第28章 圆（单元测试·拔尖卷）

第28章圆（单元测试·拔尖卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（21·22下·蚌埠·一模）如图，已知⊙中，，，，过点A作DF的垂线AE，垂足为点E，那么线段AE的长度为（

）A． B． C． D．2．（23·24上·全国·专题练习）如图，是半⊙的直径，点是弧的中点，为弧的中点，连接，于点．则（

）A．3 B． C． D．3．（21·22下·武汉·自主招生）如图，为的直径，D是半圆中点，弦交于点E．若，，则的半径为（）A．2 B．2 C．2 D．24．（19·20下·福州·开学考试）如图，的半径为4，点A，B在上，点P在内，，，如果，那么的长为（）

A． B．3 C． D．5．（22·23下·武汉·模拟预测）如图，为直径，点都在半圆O上，设，，，则与x之间的函数关系为（

）．

A． B． C． D．6．（22·23下·武汉·模拟预测）如图，内接于，高，交于，半径为，，，则的长为（

）

A． B． C． D．7．（23·24上·十堰·期中）如图，的顶点均在上，且，，为弦的中点，弦经过点，且．若的半径为2，则弦的长是（

）

A． B． C． D．8．（21·22下·武汉·阶段练习）如图，是的直径，是弦，沿对折劣弧，交于点D，E、F分别是和的中点，令为所在圆的圆心，若，，则的长为（

）A． B． C． D．9．（22·23下·武汉·自主招生）如图，C是半圆O上一点，是半圆O的直径，，D是垂足，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）

A． B． C． D．10．（22·23下·惠州·二模）如图，在△ABC中，，．点P在以为直径的半圆上运动，M为的三等分点（靠近点P），当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为（

）

A． B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（17·18·海淀·一模）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC．如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝°．12．（21·22下·株洲·自主招生）在中，以边为直径作半圆交边、于点、，，，则为．13．（20·21下·随州·中考真题）如图，在中，，为的中点，平分交于点，，分别与，交于点，，连接，，则的值为；若，则的值为．14．（23·24上·江苏·周测）如图，是的直径，点A在上，，垂足为D，，、的延长线交于点G，的延长线交于点F，若，，则．

15．（23·24上·温州·阶段练习）如图，A、B、C为上的点，，连接，交于点D，若，，则的长为．

16．（22·23·信阳·三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上，点均在所画的弧上，若，则的长为．

17．（22·23上·沙坪坝·期中）如图，矩形中，以D为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接．，，则图中阴影部分的面积．（结果不取近似值）

18．（22·23下·泰州·阶段练习）如图，为等边的外接圆，的半径为，点D在劣弧上，连接，与交于点E，．四边形的面积等于．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（23·24上·哈尔滨·期中）如图，四边形内接于，交于点E，，．

（1）求证：；（2）若，，求的长．20．（8分）（21·22下·宣城·自主招生）如图，中，，在边上，延长与的外接圆分别交于两点．

（1）求证：D，E，Q，P四点共圆；（2）若，，，求弦的长度．21．（10分）（21·22下·广州·阶段练习）如图，四边形内接于，对角线是的直径，过点C作的垂线交的延长线于点E，连接交于点P．

（1）求的度数；（2）若，求的值；（3）若，，求的长．22．（10分）（22·23上·无锡·期中）如图1，在平面直角坐标系中中，点，以为半径在轴的上方作半圆，交正半轴于点，点是该半圆周上一动点，连接、，并延长至点，使.

（1）连接，直接写出的最大值为________；（2）如图2，过点作轴的垂线，分别交轴、直线于点、，点为垂足.①若点的横坐标为，求线段的长；②当点在运动过程中，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.23．（10分）（23·24上·长沙·期中）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．

（1）如图1，，是⊙的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形；（2）如图2，弦与弦交于点，，．①求证：，是⊙的等垂弦；②连接，若，，求的长度．24．（12分）（22·23上·南京·期末）如图1，是的弦，，P是优弧上的一个动点（不与点A和点B重合），组成了一个新图形（记为“图形”），设点P到直线的距离为x，图形的面积为y．（1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）记扇形的面积为，当时．①在图2中，作出一个满足条件的点P；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）②在第①题所作图中，连接，再画一条线，将图形分成面积相等的两部分．（画图工具不限，写出必要的文字说明．）

