河北省秦皇岛市第七中学2022-2023学年九上期中数学试卷（解析版）

秦七中2023届文化路校区数学期中考试卷一、单选题（共42分，1-10题，每题3分，11-16题，每题2分）1.已知半径为的扇形的圆心角为，则该扇形的面积为（）A.4 B.6 C.4π D.6π【答案】D【解析】【分析】根据扇形面积公式，将题中已知条件代入求解即可得到结论．【详解】解：半径为的扇形的圆心角为，，故选：D．【点睛】本题考查扇形面积公式，熟练掌握扇形面积是解决问题的关键．2.某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为()A.3 B.－3 C.3.5 D.－0.5【答案】B【解析】【分析】根据平均数定义，求出的平均数与实际平均数的差为(15－105)÷30;【详解】求出的平均数与实际平均数的差为(15－105)÷30＝－3，也就是说求出的平均数比实际平均数小3.故选B【点睛】考核知识点：平均数的运用.3.如图，，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，根据题意，，进而求解．【详解】∵，∴．∵，∴，∵，，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用平行线分线段成比例定理是解本题的关键．4.某口罩加工厂今年一月口罩产值达80万元，第一季度总产值达340万元，问二，三月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数为x，则由题意可得方程为（）A.80（1+x）2＝340 B.80+80（1+x）2＝340C.80（1+x）+80（1+x）2＝340 D.80+80（1+x）+80（1+x）2＝340【答案】D【解析】【分析】直接利用已知表示出二、三月份的产值进而得出等式求出答案．【详解】解：设月平均增长率的百分数为x，则根据题意可得方程为：

