选择坐标系,选取物体中的微元体作为研究对象；步骤：2）根据能量守恒,建立微元体的热平衡方程式；3）根据傅里叶定律及已知条件,对热平衡方程进行归纳、整理。32导热过程中微元体的热平衡：

单位时间内，净导入微元体的热流量

与微元体内热源的生成热

V之和等于微元体热力学能的增加dU,即

+

V=dU

=

lx+

ly+

lz

lx=

x－

x+dx

=qx

dydz

－

qx+dx

dydz

33同理可得从y和z方向净导入微元体的热流量分别为于是,在单位时间内净导入微元体的热流量为单位时间内微元体内热源的生成热：单位时间内微元内能的增加：根据微元体的热平衡表达式

+

V=dU

可得导热微分方程式34

导热微分方程式建立了导热过程中物体的温度随时间和空间变化的函数关系。当导热系数

为常数时,导热微分方程式可简化为

式中，35例9-1

无内热源、常物性二维导热物体在某一瞬时的温度分布为

，试分析该物体在x=0,y=1处温度随时间的变化趋势。xytcos22=解：所以，该点温度随时间增加而升高。36热扩散率(导温系数,thermaldiffusivity)

是对非稳态导热过程有重要影响的热物性参数，其大小反映瞬态加热或冷却时物体内温度变化的快慢。表征物体内温度趋于一致的能力。热扩散率愈大，对突然加热与冷却，物体内达到热平衡愈快。单位为m2/s。

例：木材热扩散率约为a=1.5×10-7m2/s,纯铜热扩散率约为a=5.33×10-5,是木材的355倍。物质的储热能力37导热微分方程式的简化

(1)物体无内热源：(2)稳态导热：(3)稳态导热、无内热源：

2t=0，即

38如果

为常数：圆柱坐标系下的导热微分方程式

39球坐标系下的导热微分方程式

为常数时，40导热微分方程式的单值性条件导热微分方程式适用于无穷多个导热过程,有无穷多个解。完整的描写具体导热过程，必须说明导热过程的具体特点,即给出导热微分方程的单值性条件（或称定解条件），使导热微分方程式具有唯一解。导热微分方程式与单值性条件一起构成具体导热过程完整的数学描述。单值性条件一般包括：几何条件、物理条件、时间条件、边界条件。411.几何条件

说明参与导热物体的几何形状及尺寸。几何条件决定温度场的空间分布特点和分析时所采用的坐标系。2.物理条件

说明导热物体的物理性质,例如物体有无内热源以及内热源的分布规律，给出热物性参数(

、

、c、a等)的数值及其特点等。3.时间条件

说明导热过程时间上的特点,是稳态导热还是非稳态导热。对于非稳态导热,应该给出过程开始时物体内部的温度分布规律（称为初始条件）：424.边界条件

说明导热物体边界上的热状态以及与周围环境之间的相互作用,例如,边界上的温度、热流密度分布以及边界与周围环境之间的热量交换情况等。

常见的边界条件分为以下三类:(1)第一类边界条件

给出边界上的温度分布及其随时间的变化规律：(2)第二类边界条件

给出边界上的热流密度分布及其随时间的变化规律：43(3)第三类边界条件

给出了与物体表面进行对流换热的流体的温度tf及表面传热系数h

。

如果物体的某一表面是绝热的,即qw=0,则物体内部的等温面或等温线与该绝热表面垂直相交。

根据边界面的热平衡，由傅里叶定律和牛顿冷却公式可得

第三类边界条件建立了物体内部温度在边界处的变化率与边界处对流换热之间的关系，也称为对流换热边界条件。44

上式描述的第三类边界条件为线性边界条件，反映了导热问题的大部分实际情况。

如果导热物体的边界处除了对流换热还存在与周围环境之间的辐射换热,边界面的热平衡表达式为

qr

为物体边界面与周围环境之间的净辐射换热热流密度。这种对流换热与辐射换热叠加的复合换热边界条件是非线性的边界条件。45

具体导热过程完整的数学描述（数学模型）应该包括(1)导热微分方程式;(2)单值性条件。

对数学模型进行求解,就可以得到物体的温度场,进而根据傅里叶定律就可以确定相应的热流分布。

建立合理的数学模型,是求解导热问题的第一步,也是最重要的一步。

目前应用最广泛的求解导热问题的方法:(1)分析解法;(2)数值解法;(3)实验方法。这也是求解所有传热学问题的三种基本方法。469-2稳态导热

Steady-StateConduction温度只在一个空间方向变化的导热问题无限大平壁导热圆筒壁导热同心球壁导热任意形状、周边绝热的导热问题肋壁的导热（一维处理，2-4）47一、通过平壁的稳态导热