参考答案：1．B【分析】过点C作于H，证明，有，求出，的值，的值，证明∽，有，求出即可．解：如图，过点C作于H，∵，，，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得，，∴，，∴，∴，∵，，∴∽，∴，即解得，故选B．【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握基本相似图形和相似三角形的判定与性质定理．2．C【分析】连接，，，在上取一点，使得，连接．证明，，可得结论．解：如图，连接，、．

∵是直径，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵∴．∵，∴．∴．∴．在上取一点，使得，连接．设，则．∵，∴．∴．∴．∴．故选：C【点拨】本题考查圆圆周角定理及推论、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟知上述的定理或推论是解题的基础，根据题目特征，在上取点，构造出两个特殊三角形和是解题的关键．3．B【分析】连接、、，先由D是半圆中点证明，设，，，因为，，所以由勾股定理得，再证明，得，则，整理得，于是可列方程，解方程求出符合题意的r的值即可．解：如图，连接、、，∵D是半圆中点，∴，∴，设，，，∵，，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，整理得，∴，解得或（不符合题意，舍去），∴的半径为，故选：B．【点拨】此题重点考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程的知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．4．D【分析】如图，连接，作交的延长线于，作交的延长线于．则四边形是矩形，推出、、、四点共圆，根据圆周角定理得到，根据三角函数的定义设，，根据勾股定理得到（负根已经舍弃），根据相似三角形的性质即可得到结论．解：如图，连接，作交的延长线于，作交的延长线于．

则四边形是矩形，，、、、四点共圆，，，，，设，，在中，，解得（负根已经舍弃），，，，，，，，，，，，．故选：D．【点拨】本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题．5．A【分析】先构造，再求出，即可得到，即可求出，在中，求出，再在中，求出，即可得，即可得到答案．解：如图，延长，作，交延长线于点M，连接，连接，

，，，在中，在中，，，，故A正确．故选：A．【点拨】本题主要考查了圆的知识与勾股定理、一次函数的结合，通过圆的知识与勾股定理得到线段之间的关系是解答此题的关键．6．B【分析】连接，并延长交于点，连接，证明四边形是平行四边形，进而得出，解，即可求解．解：如图所示，连接，并延长交于点，连接，

∴是直径，∴∵，∴∴，∵是，边上的高，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，在中，．故选：B．【点拨】本题考查了圆周角定理的推论，解直角三角形，平行四边形的性质与判定，证明四边形是平行四边形，是解题的关键．7．C【分析】连接，，，，作于点，由圆心角、弧、弦关系可得，由等腰三角形三线合一的性质可知经过点，垂直平分，在中利用等边三角形的判定和性质求得，由平行线的性质求得是含30°角的直角三角形，然后求得，在中由勾股定理求得后再由垂径定理可得；解：如下图，连接，，，，作于点，

∵，∴，∴，由可知是等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质可知，过边的中点，∴经过点，∴垂直平分，∵也是等腰三角形，∴由等腰三角形三线合一的性质可知，∴是等边三角形，∵，∴由等腰三角形三线合一的性质可知，∵，∴，∴中，∴，∴，中由勾股定理可得，由垂径定理可知，∴，故选：C．【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦关系，勾股定理，垂径定理等知识；综合性较强，正确作出辅助线是解题关键．8．A【分析】连接，交于点，由垂径定理和对称的性质得出，进而得到，证出四边形是平行四边形，得出，求出，在中，由勾股定理得出，再利用勾股定理求出，即可得出答案．解：连接，交于点，如图所示：∵点E、F分别是和的中点，∴∴，∴四边形是平行四边形，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵折叠，∴，∴，在中，，∴，∴；故选：A．【点拨】本题主要考查勾股定理及平行四边形的判定及性质，掌握圆的有关性质，平行四边形的性质，勾股定理的内容是解题的关键．9．A【分析】连接，证可得，再由即可求解．解：连接，∵为圆O的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，则故选：A．

