高考数学一轮复习《重难点题型与知识梳理•高分突破》专题02 常用逻辑用语（十四大题型+模拟精练）（含答案或解析）

专题02常用逻辑用语（十四大题型+模拟精练）目录：01命题及其关系02充分条件与必要条件03全称量词与存在量词04集合与充分条件、必要条件05复数与充分条件、必要条件06函数与充分条件、必要条件07三角函数与充分条件、必要条件08平面向量与充分条件、必要条件09统计、概率与充分条件、必要条件10立体几何与充分条件、必要条件11平面解析几何与充分条件、必要条件12数列与充分条件、必要条件13导数与充分条件、必要条件14高考新考法—新定义充分条件、必要条件综合01命题及其关系1．（2022高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是（）①空集是任何集合的真子集；②请起立；③的绝对值为1；④你是高一的学生吗?A．0 B．1 C．2 D．32．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（

）A．p为真，q为假 B．p为假，q为真C．p为真，q为真 D．p为假，q为假3．（22-23高三上·宁夏·阶段练习）已知命题：对任意，总有；：若，则.则下列命题为真命题的是（

）A． B． C． D．02充分条件与必要条件4．（2024高三·全国·专题练习）“为整数”是“为整数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2024高三·全国·专题练习）对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a//b”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（2024·江苏南通·模拟预测）在中，已知，，则“”是“”成立的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要7．（23-24高三下·河南周口·开学考试）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．8．（23-24高一上·重庆渝北·阶段练习）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．03全称量词与存在量词9．（2024高三·全国·专题练习）命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，10．（2024高三·全国·专题练习）下列正确命题的个数为（

）①，；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．411．（2024·四川成都·模拟预测）命题的否定是（

）A．B．C．D．12．（2024高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．13．（23-24高三上·山东潍坊·期中）若“，”为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．04集合与充分条件、必要条件14．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上.已知集合，，存在实数使得“”是“”的条件.05复数与充分条件、必要条件15．（2024·全国·模拟预测）已知复数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件06函数与充分条件、必要条件16．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）若是不等式成立的一个必要不充分条件，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．17．（2024·湖南·一模）已知，且，则是的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件07三角函数与充分条件、必要条件18．（2024·全国·模拟预测）“函数的图象关于中心对称”是“”的条件．19．（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）设，条件，条件，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件08平面向量与充分条件、必要条件20．（2024·全国·模拟预测）已知向量，，则“”是“与共线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件21．（2024·四川成都·三模）在中，“是钝角”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件09统计、概率与充分条件、必要条件22．（2024·河北·二模）已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10立体几何与充分条件、必要条件23．（2024·广西贺州·一模）已知m，n为不同的直线，为不同的平面，若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11平面解析几何与充分条件、必要条件24．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件25．（2024·四川成都·三模）已知圆：，直线：，则“”是“圆上恰存在三个点到直线的距离等于”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要12数列与充分条件、必要条件26．（2024·北京东城·一模）设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件27．（2024·青海·模拟预测）记数列的前n项积为，设甲：为等比数列，乙：为等比数列，则（

）A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件28．（2024·江苏扬州·模拟预测）设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件13导数与充分条件、必要条件29．（23-24高三下·贵州·阶段练习）已知命题，命题：函数有极小值点2，则是的条件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）.14高考新考法—新定义充分条件、必要条件综合30．（2024·广东·模拟预测）设X，Y为任意集合，映射．定义：对任意，若，则，此时的为单射．(1)试在上给出一个非单射的映射；(2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则；(3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有．31．（2024·广东·模拟预测）已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.(1)试判断集合是否具有性质，并说明理由；(2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”；(3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”.一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知命题，则为（

）A． B．C． D．2．（2024·浙江宁波·二模）已知平面，则“”是“且”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2024·陕西咸阳·三模）已知，，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2024·江西南昌·二模）已知集合，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2024·江苏南通·模拟预测）若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为（

）A． B． C． D．6．（2024·陕西西安·模拟预测）设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（

