2024-2025学年四川省成都市蓉城联盟高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2．选择题使用铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3．考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，，，则（）A.0 B.5 C.10 D.15【答案】A【解析】，又，，成等差数列，，.故选：A2.已知函数，则（）A.1 B.－1 C.－2 D.0【答案】B【解析】由导数定义可知，由得，所以.故选：B．3.已知数列是等比数列，，，则（）A.24 B.－24 C. D.4【答案】C【解析】由于是等比数列，故，因此，故选：C4.下列导数运算错误的是（）A.，则 B.，则C.，则 D.，则【答案】B【解析】因为，故A正确；因为，故B错误；因为，故C正确；因为，故D正确.故选：B5.可导函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A.函数在区间上单调递增B.函数在区间上单调递减C.函数在区间上单调递增D.函数在区间上单调递减【答案】C【解析】由图象可知，在上，在上，所以在，上单调递减，在，上单调递增，所以在，，上不单调，故A，B，D错误，在上单调递增，故C正确.故选：C．6.两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由等差数列的性质可得，，故选：C．7.已知函数在处取得极小值，则的值为（）A.－1或－3 B.－1 C.或1 D.－3【答案】B【解析】由，又函数在处取得极小值，则，解得或，当时，，令，则或，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，则在处取得极小值，故符合；当时，，令，则或，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，则在处取得极大值，故不符合，.故选：B8.数列满足：，若，，则（）A.1 B.－1 C.5 D.－5【答案】D【解析】由题意可得，用代替可得：，两式相加，得，，是以6为周期的数列，，故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象不可能是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由的图象知，当时，，所以的图象在上单调递增，且在区间上增长的速度越来越快，在区间上增长的速度越来越慢.对于A，函数在区间上增长的速度越来越慢，在区间上增长的速度越来越快，故A不可能；对于B，函数在区间上增长的速度越来越快，在区间上增长的速度越来越慢，故B可能；对于C，函数在区间上增长的速度越来越快，故C不可能；对于D，函数在区间上增长的速度越来越慢，故D不可能.故选：ACD．10.在2015年苏州世乒赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球．记第堆最底层（第一层）的乒乓球数为，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】观察图形，，，，，故A正确；又，，，，，故B错误；当时，，也满足，，故C正确；，，故D正确，故选：ACD．11.数列通项公式的本质是定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数解析式，数列的图象是函数上的离散点．已知，，记数列的前项和为，则（）A.图象可以由向右平移个单位，再向上平移个单位得到B.，使得C.当时，取得最小值D.数列的最大项的值为【答案】ABD【解析】对于A，，故可以看作是由向右平移个单位，再向上平移个单位而得，故A正确；作出图象如图1，则数列的图象为双曲线上的一系列点，标记如图2，对于B，观察图象可知，当时，数列单调递减，当时，数列也单调递减，但，所以当时，，故B正确；对于C，观察图象可知，当时，数列单调递减，从第3项起为负，当时，数列也单调递减，但，当时，取得最小值，故C错误；对于D，由题意得，因为，当时，虽然取最小值－1，但是，当或时，，且当或时，取最小值3，此时取到最大值，综上，所以数列的最大项的值为，故D正确．故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在点处的切线方程为_____．【答案】【解析】因为，所以曲线在点处的切线斜率为，所以过点的直线方程为，即切线方程为.故答案为：.13.已知函数，若关于的方程有3个实数解，则实数的取值范围为_____．【答案】【解析】．可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，有极小值．作出函数的图象如图，令，则方程，化成，即，解得或，显然有1个实数解，应该有2个实数解，，实数的取值范围为．故答案为：.14.角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．若取正整数，根据上述运算法则得出，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列满足：（为正整数），①若，则使得至少需要_____步“雹程”，②若，则所有可能取值的和为_____．【答案】11；190【解析】①：当时，根据上述运算法得出：，此时共3步，结合题干可知后续还需要8步，故当时，使得需要11步“雹程”；②：若，用倒推法罗列有：则，，则或.①当时，，：i），；ii），；②当时，，或：i），或；ii），或；，所有可能的取值集合为，所有可能取值的和为：；故答案为：11；190．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）若，不等式在上恒成立，求的取值范围．解：（1）的定义域为，，当时，则，令，解得或，和把函数定义域划分成三个区间，在各区间上的正负及的单调性如表：单调递增单调递减单调递增函数的增区间为，，减区间为；（2）当时，，，在区间上，当时，，当时，，当时，函数在上有极小值也是最小值，并且最小值为，在区间上恒成立，，故的取值范围为．16.已知在数列中，首项，且满足，数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）证明是等差数列，并求其通项公式；（3）令，记的前项和为，求．解：（1），，是首项为2，公比为2的等比数列，，即；（2）由，当时，，当时，，也满足，，当时，，数列是以1为首项，2为公差的等差数列；（3），，①，②，①－②可得，即，．17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，棱，且底面，点，．（1）证明：平面；（2）若点，且，证明：平面；（3）求平面与平面的夹角的大小．解：（1）在四棱锥中，，底面，，，由底面是正方形，得，以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为得，，而平面，平面；（2）由（1）知，，由，得，又，则，且，，平面，平面；（3）由（1）知，，且，，设平面的法向量为，则，取，则，所以平面的一个法向量为，，，而，则，，即，，则平面的一个法向量为，，设平面与平面的夹角为，则，，，平面与平面的夹角为．18.在平面直角坐标系中，曲线上任意一点满足．（1）求曲线的方程；（2）直线与曲线交于，两点，（i）当时，求弦的长度；（ii）当时，用含的表达式表示三角形的面积，并求的最大值．解：（1）表示点到两点，距离和等于4，大于，两点间的距离，由椭圆的定义可知，曲线是以，为焦点，4为长轴长的椭圆，即，，所以，所以曲线的方程为；（2）（i）当时，直线，联立，解得或，不妨令，，则，（ii）联立，整理可得，所以，即，设，，则，，所以，原点到的距离，所以三角形面积，因为，当且仅当，即时取等号，所以当时，取最大值．19.设函数．（1）讨论函数的极值点；（2）证明：对任意，恒成立；（3）令，若的前项和为，证明：．解：（1），的定义域为，，当时，，在上单调递增，无极值点，当时，令，，，随的变化情况如下表：+0－单调递增极大值单调递减从上表可以看出：有唯一的极大值点，无极小值点，综上，当时，无极值点，当时，有唯一的极大值点；（2）由（1）知，当时，在处取得极大值，，当时，有，即，当且仅当时取等号，（3）由（2）知，，，故结论成立．