当平壁的两表面分别维持均匀恒定的温度时，平壁的导热为一维稳态导热。假设：

表面面积为A、厚度为

、

为常数、无内热源，两侧表面分别维持均匀恒定的温度tw1、tw2，且tw1

>tw2

。

选取坐标轴x与壁面垂直,如图。1、通过单层平壁的稳态导热

48数学模型

x=0,t=tw1

x=

,t=tw2

求解结果：

可见，当

为常数时,平壁内温度分布曲线为直线，其斜率为

由傅立叶定律可得通过整个平壁的热流量为492、多层平壁的稳态导热以三层平壁为例，假设：

（1）各层厚度分别为

1、

2、

3，各层材料的导热系数分别为

1、

2、

3,且分别为常数；

（2）各层之间接触紧密,相互接触的表面具有相同的温度；

（3）平壁两侧外表面分别保持均匀恒定的温度tw1、tw4。

通过此三层平壁的导热为稳态导热,各层的热流量相同。

50

总导热热阻为各层导热热阻之和，由单层平壁稳态导热的计算公式可得三层平壁稳态导热的热阻网络n层平壁的稳态导热

利用热阻的概念,可以很容易求得通过多层平壁稳态导热的热流量,进而求出各层间接触面的温度。

51例9-2

如图所示的双层平板中，导热系数

1、

2为定值，假定过程为稳态，试分析图中温度分布曲线所对应的

1、

2的相对大小。解：由于为稳态导热，三种情况热流量分别为常数，即52

3、有内热源平壁的一维稳态导热

如果平壁两侧表面分别保持均匀恒定的温度tw1、tw2，平壁内具有均匀分布的内热源,强度为,平壁材料的导热系数

为常数,则平壁一维稳态导热的数学模型为

可见,壁内的温度分布为抛物线。

x=0,t=tw1

x=

,t=tw253

通常

，所以温度分布曲线向上弯曲,并且愈大,弯曲得愈厉害,当大于一定数值后,温度分布曲线在壁内某处xmax具有最大值tmax

,壁内热流的方向从xmax处指向两侧壁面。

根据傅立叶定律，可见，热流密度不再像无内热源那样等于常数,而是x的函数,并且热流的方向不一定指向一个方向,这取决于壁面温差(tw1—tw2)

以及内热源强度的大小。

如果tw1＝

tw2，？544、变导热系数问题类似于前述方法，可求解此问题。也可采用对Fourier定律直接积分的方法：55

分离变量积分：在x处(0<x<):56

可见,当平壁材料的导热系数随温度线性变化时,平壁内的温度分布为二次曲线。

由于，所以：整理可得：57根据傅氏定律判断平板内温度分布特点对大平板内一维稳态导热所以，温度分布呈上凸曲线。

同理可得，b=0时为直线；b<0时为下凹的曲线。58变导热系数平壁的热流密度

为平壁的算术平均温度；为平壁算术平均温度下的导热系数。

当导热系数随温度线性变化时,将导热系数取为平壁算术平均温度下的导热系数

m，热流量可用导热系数为常数的公式计算。

式中对照59讨论平板导热的温度分布

b>0为上凸曲线;b=0=c为直线;b<0为下凹曲线。稳态导热求解方法：

(1)微分方程的边值问题；

(2)傅氏定律直接积分。60二、通过圆筒壁的稳态导热1、单层圆筒壁的稳态导热长圆筒壁，长度为l，导热系数

为常数，无内热源（

v=0），内、外壁面维持均匀恒定的温度tw1，tw2,且

tw1

>tw2。

为什么是下凹的曲线？61导热微分方程式为：

第一类边界条件:

r=r1

:t=tw1

r=r2:t=tw2进行两次积分,可得导热微分方程式的通解为：代入BC得：62温度沿r

方向的变化率为：

根据傅立叶定律,沿圆筒壁r

方向的热流密度为：

可见,径向热流密度不等于常数,而是r的函数,

随着r的增加,热流密度逐渐减小。63对于稳态导热,通过整个圆筒壁的热流量不变。R

为整个圆筒壁的导热热阻,K/W。

单位长度圆筒壁的热流量：

式中R

l为单位长度圆筒壁的导热热阻，单位：m

K/W。

64

2、多层圆筒壁的稳态导热

以三层圆筒壁为例，无内热源，各层的

1、

2、

3分别为常数，内、外壁面维持均匀恒定的温度tw1、tw2。通过各层圆筒壁的热流量相等，总导热热阻等于各层导热热阻之和，65对于n层不同材料组成的多层圆筒壁的稳态导热，显然有