）．A． B． C． D．7．（2024·四川成都·三模）已知圆，直线，则“”是“圆上任取一点，使的概率小于等于”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要8．（2024·四川·模拟预测）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2024·云南楚雄·模拟预测）下列命题为真命题的是（

）A．， B．，C．， D．，10．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（

）A． B． C． D．11．（2023·辽宁·模拟预测）已知数列满足.给出以下两个命题：命题对任意，都有；命题，使得对成立.（

）A．真 B．假 C．真 D．假三、填空题12．（2024·辽宁大连·一模）“函数是奇函数”的充要条件是实数．13．（2024·辽宁·模拟预测）命题：存在，使得函数在区间内单调，若的否定为真命题，则的取值范围是.14．（2023·新疆喀什·模拟预测）已知p：如果数列是等比数列，那么数列也是等比数列；q：如果数列是等差数列，那么数列也是等差数列.以下哪些为真命题.①p∧q

②p∨q

③

④四、解答题15．（2020·江苏南通·二模）设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且，其中p为常数．（1）求p的值；（2）求证：数列{an}为等比数列；（3）证明：“数列an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群1.5T一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期专题02常用逻辑用语（十四大题型+模拟精练）目录：01命题及其关系02充分条件与必要条件03全称量词与存在量词04集合与充分条件、必要条件05复数与充分条件、必要条件06函数与充分条件、必要条件07三角函数与充分条件、必要条件08平面向量与充分条件、必要条件09统计、概率与充分条件、必要条件10立体几何与充分条件、必要条件11平面解析几何与充分条件、必要条件12数列与充分条件、必要条件13导数与充分条件、必要条件14高考新考法—新定义充分条件、必要条件综合01命题及其关系1．（2022高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是（）①空集是任何集合的真子集；②请起立；③的绝对值为1；④你是高一的学生吗?A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据命题的概念逐一判断.【解析】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题.故选：C.2．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（

）A．p为真，q为假 B．p为假，q为真C．p为真，q为真 D．p为假，q为假【答案】B【分析】根据命题的真假即可判定.【解析】p为假，q为真,故选：B3．（22-23高三上·宁夏·阶段练习）已知命题：对任意，总有；：若，则.则下列命题为真命题的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判断命题，命题的真假，在判断选项的真假【解析】由所以命题为真命题令，则，但是所以命题为假命题故为真故选：B.02充分条件与必要条件4．（2024高三·全国·专题练习）“为整数”是“为整数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由当为整数时，必为整数；当为整数时，不一定为整数；即可选出答案.【解析】当为整数时，必为整数；当为整数时，不一定为整数，例如当时，.所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件.故选：A.5．（2024高三·全国·专题练习）对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a//b”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b.若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．故选A.6．（2024·江苏南通·模拟预测）在中，已知，，则“”是“”成立的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】根据正弦定理以及“大边对大角”即可判断出结果.【解析】由正弦定理得，即，，又因为，或；则“”是“”成立的必要不充分条件.故选：.7．（23-24高三下·河南周口·开学考试）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可.【解析】因为“”是“”的必要不充分条件，所有⫋，所以，即实数的取值范围为．故选：A．8．（23-24高一上·重庆渝北·阶段练习）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将充分条件转化为集合间的关系，根据集合的包含关系即可求解.【解析】由题意可得，所以且，解得，故选：C03全称量词与存在量词9．（2024高三·全国·专题练习）命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据命题“，”的否定是“，”直接得出结果.【解析】命题“，”的否定是“，”．故选：C．10．（2024高三·全国·专题练习）下列正确命题的个数为（

