专项复习：相似三角形折叠问题（分层练习）（培优练）

相似三角形折叠问题（分层练习）（培优练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023·福建厦门·福建省厦门第六中学校考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，D为的中点，E是上一动点，将四边形沿折叠，使点A落在F处，点O落在G处，当线段的延长线恰好经过的中点H时，点F的坐标为（）A． B． C． D．2．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）如图，矩形中，，把它折叠起来，使顶点A与C重合，则折痕的长度为（

）A．B． C． D．3．（2021·广西来宾·统考中考真题）如图，矩形纸片，，点，分别在，上，把纸片如图沿折叠，点，的对应点分别为，，连接并延长交线段于点，则的值为（

）A． B． C． D．4．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在正方形中，，E是的中点，F是延长线上的点，将沿折叠得到．连接并延长分别交、于O、H两点，若，则的长度为（

）A． B． C． D．5．（2023秋·江苏徐州·九年级统考期末）如图是一张矩形纸片，点是中点，点在上，把该纸片沿折叠，点、的对应点分别为、，与相交于点，的延长线经过点．若，则的值为（

）A． B． C． D．6．（2023·安徽·模拟预测）如图，将矩形ABCD折叠，使点D落在AB上点D′处，折痕为AE；再次折叠，使点C落在ED′上点C′处，连接FC′并延长交AE于点G．若AB=8，AD=5，则FG长为（

）A． B． C． D．47．（2022·海南·九年级专题练习）如图，矩形纸片ABCD，点E在边AD上，连接BE，点F在线段BE上，且，折叠矩形纸片使点C恰好落在点F处，折痕为DG，若，则折痕DG的长为（

）A． B． C． D．8．（2021·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，已知，，，点E为射线上一个动点，连接，将沿折叠，点B落在点处，过点作的垂线，分别交，于M，N两点，当为线段的三等分点时，的长为（

）A． B． C．或 D．或9．（2021春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）如图，在等腰中，，．点和点分别是边和边上两点，连接．将沿折叠，得到，点恰好落在的中点处设与交于点，则（

）A． B． C． D．10．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．根据以上的操作，若，，则线段的长是（