80+80（1+x）+80（1+x）2=340．

故选：D．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出各月的产值是解题关键．5.如图，圆规两脚OA，OB张开的角度∠AOB为，，则两脚张开的距离AB为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据圆规两角张开形成等腰三角形，过点作，交于点，解直角三角形即可．【详解】解：过点作，交于点，∵是圆规两脚，∴，∴，∴，∴；故选A．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和解直角三角形．熟练掌握等腰三角形的性质和解直角三角形是解题的关键．6.如图，的半径为5，若，则经过点P的弦长可能是（）A.3 B.6 C.9 D.12【答案】C【解析】【分析】当经过点O、P的弦是直径时，弦最长为10；当弦与OP是垂直时，弦最短为8；判断即可．【详解】当经过点O、P的弦是直径时，弦最长为10；当弦与OP垂直时，根据垂径定理，得半弦长，所以最短弦为8；所以符合题意的弦长为8到10，故选C．【点睛】本题考查了直径是最长的弦，垂径定理，熟练运用分类思想，垂径定理，勾股定理是解题的关键．7.对于反比例函数，下列说法错误的是（）A.它的图像在第一、三象限B.它的函数值随的增大而减小C.点为图像上的任意一点，过点作轴于点．的面积是．D.若点和点在这个函数图像上，则【答案】B【解析】【分析】对反比例函数化简得，所以k=＞0，当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、∵k=＞0，∴它的图象分布在第一、三象限，故本选项正确；B、∵它的图象分布在第一、三象限，∴在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项错误；C、∵k=，根据反比例函数中k的几何意义可得的面积为=，故本选项正确；D、∵它的图象分布在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，∵x1=﹣1＜0，x2=﹣＜0，且x1＞x2，∴，故本选项正确．故选：B．【点睛】题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）中，当k＞0时函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键．8.如图，△ABC∽△ACD，相似比为2，则S△BDC：S△DAC为（）A.4:1 B.3:1 C.2:1 D.1:1【答案】B【解析】【详解】解：∵△ABC∽△ACD，相似比为2，∴S△ABC：S△ACD=4，∴S△BDC：S△ACD=3：1．故选B．9.已知方程的两个根分别为，则下列说法不一定正确的是（）A. B.0C. D.方程的根有可能为0【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系、根的判别式逐项判断即可．【详解】解：∵方程的两个根分别为，∴，∴，故C选项不符合题意；∵＝3＞0，故A选项不符合题意；∵，∴方程的根有可能为0，故B选项符合题意，D选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式等知识点，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．10.小红在班上做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：5，5，6，7，8，9，10．她发现，若去掉其中两个数据后，这组数据的中位数、众数保持不变，则去掉的两个数可能是（）A.5，10 B.5，9 C.6，8 D.7，8【答案】C【解析】【分析】先求出已知数组的中位数和众数，再根据中位数和众数的定义逐项判断即可．【详解】数列5，5，6，7，8，9，10的众数是5，中位数是7，去掉两个数后中位数和众数保持不变，据此逐项判断：A项，去掉5之后，数列的众数不再是5，故A项错误；B项，去掉5之后，数列的众数不再是5，故B项错误；C项，去掉6和8之后，新数列的中位数和众数依旧保持不变，故C项正确；D项，去掉7和8之后，新数列的中位数为6，发生变化，故D项错误，故选：C．【点睛】本题考查了中位数和众数的知识，掌握中位数和众数的定义是解答本题的关键．11.如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如图所示，设与x轴的另一个交点为D，连接CD，根据圆周角定理可将证，通过计算可知．【详解】解：如图所示，设与x轴的另一个交点为D，连接CD，∵，∴是的直径，在中，，，∴，∴，由圆周角定理可知，，∴，故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理，三角函数，勾股定理，能够熟练应用圆周角定理是解决本题的关键．12.已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（）A.m≠1 B.且m≠1C.m≤5且m≠1 D.m为任意实数【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程有两个实数根，二次项系数不为0，判别式大于等于0进行求解即可．【详解】解：由题意得：，解得：，又∵，，∴m≤5且m≠1；故选C．【点睛】本题考查一元二次方程判别式与根的个数之间的关系．熟练掌握判别式与根的个数之间的关系以及一元二次方程二次项系数不为0是解题的关键．13.如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=，则S阴影=（）A.2π B.π C.π D.π【答案】C【解析】【详解】解：如图，假设线段CD．AB交于点E，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=ED=，又∵∠BCD=30°，∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，∴OE=DE•tan30°=×=2，OD=2OE=4，∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC=﹣OE×DE+BE•CE==．故选C．考点：圆周角定理；垂径定理；扇形面积的计算．【点睛】此题考查了垂径定理、扇形面积的计算，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．14.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】【详解】试题解析：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=2，S菱形ABCD=底×高=2×2=4，故选D．考点：1.菱形的性质；2.反比例函数图象上点的坐标特征．15.已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（）A.36cm或64cm B.60cm或80cm C.80cm D.60cm【答案】B【解析】【分析】分两种情况讨论，根据题意画出图形，根据垂径定理求出AM的长，连接OA，由勾股定理求出OM的长，进而可得出结论．【详解】解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm，∴AM＝AB＝×96＝48（cm），OD＝OC＝50（cm），如图1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB，∴OM＝＝＝14（cm），∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），∴AC＝＝＝80（cm）；如图2，同理可得，OM＝14cm，∵OC＝50cm，∴MC＝＝36（cm），在Rt△AMC中，AC＝＝60（cm）；综上所述，AC的长为80cm或60cm，故选：B．【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，根据题意画出图形、利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键．16.如图，在四边形ABCD中，则AB＝（）A.4 B.5 C. D.【答案】D【解析】【分析】延长AD，BC交于点E，则∠E=30°，先在Rt△CDE中，求得CE的长，然后在Rt△ABE中，根据∠E的正切函数求得AB的长【详解】如图，延长AD，BC交于点E，则∠E=30°，在Rt△CDE中，CE=2CD=6（30°锐角所对直角边等于斜边的一半），∴BE=BC+CE=8，在Rt△ABE中，AB=BE·tanE=8×=.故选D.【点睛】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，解此题的关键在于构造一个直角三角形，然后利用锐角三角函数进行解答.二、填空题（共12分，每题3分）17.双曲线，当时，随的增大而减小，则________．【答案】【解析】【分析】根据反比例函数的定义列出方程求解，再根据它的性质决定解的取舍．【详解】根据题意得：，解得：m=﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．18.一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是_____．【答案】x1=﹣1，x2=2【解析】【详解】解：方程可化为：，∴或，∴.故答案为.19.已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于__．【答案】220【解析】【分析】过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积．【详解】解：如图：过点作的垂线，垂足为点．，设，，，可设，，，，，由，得，则故．故答案是：220【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键．20.如图，已知正方形的顶点，在上，顶点，在内，将正方形绕点逆时针旋转，使点落在上．若正方形的边长和的半径均为，则点运动的路径长为________．【答案】【解析】【分析】设圆心为，连接，，，，，证明是等边三角形，得到，再证明是等边三角形，得到，得到，再根据弧长公式计算即可；【详解】如图，设圆心为，连接，，，，，∵，，∴，∴是等边三角形，∴，同理，是等边三角形，，∴旋转角，∵，∴点运动的路径长为：．故答案是．【点睛】本题主要考查了弧长计算和等边三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．三、解答题（共66分）21.教育局为了了解初三男生引体向上的成绩情况，随机抽测了本区部分学校初三男生，并将测试成绩绘成了如下两幅不完整的统计图．请你根据图中的信息，解答下列问题：（1）写出扇形图中，并补全条形图；（2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是个，个；（3）该区初三年级共有男生2400人，如果引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区男生的引体向上成绩能获得满分的有多少名？【答案】（1）25%，补全的条形图见解析；（2）5，5；（3）该区引体向上的男生能获得满分的有1080名．【解析】【分析】（1）根据扇形统计图可以求得a的值，根据扇形统计图和条形统计图可以得到做6个的学生数，从而可以将条形图；（2）根据（1）中补全的条形图可以得到众数和中位数；（3）根据统计图可以估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的人数．【详解】解：（1）由题意可得，a=1-30%-15%-10%-20%=25%，做6个的学生数是60÷30%×25%=50，补全的条形图，如图所示，故答案：25%；（2）由补全的条形图可知，引体向上5个的学生有60人，人数最多，所以众数是5个；共200名同学，排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，故中位数为（5+5）÷2=5(个)，故答案为：5，5；（3）该区引体向上的男生能获得满分的有：2400×（25%+20%）=1080（名），即该区引体向上的男生能获得满分的有1080名．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、众数、中位数、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．22.某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东33°方向，求出这段河的宽度．（结果精确到1米，参考数据：sin33°＝0.54，cos33°≈0.84，tan33°＝0.65，≈1.41）【答案】这段河的宽约为37米．【解析】【分析】延长CA交BE于点D，得，设，得米，米，根据列方程求出x的值即可得．【详解】解：如图，延长CA交BE于点D，则，由题意知，，，设米，则米，米，在中，，，解得，答：这段河的宽约为37米．23.已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0解集．【答案】（1）反比例函数解析式为y=﹣，一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2．【解析】【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．【详解】（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8，