）①，；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用全称量词命题、存在量词命题真假判断方法逐一判断各个命题即得.【解析】，，①正确；当时，，②错误；当时，，③正确；由于，而都是无理数，④错误，所以正确命题的个数为2.故选：B11．（2024·四川成都·模拟预测）命题的否定是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果.【解析】因为命题，则其否定为.故选:B12．（2024高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可得不等式在R上有解，结合计算即可求解.【解析】由题意可知，不等式在R上有解，∴，解得，∴实数m的取值范围是.故选：A.13．（23-24高三上·山东潍坊·期中）若“，”为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】只需的最小值小于即可.【解析】，，只需的最小值小于即可，由于的最小值为，故.故选：D04集合与充分条件、必要条件14．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上.已知集合，，存在实数使得“”是“”的条件.【答案】②，③【分析】分别根据充要条件及充分不必要条件，必要不充分条件计算求解即可.【解析】①“”是“”的充要条件，则，，此方程无解，故不存在实数，则不符合题意；②“”是“”的充分不必要条件时，，，；解得，符合题意；③“”是“”的必要不充分条件时，当，，得；当，需满足，，，解集为；综上所述，实数的取值范围.故答案为：②，③.05复数与充分条件、必要条件15．（2024·全国·模拟预测）已知复数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据复数模长性质和充分不必要条件即可得到答案。【解析】或。因为或，例如取，此时，不满足或，故选：A．06函数与充分条件、必要条件16．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）若是不等式成立的一个必要不充分条件，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出不等式成立的充要条件，根据充分必要条件关系判断.【解析】，因为是成立的必要不充分条件，所以.故选：B.17．（2024·湖南·一模）已知，且，则是的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用不等式的性质、对数运算及充分、必要条件的定义判定即可.【解析】若，符合，但此时，不满足充分性，若，符合，但是，不满足必要性.故选：D07三角函数与充分条件、必要条件18．（2024·全国·模拟预测）“函数的图象关于中心对称”是“”的条件．【答案】充分必要【分析】先由函数的图象关于中心对称求得的值，再解方程求得的值，进而得到二者间的逻辑关系.【解析】函数图象的对称中心为，所以由“函数y=tanx的图象关于(x0,0)中心对称”等价于“”．因为等价于，即．所以“函数的图象关于中心对称”是“”的是充分必要条件．故答案为：充分必要19．（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）设，条件，条件，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据必要不充分条件的定义，结合同角三角函数基本关系，即可求解．【解析】由于，若，则，充分性不成立，若，则，必要性成立，故是的必要不充分条件．故选：B．08平面向量与充分条件、必要条件20．（2024·全国·模拟预测）已知向量，，则“”是“与共线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由，可得与共线，充分性成立；由，可得或，必要性不成立，可得结论.【解析】由，得，，所以与共线，所以“”是“是与共线”的充分条件；由，可得，解得或，“”是“与共线”成立的不必要条件，故“”是“与共线”的充分不必要条件．故选：A．21．（2024·四川成都·三模）在中，“是钝角”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先将等价变形为，两边平方后得，且三点不共线，即可做出判断.【解析】“”等价于“”，所以，从而，在中，显然三点不共线，即两个向量不能方向相反，则是钝角，则必要性成立，若是钝角，则，则，则充分性成立，则“是钝角”是“”的充要条件.故选：C．09统计、概率与充分条件、必要条件22．（2024·河北·二模）已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据正态曲线的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可.【解析】因为，则，，若则，即，故充分性成立，若，则，解得或，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A10立体几何与充分条件、必要条件23．（2024·广西贺州·一模）已知m，n为不同的直线，为不同的平面，若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由给定条件可得，再利用面面垂直的判定、性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.【解析】由，得，若，则或，“”不是“”的充分条件；若，则存在过直线的平面与平面相交，令交线为，则，而，于是，又，因此，即“”是“”的必要条件，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B11平面解析几何与充分条件、必要条件24．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】当时可得，即；当时可得，结合充分、必要条件的定义即可求解.【解析】当时，，即，则，即；当时，，解得.所以“”是“”的充要条件.故选：C25．（2024·四川成都·三模）已知圆：，直线：，则“”是“圆上恰存在三个点到直线的距离等于”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】利用圆上恰存在三个点到直线的距离等于，等价于到直线：的距离为，从而利用点线距离公式与充分必要条件即可得解.【解析】因为圆：的圆心，半径为，当圆上恰存在三个点到直线的距离等于时，则到直线：的距离为，所以，解得，即必要性不成立；当时，由上可知到直线：的距离为，此时圆上恰存在三个点到直线的距离等于，即充分性成立；所以“”是“圆上恰存在三个点到直线的距离等于”的充分不必要条件.故选：A.12数列与充分条件、必要条件26．（2024·北京东城·一模）设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用等差数列通项公式求出，再利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条件的意义判断即得.【解析】由等差数列的公差为，得，则，当时，，而，则，因此，为递增数列；当为递增数列时，则，即有，整理得，不能推出，所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件.故选：A27．（2024·青海·模拟预测）记数列的前n项积为，设甲：为等比数列，乙：为等比数列，则（