）

A．3 B． C．2 D．1填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是．

12．（2023春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=9、BC=6，∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB交于AB点D，点M是AC一动点（AM＜AC），将△ADM沿DM折叠得到△EDM，点A的对应点为点E，ED与AC交于点F，则CD的长度是；若ME//CD，则AM的长度是；13．（2023春·湖北随州·九年级统考阶段练习）如图，点是矩形边上一点，沿折叠，点恰好落在边上的点处，设，（1）若点恰为边的中点，则．（2）设，则关于的函数表达式是．14．（2021春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，矩形中，，点、分别是和上的点，，，将矩形沿折叠，使得点恰好落在的延长线上的点处，点的对应点为，连接，则点到的距离为．15．（2021春·浙江·九年级期末）如图，在矩形中，将矩形沿着折痕折叠，点落在上，与边交于点G．若点C恰好与的中点重合，且，则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）16．（8分）（2023·山西运城·统考二模）问题情境：在数学活动课上，老师出了这样一道题：在矩形中，，，将矩形绕着点顺时针旋转到矩形的位置，点D恰好在边CG上．问题解决：（1）如图1，连接AC，CF，AF，AF与CG交于点H．①的值为______，______．②求GH的长．如图2，若将四边形沿渞直线CP折叠，得到四边形，使得点B的对应点恰好在EF上，点A的对应点为，点G在上，求AP的长．17．（8分）（2023春·山西晋城·九年级校联考阶段练习）综合与实践问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．矩形纸片中，，．操作探究：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D的对应点落在边上，展开后折痕交于点E．（1）的度数为______．（2）求线段的长度．拓展延伸：如图2，在图1的基础上，继续沿过点A的直线折叠，使点B的对应点落在上，展开后折痕交于点F，连接．请判断的形状并说明理由．18．（10分）（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，矩形中，P为上一点，且，连接，把矩形沿着折叠，点B落到，延长交延长线于Q，已知．（1）若，求．（2）若，求．19．（10分）（2022秋·海南海口·九年级海南华侨中学校考期中）如图1将矩形分别沿过点的直线折叠，使点分别落在上的点E处和上的点H处，折痕为；（1）求证：；（2）若，，①求；②如图2，延长交于M点，求的长．参考答案1．A【分析】连接，根据勾股定理得到，延长交的延长线于，根据三角形中位线定理得到，，根据平行四边形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，求得，过作于，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．解：连接，矩形的顶点的坐标为，，，，延长交的延长线于，为的中点，为的中点，，，，四边形是平行四边形，，，，，，将四边形沿折叠，使点落在处，点落在处，，，，，，，，，，过作于，，，，，，，，．故选：A．【点拨】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．2．A【分析】由折叠的性质可知，，，再由矩形的性质得到，，证明得到，利用勾股定理求出，则，证明，得到，由此代入对应的值求解即可．解：由折叠的性质可知，，，∵四边形是矩形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选A．【点拨】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．3．A【分析】根据折叠性质则可得出是的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质可得∠AEO=∠AGD，∠FHE＝∠D＝90°，根据相似三角形判定推出△EFH∽△GAD，再利用矩形判定及性质证得FH＝AB，即可求得结果．解：如图，过点F作FH⊥AD于点H，∵点，的对应点分别为，，∴，，∴EF是AA＇的垂直平分线．∴∠AOE=90°．∵四边形是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．∴∠OAE＋∠AEO=∠OAE＋∠AGD，∴∠AEO=∠AGD．∵FH⊥AD，∴∠FHE＝∠D＝90°．∴△EFH∽△GAD．∴．∵∠AHF＝∠BAD＝∠B＝90°，∴四边形ABFH是矩形．∴FH＝AB．∴；故选：A．【点拨】本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、矩形及相似三角形的判定与性质是解题的关键．4．A【分析】解：设，则，由翻折可知，，易证根据相似的性质得解得及，勾股定理求出，再证得即可求解．解：设，则，由翻折可知，，，E是的中点，，由题意可知：，，，即，解得，，，又，，，，，即：，解得：，故选：A．【点拨】本题考查了矩形和翻折的性质，相似三角形的证明和性质的应用；解题的关键是巧设未知数，利用勾股定理和相似构造等量关系求解．5．C【分析】过点E作于点H，令，，，则，，易证，得出，进而得出，则，根据勾股定理得出，最后求出的值．解：过点E作于点H，∵四边形为矩形，∴，，∴四边形和四边形为矩形，∴，，∵，∴令，，，则，，∵为的中点，∴，由对折可得：，而，∴，∴，