【点拨】本题主要考查求不规则阴影部分面积、相似三角形的证明及性质，正确作出辅助线是解题的关键．10．B【分析】如图所示，在上取一点E使得，在上取一点F使得，连接，取中点O，连接，证明，得到，同理可证，即可得到，则点M在以O为圆心，以的长为半径的圆弧上运动，根据三线合一定理得到，，求出，又当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M从点E沿半圆运动到点F，可得点M运动的路径长为．解：如图所示，在上取一点E使得，在BC上取一点F使得，连接，取中点O，连接，∵点P在以为直径的半圆上运动，∴，∵M为的三等分点（靠近点P），∴，∴，又∵，∴，∴，同理可证，∴，∴点M在以O为圆心，以的长为半径的圆弧上运动，∵，∴，∴，，∴，∵当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M从点E沿半圆运动到点F，∴点M运动的路径长为，故选B．

【点拨】本题主要考查了动点的运动轨迹长度，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形等等，正确确定点M的运动轨迹是解题的关键．11．60°．【分析】连接OA、OC、OE，由已知条件，根据阿基米德折弦定理，可得到点E为弧ABC的中点，即,进而推得∠AOE＝∠COE，已知∠ABC＝60°，则∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，可知∠AOE＝∠COE＝120°，故∠CAE＝∠COE＝60°.解：如图2，连接OA、OC、OE，∵AB＝8，BC＝6，BD＝1，∴AD＝7，BD+BC＝7，∴AD＝BD+BC，而ED⊥AB，∴点E为弧ABC的中点，即，∴∠AOE＝∠COE，∵∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，∴∠AOE＝∠COE＝120°，∴∠CAE＝∠COE＝60°．故答案为60°．【点拨】本题是新定义型题，考查了圆周角定理及推论，解本题的关键是掌握题中给出的关于阿基米德折弦定理的内容并进行应用.12．/0.6【分析】连接，，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据在同圆和等圆中，等弦所对的弧相等，等弧所对的圆周角相等可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，，推得，根据等边对等角可得，结合题意求得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求解．解：连接，，如图：∵为直径，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴又∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了直径所对的圆周角是直角，在同圆和等圆中，等弦所对的弧相等，等弧所对的圆周角相等，全等三角形的判定和性质，等边对等角，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．13．【分析】（1）根据条件，证明，从而推断，进一步通过角度等量，证明，代入推断即可.（2）通过，可知四点共圆，通过角度转化，证明，代入推断即可.解：（1）∵，为的中点∴又∵平分∴又∵∴∴∴∴在与中,∴（2∵∴四点共圆，如下图：∵∴又∵∴∵∴∴∴∴即∵∴∵∴∵∴∴故答案为：【点拨】本题考查三角形的相似，三角形的全等以及圆的相关知识点，根据图形找见相关的等量关系是解题的关键．14．【分析】利用垂直以及圆周角定理证明，进而可证明，则有，再根据，，，可得，即有，进而可得，在，利用勾股定理可得，即有，再在，利用勾股定理即可作答．解：∵为直径，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，，∴，∴（负值舍去），∴，，∴，，故答案为：．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理以及等角对等边等知识，证明，是解答本题的关键．15．【分析】过点作交于点，设，根据圆周角定理可得，根据平行线的性质可得，根据三角形的外角性质可得，根据等边对等角可得，，根据三角形的内角和定理即可求得，，根据直角三角形两个锐角互余可求得，根据等角对等边可得，根据勾股定理即可求得，根据垂径定理可得，即可求解．解：过点作交于点，如图：

设，∵，∴，∵，∴，则，∵，∴，∵，∴，∵，即，解得：，∴，∵，∴，，∴，即，∴，在中，，即，解得：，∵，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了圆周角定理，平行线的性质可，三角形的外角性质，等边对等角，三角形的内角和定理，直角三角形两个锐角互余，等角对等边，勾股定理，垂径定理，熟练掌握圆和三角形的相关知识是解题的关键．16．2π【分析】先证明是等腰直角三角形，从而得到，，进而得到是的直径，半径，由三角形内角和定理可得，从而得到，再根据弧长公式进行计算即可．解：如图，取的中点，连接，，，

，小正方形的边长为1，，，由勾股定理可得：，，是等腰直角三角形，，，是的直径，半径，，，，，，的长为，故答案为：．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、求弧长，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键．17．【分析】过点E作于点F，根据矩形四个角都是直角，推出四边形是矩形，得到，根据，得到，，推出，推出．解：过点E作于点F，则，∵矩形中，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，，∴，∴．故答案为：．