66三、肋片的稳态导热

Steady-stateConductionthroughFins根据牛顿冷却公式：

=A

h(

tw－tf)

增大对流换热量有三条途径：

1.加装肋片，增加换热面积A；

2.加大对流换热表面传热系数h；

3.加大换热温差(

tw－tf)。传热过程中，当两侧流体换热能力不匹配时，有必要强化换热能力较差一侧流体的换热，最终实现传热过程的强化。67三、肋片的稳态导热

Steady-stateConductionthroughFins当两侧流体对流换热系数相差较多时，换热表面加装肋片是强化传热的主要措施之一。典型的肋片形式见下图：681、等截面直肋的稳态导热

肋高度为H厚度为

宽度为l与高度方向垂直的横截面积为A=l

横截面的周长P=2(l+

)2l一维近似，近似程度与导热系数

有关。69

假设：

肋片材料均匀，导热系数

为常数；肋根部与肋基接触良好，温度一致；肋的导热热阻与肋表面对流换热热阻相比很小，可以忽略。肋片的温度只沿高度方向发生变化,即可以近似为一维导热；肋表面各处与流体之间对流换热系数h都相同；忽略肋片端面的散热量，即认为肋端面绝热。

热量从肋基导入肋片，然后从肋根导向肋端，沿途不断有热量从肋的侧面以对流换热的方式散给周围的流体，这种情况可以当作肋片具有负内热源（热沉）来处理（将微元体表面的对流换热等效为微元体的热沉，见教材）。

70

导热微分方程边界条件为:

x=0,

t=t0

x=H,71令

称为过余温度。

数学模型变为

x=0，=0双曲余弦函数

72肋片的过余温度从肋根开始沿高度方向按双曲余玄函数的规律变化。

肋片的过余温度沿高度方向逐渐降低，mH较小时，温度降低缓慢；mH较大时，温度降低较快。一般取0.7<mH

<2

mH=1.x/H73肋端，x=H，肋端的过余温度

肋端过余温度随mH增加而降低。

在稳态情况下,肋片散热量应该等于从肋根导入的热量随着mH增大，散热量增加，开始增加迅速，后来越来越缓慢，逐渐趋于一渐近值（增加肋高的经济性）742、肋片效率：

定义：肋片的实际散热量

与假设整个肋片都具有肋基温度时的理想散热量

0之比式中tm、

m分别为肋面的平均温度和平均过余温度，t0、

0分别为肋基温度与肋基过余温度。由于

m<

0

，所以肋片效率

f

小于1。求解过程设肋表面各处h都相等，等截面直肋的平均过余温度可按下式计算：可见，肋片效率是mH的函数。75矩形和三角形肋片效率随mH的变化规律如图。影响肋片效率的因素：（1）肋片材料的热导率

，（2）肋片高度H，（3）肋片厚度

，（4）肋片与周围流体间对流换热的表面传热系数h，可见，mH愈大，肋片效率愈低。mHHH7677

（1）上述分析结果同样适用于其它形状的等截面直肋，如圆柱、圆管形肋的一维稳态导热问题；

（2）如果必须考虑肋端面的散热，可以将肋端面面积折算到侧面上去，相当于肋加高为H+H，其中对于矩形肋,几点说明：

（4）对于肋片厚度方向的导热热阻

/与表面的对流换热热阻1/h相比不可忽略的情况，肋片的导热不能认为是一维的，上述公式不再适用；

（5）上述推导没有考虑辐射换热的影响，对一些温差较大或表面传热系数较小的场合，必须加以考虑。

（3）上述分析结果既适用于肋片被加热的情况，也适用于肋片被冷却的情况；78矩形环肋肋效率79变截面肋片在一定散热量条件下，什么几何形状肋的材料消耗量最少？理论分析证明，在一定散热量的条件下，的具有凹抛物线剖面的肋片最省材料。工程上常采用工艺简单、性能接近凹抛物线型肋片的三角肋或者梯形肋。工程上常采用工艺简单、性能接近凹抛物线型肋片的三角肋或者梯形肋。80例9-3