∴，∴，由题意，得，又为公共角，∴，∴，则，整理，得，解得（舍去），，∴，，，在中，则，解得，（负根舍去），

∴，∴．故选：C．【点拨】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求边长等知识，借助于相似三角形找到的关系式是解决问题的关键．6．C【分析】过点G作GI⊥AB，GH⊥ED'，垂足分别为I、H，由折叠的性质可得C′E=5-4=1，在Rt△EFC′中，设FC′=x，则EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=，再证明△BC′D'∽△C′GH，设C′H=3m，则GH=4m，C′G=5m，则HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，可得到C′G=5m=5，从而解决问题．解：由折叠的性质得，∠AD'E=∠D=90°，AD=AD'，又∵∠DAB=90°，∴四边形ADED'是矩形，∵AD=AD'，∴四边形ADED'是正方形，过点G作GI⊥AB，GH⊥ED'，垂足分别为I、H，∵AD'ED是正方形，∴AD=DE=ED'=AD'=5，BC=BC′=5，∠C=∠BC′F=90°，FC=FC′，∴D'B=EC=8-5=3，在Rt△C′BD'中，C′D'=4，∴C′E=5-4=1，在Rt△EFC′中，设FC′=x，则EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=，∵∠BC′D'+∠GC′H=90°，∠GC′H+∠C′GH=90°，∴∠BC′D'=∠C′GH，又∵∠GHC′=∠BD'C′=90°，∴△BC′D'∽△C′GH，∴C′H：GH：C′G=BD'：C′D'：BC′=3：4：5，设C′H=3m，则GH=4m，C′G=5m，∴HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，解得：m=1，∴C′G=5m=5，∴FG=；故选：C．【点拨】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造三角形相似是解题的关键．7．C【分析】过点作，垂足为点延长线交于点，由矩形的性质得，由平行线分线段成比例定理可得，得出的值，折叠的性质得，，在中，由勾股定理求得DM的值，由相似三角形的判定得出，相似三角形的性质得出的值，在中，由勾股定理求得DG的值．解：如解图，过点作，垂足为点延长线交于点，∵四边形是矩形，，∴四边形AMNB为矩形，∴．由折叠性质可得，．，，，即．故选：C．【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质和判定定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各性质定理是解题的关键．8．D【分析】因为点为线段的三等分点，没有指明线段的占比情况，所以需要分两种情况讨论：①；②．然后由一线三垂直模型可证∽，再根据相似三角形的性质求得的值，最后由即可求得的长．解：当点为线段的三等分点时，需要分两种情况讨论：①如图1，当时，∵∥，，，∴四边形为矩形，∴，，．由折叠的性质可得，．在中，．∵，，∴，∴∽，∴，即，解得，∴．②如图2，当时，∵∥，，，∴四边形为矩形，∴，，．由折叠的性质可得，．在中，．∵，，∴，∴∽，∴，即，解得，∴．综上所述，的长为或．故选：．【点拨】本题考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由为线段的三等分点，分两种情况讨论线段的占比情况，以及利用型相似进行相关计算是解决此题的关键．9．C【解析】根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=4，∠A=∠B=45°，过B′作B′H⊥AB与H，得到AH=B′H=AB′，求得AH=B′H=1，由勾股定理得到BB′=，由折叠的性质得到BF=，DE⊥BB′，根据相似三角形即可得到结论．解：∵在等腰Rt△ABC中∠C=90°，AC=BC=2，∴AB=AC=4，∠A=∠B=45°，如图，过B′作B′H⊥AB与H，∴△AHB′是等腰直角三角形，∴AH=B′H=AB′，∵AB′=，∴AH=B′H=1，∴BH=3，∴BB′=，∵将△BDE沿DE折叠，得到△B′DE，∴BF=，DE⊥BB′，∴∠BHB′=∠BFE=90°，∵∠EBF=∠B′BH，∴△BFE∽△BHB′，∴，∴，∴EF=，故答案为：故选：C．【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．10．C【分析】根据折叠的性质得：，，，设，则，利用勾股定理求出，再证明，得，求解即可．解：如图，过点作，交于点，