）A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用等比数列通项公式、等比数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解.【解析】若为等比数列，设其公比为，则，，于是，，当时，不是常数，此时数列不是等比数列，则甲不是乙的充分条件；若为等比数列，令首项为，公比为，则，，于是当时，，而，当时，不是等比数列，即甲不是乙的必要条件，所以甲是乙的既不充分也不必要条件.故选：D28．（2024·江苏扬州·模拟预测）设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】借助充要条件的定义，分别验证充分性与必要性，结合等比数列、递增数列的定义，借助反证法证明即可得.【解析】若为递增数列，当，且时，有，此时为递增数列，当对任意,，故“为递增数列”不是“存在正整数，当时，”的充分条件；若存在正整数，当时，，此时，，故，，假设存在，使得，则有，则，又且，故，则当时，，与条件矛盾，故不存在，使，即在上恒成立，即，又，，故，即对任意的，，即为递增数列，故“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的必要条件；综上所述，“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的必要不充分条件.故选：B.13导数与充分条件、必要条件29．（23-24高三下·贵州·阶段练习）已知命题，命题：函数有极小值点2，则是的条件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）.【答案】充要【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合由极值点求出参数，再判断即可.【解析】当时，函数，求导得，显然当或时，，当时，，因此2是的极小值点，当函数有极小值点2时，，显然，则或，当时，有，2不是极小值点，不符合题意，当时，当或时，，当时，，因此2是的极小值点，即，所以是的充要条件.故答案为：充要14高考新考法—新定义充分条件、必要条件综合30．（2024·广东·模拟预测）设X，Y为任意集合，映射．定义：对任意，若，则，此时的为单射．(1)试在上给出一个非单射的映射；(2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则；(3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有．【答案】(1)（答案不唯一）(2)证明过程见解析(3)证明过程见解析【分析】（1）结合单射的定义举出符合条件的例子即可；（2）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可；（3）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可.【解析】（1）由题意不妨设，当（非0）互为相反数时，满足题意；（2）一方面若是单射，且，则，即（否则若，有，矛盾），另一方面，若对任意，由可以得到，我们用反证法证明是单射，假设不是单射，即存在，有，又由可以得到，即，这就产生了矛盾，所以是单射，综上所述，命题得证；（3）一方面若是单射，则由可得，同理存在单射，使得，，有，另一方面，若存在映射，使对任意，有，我们用反证法来证明是单射，若不是单射，即存在，有，又若，则由题意，这与产生矛盾，所以此时是单射，综上所述，命题得证.【点睛】关键点点睛：后面两问的关键是结合单射的定义、反证法从两方面来说明，由此即可顺利得证.31．（2024·广东·模拟预测）已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.(1)试判断集合是否具有性质，并说明理由；(2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”；(3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”.【答案】(1)不具有，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断；（2）首先根据性质，确定集合，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”；（3）首先证明充分性，存在三个互不相同的，使得均属于证明满足性质的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的，再证明均属于，即可证明.【解析】（1）集合不具有性质，理由如下：（i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③（ii）从集合中任取三个元素有一个为，另外两个为奇数时，不妨设，，则有，即，不满足条件②，综上所述，可得集合不具有性质.（2）证明：由是偶数，得实数是奇数，当时，由，得，即，不合题意，当时，由，得，即，或（舍），因为是偶数，所以集合，令，解得，显然，所以集合是集合的“期待子集”得证.（3）证明：先证充分性：当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于，不妨设，令，，，则，即满足条件①，因为，所以，即满足条件②，因为，所以为偶数，即满足条件③，所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质.