【点拨】此题主要考查了矩形的边角性质，含的直角三角形的边的性质，扇形的面积计算公式，梯形面积计算公式，熟练掌握把不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键．18．/【分析】连接，过点作于点，证明，由相似三角形的性质得出，证出，则，证明，由相似三角形的性质得出，求出和的长，将绕点顺时针旋转，得到，则，证出是等边三角形，过点作于，由等边三角形的性质可得出答案．解：连接，过点作于点，

，，，，，，，，为等边三角形，，，，，，，，，，，，，，，（负值舍去），，，将绕点顺时针旋转，得到，则，，，四边形是圆内接四边形，，，点，点，点三点共线，，，是等边三角形，过点作于，四边形的面积．故答案为：．【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，掌握圆内接四边形的性质、等边三角形的性质是解题的关键．19．（1）见分析；（2）【分析】（1）设，则，由等腰三角形的性质求得，再由，从而得出，则，即可得证结论；（2）由，得，又因为，所以，再证明，得，从而求得，然后在中，由勾股定理，得，求出长，从面是求出长．解：（1）证明：∵∴设，则，∵∴∴∵∴，；（2）解：由（1），∴，∴，∵∴∴∵，∴∴，∵∴∴在中，由勾股定理，得∴解得：或（不符合题意，舍去），∴．【点拨】本题主要考查圆的综合题，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识是解题的关键．20．（1）见分析；（2）6【分析】（1）连接，根据同弧所对圆周角相等可得，，由结合等腰三角形性质可证，最后得证即可；（2）先证明，根据相似三角形的性质求得，再证明，最后根据相似三角形的性质即可求解．解：（1）证明：如图，连接，，，，，，，，，，，，D，E，Q，P四点共圆；（2）解：，，，由（1）知，，，，即，，由（1）可知，，，，即，解得．【点拨】本题考查同弧所对圆周角相等，四点共圆，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相关定理并理解且能综合运用是关键．21．（1）；（2）2；（3）4【分析】（1）由直径所对的圆周角为90度可得，进而可得；（2）设，则．先证，推出，求出，根据勾股定理求出，则；（3）连接，作于点G，由垂径定理得，设，则，，代入，可得，再证，可得，最后根据即可得出答案．（1）解：对角线是的直径，，；（2）解：，设，则．，，，又，，，即，，解得或（舍），，，，，，；（3）解：如图，连接，作于点G，

由垂径定理得，设，则，，，，整理得，，，，，，，．【点拨】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，正切函数的应用，等腰三角形的判定等知识点，能够综合应用上述知识点并正确作出辅助线是解题的关键．22．（1）；（2）①；②存在，或或．【分析】（1）连接，求出，再由，点是该半圆周上一动点，得出当点与点重合时，，此时取得最大值，即可得出结论；（2）①连接，过点作轴于点，则，得，再求出，得，，，然后由圆周角定理得，则，，进而证，即可解决问题；②分两种情况，1）当点在、之间时；2）当点在点的左侧时；由相似三角形的性质分别求出的长，即可解决问题．（1）解：如图1，连接，

点，，以为半径在轴的上方作半圆，交轴正半轴于点，，，，点是该半圆周上一动点，当点与点重合时，，如图，

此时取得最大值，故答案为：；（2）如图，连接，过点作轴于点，

轴，，，，点的横坐标为，，，，，，，是半圆的直径，，，，，在中，由勾股定理得：，，，，，，，，即，解得：，即线段的长为；②存在以点、、为顶点的三角形与相似，理由如下：当的度数为时，点恰好与原点重合，不符合题意；分两种情况：①如图，连接，的度数时，点在、之间，设，

，当时，，，，，是斜边的中线，，，，，，，，即，解得：，，，点的坐标为；②的度数时，点在点的左侧，如图，若，

则，，，，，，，，，点的坐标为；如图，若，

则，，，，，，，，，，，解得：，点的坐标为；综上所述，存在以点、、为顶点的三角形与相似，点的坐标为或或．【点拨】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、圆的性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形性质、勾股定理、平行线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及分类讨论等