【信号处理领域的小波变换分析3100字】

XII信号处理领域的小波变换分析综述目录TOC\o"1-3"\h\u11549信号处理领域的小波变换分析综述 -1-260761.1分辨率问题 -1-260291.2小波母函数 -4-48631.3连续小波变换 -5-173841.4离散小波变换 -6-1.1分辨率问题关于分辨率可分为时域分辨率和频域分辨率，这两个分辨率关系到一个定理，名为海森堡测不准原理，不确定性原理由海森堡在1927年的论文中首次提出。首先海森堡测不准定理是指：（3-9）为信号的时间不确定度，为信号的频率不确定度，总的来说就是我们无法同时确定一个信号的确切时间和确切频率。频率其实就是时域周期性。如果我只给你一个数据点，问你这个数据点的频率是多少，这肯定是做不到的。要确定频率，就需要一个时域区间（包含几个时域周期）的信号。时域区间越宽，信号的时间定位越不准，时间不确定度越大，得到的频率越准，频率不确定度越小，称这种情况为：低的时域分辨率，高的频域分辨率；时域区间越窄，信号的时间定位越准，时间不确定度越小，但是得到的频率越不准，频率不确定度越大，就称为高的时域分辨率，低的频域分辨率。对于低频信号，为了更好地确定频率，我们希望，时域区间宽一些，即时间不确定度

大一些，根据海森堡测不准原理，频率不确定度自然小一些；即低频信号，我们希望宽窗子，低的时域分辨率，高的频域分辨率；对于高频信号，为了更好地在时域定位，我们希望，时域区间窄一些，即时间不确定度

小一些，根据海森堡测不准原理，频率不确定度自然大一些；即高频信号，我们希望窄窗子，高的时域分辨率，低的频域分辨率。 图3-16这是一张采集信号的分辨率图，每个小矩形在时间轴的宽度很小，说明时间分辨率很好，可以确定每个采样点的时间，再看每个小矩形在频率轴的宽度非常大，说明频率分辨率很差。 图3-17这是一张傅里叶变换的分辨率图，可以看到频率轴方向的宽度很短，在时间轴方向的宽度很大，说明有良好的频域分辨率，很差的时域分辨率，所以就正如之前在傅里叶变换时提到的缺点，傅里叶变换会导致信号在时域的信息完全丢失。图3-18上图是我们所想要的动态分辨率，每个小矩形的面积是相等的，这样保证了时域分辨率乘频域分辨率是定值，可以最大程度地满足海森堡测不准原理。通过这个图可以看出来，我们希望对于低频信号有低的时域分辨率，高的频率分辨率，对于高频信号则需要高的时域分辨率，低的频域分辨率。对于整体低频，局部高频的信号来说，这种动态调整分辨率规则很有用，在实际信号中，频率非常高的高频信号往往是一种噪声。图3-19上图为短时傅里叶变换的分辨率图，可以从图中看出所有的矩形都是一样的大小，也就是说无论高频低频，分辨率都是不可调的，这与之前所期望的动态分辨率不符，所以对于短时傅里叶变换来说，当对一个信号展开时频分析时，当窗子的宽度选择合适时，是可以得到时域分辨率和频域分辨率都还不错的情况的，但是在作分析之前我们无法知道窗子是否合适。短时傅里叶的缺点就就是无法随着动态调整。1.2小波母函数为了解决动态分辨率的问题，引入了小波母函数，小波母函数不是一个特定的函数，是一种函数的集合，满足了一定条件的函数均可以作为小波母函数。小波母函数需要满足的有几个条件：条件一，紧支撑性：，即仅在一小部分定义域里不为0，剩下部分均为0。条件二，波动性：即在定义域内积分为0，可以证明母函数是一个波。条件三，容许条件：，这个条件便使变换可逆。条件四，正交性：这也是为了使变换可逆。图3-20上图是一个小波母函数的例图，可以从图中直观地看到小波母函数是满足前两个条件的。小波母函数既然是一个波，说明也是具有频率的，将小波母函数与采集到的信号相乘并且积分可以筛选出信号在小波母函数在非0部分相近的频率成分。不同于傅里叶变换的是，小波变换的基函数并不是具有一个特定的频率，而是有一个频率范围，去筛选一个范围内的频率成分，类似于一个带通滤波器。小波变换的公式：（3-10）从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率，小波变换有两个变量：尺度和平移量。尺度控制小波函数的伸缩，平移量控制小波函数的平移。尺度就对应于频率（反比），平移量