所以反比例函数解析式为，

把B（n，﹣4）代入，

得﹣4n=﹣8

解得n=2，

把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得：，解得：，

所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6；（3）由图可得，不等式kx＋b−＞0的解集为：x＜−4或0＜x＜2．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．24.对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x＝n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝0．（1）代数式x2﹣2不变值是，A＝．（2）说明代数式3x2+1没有不变值；（3）已知代数式x2﹣bx+1，若A＝0，求b的值．【答案】（1）﹣1和2；3；（2）见解析；（3）﹣3或1【解析】【分析】（1）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再做差后可求出A的值；（2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程3x2﹣x+1＝0没有实数根，进而可得出代数式3x2+1没有不变值；（3）由A＝0可得出方程x2﹣（b+1）x+1＝0有两个相等的实数根，进而可得出△＝0，解之即可得出结论．【详解】解：（1）依题意，得：x2﹣2＝x，即x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2，∴A＝2﹣（﹣1）＝3．故答案为﹣1和2；3．（2）依题意，得：3x2+1＝x，∴3x2﹣x+1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4×3×1＝﹣11＜0，∴该方程无解，即代数式3x2+1没有不变值．（3）依题意，得：方程x2﹣bx+1=x即x2﹣（b+1）x+1＝0有两个相等的实数根，∴△＝[﹣（b+1）]2﹣4×1×1＝0，∴b1＝﹣3，b2＝1．答：b的值为﹣3或1．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键．25.如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使，连接BD，ED．（1）求证：；（2）若，，⊙O的直径长为．【答案】（1）见解析（2）10【解析】【分析】（1）根据同弧所对的弦相等可得AD=CD，再由圆内接四边形的性质得到∠A=∠DCE，证明△ABD≌△CED，根据全等三角形的性质，即可证明结论；（2）连接OA，OD，根