再证必要性：当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数，令，，，则由条件①得，由条件②得，由条件③得均为整数，因为，所以，且均为整数，所以，因为，所以均属于，所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”.综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“性质”和“期待子集”的定义一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知命题，则为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，结合全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【解析】由题意，全称命题的否定是特称命题，可得：命题的否定为：为．故选：C．2．（2024·浙江宁波·二模）已知平面，则“”是“且”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据线面垂直即可求证面面垂直，即可说明充分性，根据面面垂直的性质可得线面垂直，即可利用线面垂直的判断求证必要性.【解析】由于，所以，若，则，，故充分性成立，若，，设，，则存在直线使得，所以，由于，故，同理存在直线使得，所以，由于，故，由于不平行，所以是平面内两条相交直线，所以，故必要性成立，故选：C3．（2024·陕西咸阳·三模）已知，，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】分别求得为真时，，为真时，,可得结论.【解析】为真时，可得，所以，为真时，，又所以，所以，所以为真时，,所以是的即不充分又不必要条件.故选：D.4．（2024·江西南昌·二模）已知集合，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解集合中的不等式，得到这两个集合，由集合的包含关系，判断条件的充分性和必要性.【解析】不等式解得，则；不等式解得，则.，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A5．（2024·江苏南通·模拟预测）若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由命题的否定为真命题，转化为成立，构造函数利用导数判断单调性即可得解.【解析】由题意，命题的否定“，，使得”为真命题，即，设，则，所以为增函数，所以由可知，故选：B6．（2024·陕西西安·模拟预测）设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据特称名为假命题可得，对恒成立，令，利用二次函数的性质列不等式求解即可得结论.【解析】因为命题“，”是假命题，所以，恒成立，则，对恒成立，令，则二次函数的对称轴为直线，要使得，恒成立，则，解得，所以实数a的取值范围是.故选：A.7．（2024·四川成都·三模）已知圆，直线，则“”是“圆上任取一点，使的概率小于等于”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】由事件从圆上任取一点，使的概率小于等于，求的范围，结合充分条件和必要条件的定义判断结论.【解析】直线的斜率为，在轴上的截距为，在轴上的截距为，当时，如图，圆上不存在点，使，所以事件圆上任取一点，使的概率为，当时，如图，圆上有且仅有一个点，使，所以事件圆上任取一点，使的概率为，若，如图，圆上满足条件点为劣弧（含）上的点，设劣弧的长度为，则，所以事件圆上任取一点，使的概率，若，如图，圆上满足条件点为直线上方的半圆上的点，所以事件圆上任取一点，使的概率，若，如图，圆上满足条件点为优弧（含）上的点，设优弧的长度为，则，所以事件圆上任取一点，使的概率，若，如图，圆上所有点满足条件，所以事件圆上任取一点，使的概率，所以“圆上任取一点，使的概率小于等于”等价于“”，所以“”是“圆上任取一点，使的概率小于等于”的充要条件，故选：C.8．（2024·四川·模拟预测）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分离参数，求函数的最小值即可求解.【解析】因为命题“”为真命题，所以．令与在上均为增函数，故为增函数，当时，有最小值，即，故选：A．二、多选题9．（2024·云南楚雄·模拟预测）下列命题为真命题的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】BC【分析】运用全称和特称量词的命题的知识分析即可.【解析】对A，当时，无意义，故A错误；对B，易得，，则，可得，故B正确；对C，当时，成立，故C正确；对D，，可得，故D错误.故选：BC10．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】由成立的充要条件求出对应的参数的范围，结合充分不必要条件的定义即可得解.【解析】当且仅当是的子集，当且仅当，即，对比选项可知使得成立的充分不必要条件有，.故选：CD.11．（2023·辽宁·模拟预测）已知数列满足.给出以下两个命题：命题对任意，都有；命题，使得对成立.（

）A．真 B．假 C．真 D．假【答案】AD【分析】对于命题，利用数学归纳法和作差法可判断，对于命题，利用反证法进行分析判断.【解析】对于命题，先利用数学归纳法证明，当时，，不等式成立，假设当时不等式成立，即，则，所以当时，不等式也成立，综上，，因为，所以，因为，所以，所