套管导热对热电偶测温精度的影响

热电偶测量的是测温套管端部的温度tH。

在稳态情况下，套管端部温度不等于空气的温度，测温误差就是套管端部的过余温度。

忽略套管横截面上的温度变化，并认为端部绝热，则套管导热可以看成是等截面直肋的一维稳态导热问题。如何减小测温误差？HH81例9-4

两几何尺寸相同的等截面直肋，在相同的对流环境下，沿肋高方向的温度分布曲线如图，请判断两种材料导热系数的大小及肋效率的高低。解：对一维肋，导热系数越高，沿肋方向的热阻越小，因而沿肋高方向的温度变化越小。因此，曲线1对应的是导热系数大的材料，曲线2对应导热系数小的材料。由肋效率的定义，由于1平均温度高，故肋效率高于曲线2对应的肋效率。H82

四、接触热阻

定义：由于固体表面之间不能完全接触而对两个固体间的导热过程产生的热阻，用Rc表示。由于存在接触热阻，使两个接触表面之间出现温差接触热阻的主要影响因素：

(1)相互接触的物体表面的粗糙度；

(2)相互接触的物体表面的硬度；

(3)相互接触的物体表面之间的压力等。减小接触热阻的措施：抛光、加压、添加薄膜等。839-3非稳态导热

TransientConduction学习要点：非稳态导热过程中温度场变化规律；热流量计算主要内容:一维瞬态导热分析解法及求解结果；求解非稳态导热问题的集总参数法。84一、非稳态导热的特点(1)周期性问题

周期性时间条件下，物体内温度变化呈周期性。如：内燃机汽缸壁、压缩机气缸壁的导热；建筑维护结构（墙体）的导热。

(2)瞬态问题--非周期性不稳态导热

在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程，物体内某一点的温度是时间的某个非线性函数，随时间的推移温度不断降低或升高，逐渐趋于定值。如工件的加热或冷却等。85一、非稳态导热的特点例：开始供暖时墙体的导热

c

c86瞬态导热三个阶段<c

初始阶段(非正规阶段)温度变化的界面逐渐由边界深入到物体内部，但尚未到达另一壁面，温度分布受初始条件影响；

c<

<

ｓ正规阶段初始条件的影响消失(物体内任一点均不处于初始温度)，瞬态导热的主要阶段；>

ｓ新稳态阶段当整体加热或冷却时，物体与环境达到热平衡。87二、一维瞬态导热问题的分析解1、大平壁冷却/加热问题的分析解简介

常物性平壁；无内热源；初始温度为

。突然将两侧流体温度降低为，并保持不变；对流换热表面传热系数h为常数。

88由于温度场的对称性，选取坐标系如图，仅需讨论半个平壁的导热问题。一维瞬态导热问题，其导热微分方程式为:

初始条件：边界条件：

绝热边界（对称性）xt089引进过余温度: 导热微分方程式和单值性条件变为:初始条件：边界条件：

xt090引进无量纲温度: 无量纲坐标: 可将上式及单值性条件无量纲化为:

初始条件：边界条件：

FouriernumberBiotnumber无量纲数，称为特征数，习惯上也称为准则数。xt091由无量纲数学模型可知，

是Fo、Bi、X三个无量纲参数的函数

确定此函数关系是求解该问题的主要任务。

92采用分离变量法，求解结果为：

求解结果解的函数形式为无穷级数，式中是下面超越方程的根

932、对分析解的讨论（1）Fo的物理意义及其对温度分布的影响Fo的物理意义：无量纲时间

热扰动传播时间Fo

表征了温度在物体内变化的深度，因而是区分初始阶段与正规阶段的判据。94初始阶段与正规阶段的区分Fo

0.2时，瞬态导热进入正规阶段，此时，取级数的第一项产生的误差很小，对工程计算已足够精确。

将上式左、右两边取对数：式中：

95

为超越方程的第一个根，只与Bi有关，即只取决于边界条件、平壁的物性、几何尺寸。所以，当平壁及其边界条件给定之后，m为一常数，与时间、地点无关。式右边的第二项只与Bi、 有关，与时间无关。于是上式可改为：两边对时间求导，可得：m的物理意义：过余温度对时间的相对变化率，；称为冷却率（或加热率）。96