τ就对应于时间。下图是我们对图3-20进行一个放缩。图3-21可以通过对小波函数进行放缩来解释它为什么拥有动态分辨率，如上图，中间的图，受到了挤压，尺度较小，频率就相应提高，右侧的图被拉伸，尺度较大，频率相应减小，这不正是所需要的“低频，宽窗，差的时间分辨率，好的频域分辨率；高频，窄窗，好的时间分辨率，差的频域分辨率”。有很多种类小波母函数，比如Haar小波，db系列小波，sym系列小波，coif系列小波等等，如何使用这些小波要看具体情况，各有不同。1.3连续小波变换连续小波变换公式为：（3-11）接下来我们对一个信号进行连续小波变换来解释这个公式，下图蓝色部分为小波函数，黄色部分为信号。

图3-22如上图，选择较小的对小波母函数进行缩放，此时小波函数频率较高，窗子较窄，用来筛选高频部分，小波函数在时间轴上平移，每一次平移就相乘再积分，在该母函数下，时间分辨率较好，频率分辨率较差。图3-23如上图，将增大，此时小波函数频率降低，窗子变宽，用来筛选中频部分。小波函数在时间轴上平移，每一次平移就相乘再积分，时间分辨率变差，频率分辨率变好。图3-24如上图，将进一步增大，此时小波函数频率进一步降低，窗子更宽，用来筛选低频部分，此时窗子很宽，时间分辨率很差，频率分辨率很好。这样就可以很好的解释连续小波变换是如何完成我们所需要的动态分辨率，通过改变小波母函数的尺度来改变窗子大小。1.4离散小波变换尽管已经能够在电脑上计算离散形式的连续小波变换，但它还不是真正意义上的离散变换。因为小波级数只是连续小波变换的采样版，就信号重构而言，由它提供的信息是高度冗余的，而这种冗余性又需要大量的计算资源。离散小波变换对于信号的分析和重构来说可以提供充足的信息，并且计算时间极大地减少了。与连续小波变换相比，离散小波变换要更容易实现。离散小波变换称为DWT，DWT有很多种实现方式，这里讲的主要是Mallat算法来实现对小波的离散变换，之前在连续小波变换时我们是通过控制窗长，也就是控制时间分辨率来达到动态分辨率。小波母函数本质上是一个带通滤波器，可以通过小波母函数构造一个高通滤波器和一个低通滤波器。比如一个信号中最高频率为，高通滤波器就是筛选出（）的部分，低通滤波器就是筛选出（）的部分，如下图：图3-25这个过程可以称为一次半子带滤波。这里还要提出一个下采样的概念，N倍下采样的过程就是将采样点进行N倍稀释，下图是一个2倍下采样的例子：图3-26离散小波分解的过程可以简单描述为一层一层地进行小波分解，一层小波分解就是进行一次半子带滤波和一次2倍下采样。假设有原采样信号N个点，信号最高频率为，经过一次高通滤波后，得到了的部分，再经过一次2倍下采样就变成了个点，我们将这个点称为小波分解的高频系数。经过一次低通滤波后，我们得到的是部分，同样经过一次下采样会得到小波分解的低频系数，也就是说经过一次小波分解后，总长度还是N。当经过第一次小波分解后，我们可以得到的第一层小波分解的高频系数和的第一层小波分解的低频系数。第二层小波分解就是保持第一层小波分解高频系数不变，把，个点的低频系数当做信号，再进行一次小波分解，就可以得到个点的第二层高频系数和个点的第二层低频小波分解系数。当经过第二层小波分解，所有的加起来还是N个点，长度还是不变的。依次类推，当在不断地小波分解下，直到层小波分解时，低频系数和高频系数都只剩下一个点了，下图可以很清楚地演示出小波分解的过程。图3-27是指采样信号的