在和中，设，则，，即：，解得：，，，，，，，故选：C．【点拨】本题考查折叠问题及矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握折叠的性质并能熟练运用勾股定理方程思想是解题的关键．11．【分析】先根据折叠的性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，，然后将两个等式相加即可得．解：是等边三角形，，∵折叠得到，，，，平分等边的面积，，，又，，，，，，解得或（不符合题意，舍去），故答案为：．【点拨】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．12．52.5【分析】（1）根据已知条件可得∠ACD=∠A=∠BCD，所以AD=CD，然后证明△ABC∽△CBD，进而可以解决问题；（2）由翻折可得AM=EM，∠CAD=∠E，，由ME∥CD，可得∠E=∠EDC，DF//BC，且DF=CF，进而得到ΔADF∽ΔABC，求出DF、CF的长，再由AF：CF=AD：BD求出AF及MF的长，再证明ΔMEF∽ΔCDF，最后求得AM的长．解：（1）∵∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACD=∠CAD，∵∠B=∠B，∴ΔBCD∽ΔBAC，∴BC：AB=BD：BC，即6：9=BD：6，BD=4，∴AD=CD=9-4=5；（2）∵△ADM沿DM折叠得到ΔEDM，∴AM=EM，∠CAD=∠E，∵ME//CD，∴∠E=∠CDE，∵∠BCD=∠ACD=∠CAD，∴∠CDE=∠BCD=∠ACD，∴DF//BC，且DF=CF，∴ΔADF∽ΔABC，∴DF：BC=AD：AB，即DF：6=5：9，解得DF=，∴CF=；∵DF//BC，∴AF：CF=AD：BD，即AF：=5：4，解得：AF=，设AM=ME=x，则MF=-x；∵ME//CD，∴ΔMEF∽ΔCDF，∴ME：CD=MF：CF，即x：5=（-x）：，解得x=2.5；故答案：5；2.5；【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，解决本题的关键是得到CM=DE=5，然后由△ABC∽△CBD解决问题．13．2【分析】（1）根据折叠和矩形的性质，证出AF=AB=CD，由点B恰好落在CD边上的中点F处，得出DF=AF，得∠DAF=30°，再求出∠CFE=∠DAF=30°，即可得答案；（2）先证△AFD∽△FEC，得，由AB=AF=CD，BE=EF，得，，由，，得=x-1，可得答案．解：（1）由折叠，得AF=AB，BE=EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠D=90°，∠C=90°，∵点B恰好落在CD边上的中点F处，∴DF=CD=AB=AF，在Rt△ADF中，由DF=AF，得∠DAF=30°，∵∠DAF+∠AFD=90°，∠AFD+∠CFE=90°，∴∠CFE=∠DAF=30°，所以在Rt△ECF中，，∴，∴x=2；（2）∵△AFE是由△ABE折叠而来的，∴△AFE≌△ABE，∴BE=EF，AB=AF=CD，∵∠EFC+∠AFD=90°，∠EFC+∠FEC=90°，∴∠AFD=∠FEC，∵∠ADC=∠BCD，∴△AFD∽△FEC，∴，∴，∵AB=AF=CD，BE=EF，∴，∴，∵，，∴1+=x，∴=x-1，∴y=（x＞1）．【点拨】本题考查了折叠和矩形的性质，在直角三角形中，30°的角对的边是斜边的一半，相似三角形的判定与性质，解题的关键是证三角形相似．14．【分析】作EG⊥BC于G点，作CH⊥交延长线于H点，设，则，综合折叠与矩形的基本性质，在中运用勾股定理求解出的值，从而得到，，然后判断出，利用相似三角形的性质求出CH的长度即可．解：如图所示，作EG⊥BC于G点，作CH⊥交延长线于H点，则点到的距离即为CH的长度，∵，∴设，则，∴，，由折叠的性质可知，，，∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，又∵EG=AB=CD=，，∴，∴，在中，由勾股定理得：，解得：或（舍去），∴，在中，，∴，∵，，∴，∴，∴，即：，解得：，经检验，是上述方程的解，故答案为：．【点拨】本题考查矩形的折叠问题，理解矩形与翻折变化的基本性质，灵活利用全等三角形，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质是解题关键．15．【分析】首先得出，再根据翻折的性质得出，得出，最后利用勾股定理得出结果．解：∵点C恰好与的中点重合，∴，由翻折的性质得，∵，∴，∴，又∵，∴设，∴，在Rt∆中，CF=，∴AD=BC=BF+FC=，AB==2a，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，折叠的性质及勾股定理，解题的关键是灵活运用这些性质．16．（1）①；；②；（2）7【分析】（1）①由和是旋转的对应线段可得旋转角为，即。在中，利用勾股定理求出的长，又与是对应线段，故，，进而用勾股定理可求出的长；②由可得，从而得到边之间的比例关系，求解即可；（2）由题意可得，，利用勾股定理直接求得，从而得到的长，连接，利用勾股定理求出和的长，设所求，则用含x的式子表示，的长，又，在中，利用勾股定理构造方程，即可求出x的值，即的长．解：（1）①由题意可得旋转后得到，是旋转角，故∵在矩形中，，，∴在中，是由旋转得到，故答案为：；②∵∴，∴，即，解得.（2）如图，连接∵，∴∵∴.在中，在中，设，则∴，，在中，∴解得∴【点拨】本题主要考查旋转的性质，勾股定理解决折叠问题，熟练运用勾股定理是解题的关键．17．（1）；（2）；（3）等腰直角三角形，证明见分析【分析】（1）首先根据折叠的性质得的，然后利用勾股定理求出，得到，然后求解即可；（2）首先根据线段的和差