上式说明，当 ，即 平壁内所有各点过余温度的对数都随时间线性变化。

进入正规状况阶段后，所有各点的冷却率或加热率m都相同，且不随时间而变化，这是非稳态导热正规状况阶段的特点之一。97如果用表示平壁中心的过余温度，则：

于是：可见，当Fo

0.2，即非稳态导热进入正规状况阶段以后，任一位置过余温度与中心过余温度之比与时间无关，只取决于毕渥数与几何位置，这是正规状况阶段的另一重要特点。

98工程技术中的非稳态导热绝大部分时间都处于正规状况阶段，认识正规状况阶段的温度变化规律对工程计算具有重要的实际意义。有关文献已证明，当Fo

0.2时，其它形状物体的非稳态导热也进入正规状况阶段，表现出

所表示的温度变化规律，只是m的数值不同而已。99（2）Bi的物理意义及其对温度分布的影响

Bi的物理意义：因此，Bi为无量纲热阻，决定着物体内部温度分布的特征。100Bi对温度分布的影响几何意义：

非稳态导热过程中平壁内过余温度分布曲线在边界处的切线都通过点0’，该点称为第三类边界条件的定向点，与平壁边界面距离 1011)

表明对流换热热阻趋于零，平壁表面与流体之间的温差趋于零，意味着平壁内的温度变化完全取决于平壁的导热热阻。定向点位于平壁表面上，给定第三类BC实际上实际相当于给定第一类BC。2)意味着平壁的导热热阻趋于零，平壁内温度在任一时刻都趋于均匀一致，只随时间而变，变化的快慢完全取决于平壁表面的对流换热强度。定向点在距平壁无穷远处，一般认为 集总参数法。

1023)

平壁的温度变化既取决于平壁内部的导热热阻，也取决于平壁外部的对流换热热阻。1033、诺模图

(Nomographicchart)

如上所述，当Fo

0.2时，

绘制成线算图（1）

绘制成线算图（2）104平壁与周围流体之间的换热量

在平壁内x处平行于壁面取一厚度为dx的微元薄层，在时间内，单位面积微元薄层放出的热量等于其内能的变化，即:

单位面积平壁所放出的热量为:

=0xdx0

0

105令 为单位面积平壁从温度冷却到所放出的热量，于是：

同样可绘制成线算图。

将代入上式，得:

106几点说明：1）上述分析针对平壁被冷却的情况进行，分析结果对平壁被加热的情况同样适用；2）上述结果也适用于一侧绝热、另一侧具有第三类边界条件且厚度为

的平壁；3）线算图只适用于Fo

0.2的情况，当Fo

<0.2时，温度分布和换热量须用未简化公式计算。107二维、三维规则几何体瞬态导热108三、集总参数法

(GeneralLumpedCapacitanceMethod)当 时，物体内部的导热热阻远小于其表面的对流换热热阻，物体的温度只是时间的函数，与坐标无关。这种情况下的非稳态导热问题，只须求出温度随时间的变化规律以及在温度变化过程中物体放出或吸收的热量。

这种忽略物体内部导热热阻，将物体看作一个质点的简化分析方法称为集总参数法。

1、模型及求解109

假设：一个任意形状的物体，体积为V，表面面积为A，密度

、比热容c及导热系数

为常数，无内热源，初始温度为t0。突然将该物体放入温度tf

恒定的流体中，物体表面和流体之间对流换热的表面传热系数h为常数。110

假设该问题满足的条件，根据能量守恒，单位时间物体内能的变化量等于物体表面与流体之间的对流换热量，即

引进过余温度 ，上式可改写为

111初始条件为：将上式积分可得:112注意到:

特征长度：

注意，式中毕渥数与傅里叶数的下角标V表示以为特征长度。113

时间内物体和周围环境之间交换的热量

表示物体温度从变化到周围流体温度所放出或吸收的总热量，上式可改写成无量纲形式：

求解结果既适用于物体被加热的情况，也适用于物体被冷却的情况。

114

结果表明，对于形状如平板、柱体或球这样的物体，只要满足，按集总热容求解过余温度之间偏差小于5%，可以使用集总参数法计算。M为与几何形状有关的无量刚量：2、集总参数法的适用条件115物理意义：反映物体对周围环境温度变化的响应，时间常数越小，物体的温度变化越快，越能迅速地接近周围流体的温度。

时间常数称为时间常数，当116影响时间常数的主要因素：物体的热容量；物体表面的对流换热条件。

物体的热容量愈小，表面的对流换热愈强，物体的时间常数愈小。利用热电偶测量流体温度，时间常数越小，热电偶越能迅速地反映被测流体的温度变化，所以，测瞬态温度场时，热电偶的接点总是做得很小。