四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2．选择题使用铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3．考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，，，则（）A.0 B.5 C.10 D.15【答案】A【解析】，又，，成等差数列，，.故选：A2.已知函数，则（）A.1 B.－1 C.－2 D.0【答案】B【解析】由导数定义可知，由得，所以.故选：B．3.已知数列是等比数列，，，则（）A.24 B.－24 C. D.4【答案】C【解析】由于是等比数列，故，因此，故选：C4.下列导数运算错误的是（）A.，则 B.，则C.，则 D.，则【答案】B【解析】因为，故A正确；因为，故B错误；因为，故C正确；因为，故D正确.故选：B5.可导函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A.函数在区间上单调递增B.函数在区间上单调递减C.函数在区间上单调递增D.函数在区间上单调递减【答案】C【解析】由图象可知，在上，在上，所以在，上单调递减，在，上单调递增，所以在，，上不单调，故A，B，D错误，在上单调递增，故C正确.故选：C．6.两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由等差数列的性质可得，，故选：C．7.已知函数在处取得极小值，则的值为（）A.－1或－3 B.－1 C.或1 D.－3【答案】B【解析】由，又函数在处取得极小值，则，解得或，当时，，令，则或，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，则在处取得极小值，故符合；当时，，令，则或，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，则在处取得极大值，故不符合，.故选：B8.数列满足：，若，，则（）A.1 B.－1 C.5 D.－5【答案】D【解析】由题意可得，用代替可得：，两式相加，得，，是以6为周期的数列，，故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象不可能是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由的图象知，当时，，所以的图象在上单调递增，且在区间上增长的速度越来越快，在区间上增长的速度越来越慢.对于A，函数在区间上增长的速度越来越慢，在区间上增长的速度越来越快，故A不可能；对于B，函数在区间上增长的速度越来越快，在区间上增长的速度越来越慢，故B可能；对于C，函数在区间上增长的速度越来越快，故C不可能；对于D，函数在区间上增长的速度越来越慢，故D不可能.故选：ACD．10.在2015年苏州世乒赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球．记第堆最底层（第一层）的乒乓球数为，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】观察图形，，，，，故A正确；又，，，，，故B错误；当时，，也满足，，故C正确；，，故D正确，故选：ACD．11.数列通项公式的本质是定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数解析式，数列的图象是函数上的离散点．已知，，记数列的前项和为，则（）A.图象可以由向右平移个单位，再向上平移个单位得到B.，使得C.当时，取得最小值D.数列的最大项的值为【答案】ABD【解析】对于A，，故可以看作是由向右平移个单位，再向上平移个单位而得，故A正确；作出图象如图1，则数列的图象为双曲线上的一系列点，标记如图2，对于B，观察图象可知，当时，数列单调递减，当时，数列也单调递减，但，所以当时，，故B正确；对于C，观察图象可知，当时，数列单调递减，从第3项起为负，当时，数列也单调递减，但，当时，取得最小值，故C错误；对于D，由题意得，因为，当时，虽然取最小值－1，但是，当或时，，且当或时，取最小值3，此时取到最大值，综上，所以数列的最大项的值为，故D正确．故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在点处的切线方程为_____．【答案】【解析】因为，所以曲线在点处的切线斜率为，所以过点的直线方程为，即切线方程为.故答案为：.13.已知函数，若关于的方程有3个实数解，则实数的取值范围为_____．【答案】【解析】．可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，有极小值．作出函数的图象如图，令，则方程，化成，即，解得或，显然有1个实数解，应该有2个实数解，，实数的取值范围为．故答案为：.14.角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．若取正整数，根据上述运算法则得出，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列满足：（为正整数），①若，则使得至少需要_____步“雹程”，②若，则所有可能取值的和为_____．【答案】11；190【解析】①：当时，根据上述运算法得出：，此时共3步，结合题干可知后续还需要8步，故当时，使得需要11步“雹程”；②：若，用倒推法罗列有：则，，则或.①当时，，：i），；ii），；②当时，，或：i），或；ii），或；，所有可能的取值集合为，所有可能取值的和为：；故答案为：11；190．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）若，不等式在上恒成立，求的取值范围．解：（1）的定义域为，，当时，则，令，解得或，和把函数定义域划分成三个区间，在各区间上的正负及的单调性如表：单调递增单调递减单调递增函数的增区间为，，减区间为；（2）当时，，，在区间上，当时，，当时，，当时，函数在上有极小值也是最小值，并且最小值为，在区间上恒成立，，故的取值范围为．16.已知在数列中，首项，且满足，数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）证明是等差数列，并求其通项公式；（3）令，记的前项和为，求．解：（1），，是首项为2，公比为2的等比数列，，即；（2）由，当时，，当时，，也满足，，当时，，数列是以1为首项，2为公差的等差数列；（3），，①，②，①－②可得，即，．17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，棱，且底面，点，．（1）证明：平面；（2）若点，且，