117用同一种材料制成的体积相同的圆球、长度等于直径的圆柱与正方体，三者的表面面积之比为：

A圆球:A圆柱:A正方体=1:1.146:1.242正方体的表面面积最大，时间常数最小

直径为2R的球体、长度等于直径2R的圆柱体与边长为2R的正方体相比，三者单位体积的表面积相同，时间常数相同，在相同条件下的冷却（或加热）速度也相同。单位体积的表面面积越大的物体，时间常数越小，在初始温度相同的情况下放在温度相同的流体中被冷却（或加热）的速度越快。

作业：9－10，9－12,9-14118分析解法的优点(1)求解过程所依据的分析过程严谨;(2)物理概念和逻辑推理清晰;(3)求解结果以函数的形式表示,能清楚地显示各种因素对温度分布的影响。

数值解的必要性

对复杂导热问题，分析解法无能为力。随着计算机容量、计算速度的迅速提高,数值解法的应用范围、规模、解题速度和精确度都有很大的进展，已成为求解复杂传热问题有效手段。9-4导热问题的数值解法基础119一、概述

1.基本思想：用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散点(节点)的温度近似值代替物体内实际连续的温度分布，将连续温度分布函数的求解问题转化为各节点温度值的求解问题，将导热微分方程的求解问题转化为节点温度代数方程组求解问题。

2.

基本步骤:

（1）对实际导热问题进行分析，做必要、合理的简化，建立符合实际的物理模型；

（2）根据物理模型建立完整的数学模型，即给出导热微分方程和单值性条件；

(1)、(2)是导热问题所有求解方法的基础。120

（3）求解域离散化：空间和时间区域划分成有限个子区域，网格线的交点作为节点,节点代表以它为中心的子区域（控制容积），节点温度就代表子区域的温度；

（4）建立节点温度代数方程组；

（5）求解节点温度代数方程组；

（6）对计算结果进行分析，若不符合实际情况，则修正上述步骤，重复进行计算，直到满意为止。目前常用的数值解法主要有：有限差分法、有限元法、边界元法等。本章将主要介绍有限差分法。121二、稳态导热的有限差分解用有限差分近似微分，用有限差商近似微商。偏微分方程转化为差分方程。以常物性、无内热源的二维稳态导热为例

122

差分方程的建立

1.

求解域离散

1)子区域划分

选择网格宽度

x、y（步长），划分子区域。步长大小根据问题的需要而定。

2)节点选择

选择网线和网线及网线与物体边界的交点作为节点，标定节点位置，如(m,n)、(m+1,n)

等。123

2.

节点差分方程建立

1)泰勒级数展开对节点（m+1,n）和（m-1,n）分别写出t

在(m,n)节点的泰勒级数展开式：两式相加，略去高阶项，得中心差分格式124同样可得y方向得二阶偏导数对于无内热源的二维稳态导热，导热微分方程为将上两式代入，得取

x=

y，得125根据节点所代表的子区域在导热过程中能量守恒建立节点温度差分方程。(1)

内部节点对于无内热源的二维稳态导热，内部节点(m,n

)所代表的子区域在导热过程中热平衡关系为对于垂直于画面方向单位宽度，选择

x=y

2)

热平衡法126物体内每一个节点温度都等于相邻4个节点温度的算术平均值。

(2)

边界节点

对第三类边界条件的边界节点(m,n)所代表的子区域，节点热平衡关系为

选择步长

x=y127令称为网格毕渥数。

整理得：第三类边界条件下的外拐角边界节点：128第三类边界条件下的内拐角边界节点绝热边界节点：

运用有限差分方法可以建立导热物体所有内部节点和边界节点温度的差分方程。求解这些差分方程构成一个线性代数方程组就可以得节点温度。129差分方程组求解

线性代数方程组的求解方法有消元法、矩阵求逆法、迭代法等，导热数值计算中常用的迭代法中的两种：简单迭代法任意假定一组节点温度，作为初值。代入方程求出新的节点温度值；直到两次迭代求出之值间的差值满足控制误差要求。(2)高斯-塞德尔迭代法(Gause-SeidelIteration)

简单迭代法的改进，每次迭代都采用最新值。

1301简单迭代

其中aij、bi为常数，且aii0。改写为显函数形式：

假设1312

高斯-塞德尔迭代法

高斯-塞德尔迭代法：在简单迭代法的基础上加以改进，与简单迭代法的主要区别是在迭代运算过程中总使用最新算出的数据。

高斯-塞德尔迭代法比简单迭代法收敛快。1