2024-2025学年下学期高二数学人教A版期末必刷常考题之离散型随机变量的数字特征

第31页（共31页）2024-2025学年下学期高二数学人教A版（2019）期末必刷常考题之离散型随机变量的数字特征一．选择题（共7小题）1．（2025•四川模拟）若随机变量X的分布列如表，表中数列{pn}是公比为2的等比数列，则E（X）＝（）X123Pp1p2p3A．117 B．137 C．157 2．（2025春•九龙坡区校级期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．每次试验时，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内，在如图所示的小木块中，上面10层为高尔顿板，最下面为球槽．小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过9次与小木块碰撞，最后掉入编号（从左至右）为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的球槽内．若一次试验中小球滚落至事先选定的球槽编号n即得积分an，否则不得分．若aA．5 B．6 C．7 D．83．（2025•江苏校级三模）设正数a，b，随机变量X的分布列，若随机变量X的期望为1，则2aX0abP1412cA．1 B．2 C．4 D．24．（2025春•沙坪坝区校级期中）随机变量X的分布列如表，则方差D（X）＝（）X012Pa133aA．13 B．49 C．59 5．（2025•西安校级模拟）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（）A．E（X）＜E（Y），DX＞DY B．E（X）＝E（Y），D（X）＞D（Y） C．E（X）＜E（Y），DX＜DY D．E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y）6．（2025春•周口期中）2025年2月深圳福田区推出基于DeepSeek开发的AI数智员工，并上线福田区政务大模型2.0版，该模型能进一步驱动政务效能全面跃升．某地也准备推出20名AI数智员工（假定这20名AI数智员工没有区别），分别从事A，B，C三个服务项目，若每个项目至少需要5名AI数智员工，则不同的分配方法种数为（）A．21 B．18 C．15 D．127．（2025春•周口期中）若随机变量X的分布列为P(X=A．12 B．10 C．9 D．8二．多选题（共3小题）（多选）8．（2025春•如皋市期中）某高校强基计划分面试和笔试两部分，500名参加的考生面试成绩Y近似服从正态分布N（15，σ2），P(10≤Y≤20)=12．笔试一共两道题，第1题答对得4分，第2题答对得6分，每道题答错得0分，考生每道题答对与否互不影响．某考生笔试第1A．P(B．500名考生中面试成绩不低于20分约有125人 C．该考生笔试成绩未达6分的概率为13D．该考生笔试成绩的期望为22（多选）9．（2025•凉山州模拟）下列说法正确的有（）A．69，63，65，55，71，73，77，78，83，82这组数据的第80百分位数是80 B．若一组数据x1，x2，⋯，xn的方差为12，则2x1，2x2，⋯，2xn的方差为1C．若变量X～B（4，12），则E（X）＝2D．若变量ξ～N（100，σ2），P（100＜ξ≤113）＝0.3，则P（ξ＜87）＝0.2（多选）10．（2025•吉林模拟）已知集合M＝{1，2，3，⋯，19}，现随机选取集合M中3个元素组成子集（简称3元子集），记该子集中的最小数为k．（）A．k的最小取值为1，最大取值为19 B．集合M中以k为最小数的3元子集共有C19-kC．取到“集合M中以k为最小数的3元子集”的概率为C19-D．E（k）＝5三．填空题（共3小题）11．（2025春•浙江期中）老师从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，背诵篇数没达到2篇的为不合格，不合格者积分扣1分；能背诵篇数2篇的为合格，不扣分也不加分；3篇都能背诵的为优秀，优秀者积分加2分，某位同学只能背诵其中的6篇课文，记该同学的得分为X，则E（X）＝．12．（2025•重庆模拟）甲同学有3本故事书和1本科普书，乙同学有1本故事书和3本科普书，若甲、乙两位同学各取出i（i＝1，2，3）本书进行交换，记交换后甲同学有故事书的本数为X，X的均值为Ei（X），则E1（X）+E3（X）＝．13．（2025•河西区校级模拟）对某实验项目进行测试，测试方法：①共进行3轮测试；②每轮测试2次，若至少合格1次，则本轮通过，否则不通过．已知测试1次合格的概率为23，如果各次测试合格与否互不影响，则在一轮测试中，通过的概率为；在3轮测试中，通过的次数X的期望是四．解答题（共2小题）14．（2025•滨州二模）某学校组织“一带一路”有奖知识竞赛，有A，B两个问题，已知甲同学答对问题A的概率为0.6，回答正确得奖金10元，回答错误得奖金0元；答对问题B的概率为0.5，回答正确得奖金x元，回答错误得奖金0元，甲同学回答A，B两个问题正确与否相互独立，（1）若甲同学对两个问题都作答，求他仅答对其中一个问题的概率；（2）若规定只有在答对第一个问题的情况下，才能回答下一个问题，若甲先回答A问题和先回答B问题所获得的奖金总额的期望相同，求x的值．15．（2025•东昌府区校级模拟）2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一．高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同．已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩∈（80，100]，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图．（1）从高二年级竞赛分数在（70，90]中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）；（2）以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率；（3）若从参与竞赛的学生中随机抽取n（n≥8）人，求n为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大．

2024-2025学年下学期高二数学人教A版（2019）期末必刷常考题之离散型随机变量的数字特征参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案DDDCBAB二．多选题（共3小题）题号8910答案ABDACDBCD一．选择题（共7小题）1．（2025•四川模拟）若随机变量X的分布列如表，表中数列{pn}是公比为2的等比数列，则E（X）＝（）X123Pp1p2p3A．117 B．137 C．157 【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】计算题；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】因为数列{pn}是公比为2的等比数列，又p1+p2+p3＝1，所以p1+2p1+4p1＝1，即p1=17，p2=27【解答】解：由已知可得，pn=p1⋅2n-1，又p1∴p1+2p1+4p1＝1，即p1=17，p∴E(故选：D．【点评】本题考查离散型随机变量的均值（数学期望），属于中档题．2．（2025春•九龙坡区校级期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．每次试验时，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内，在如图所示的小木块中，上面10层为高尔顿板，最下面为球槽．小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以12的概率向左或向右滚下，依次经过9次与小木块碰撞，最后掉入编号（从左至右）为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的球槽内．若一次试验中小球滚落至事先选定的球槽编号n即得积分an，否则不得分．若aA．5 B．6 C．7 D．8【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．【答案】D【分析】根据给定条件，求出小球落入第k号格子的概率，进而求出其数学期望，再求出取得最大值的编号．【解答】解：设选定的格子编号为k（1≤k≤10，k∈N），此时小球碰撞过程中有k﹣1次向右边滚落，落到该格子的概率为C9则数学期望为C9令bk此时bk当k＞7.5时，bk+1bk＜1；当所以当k＝8时，bk取得最大，则每次试验前选定的球槽编号为8，故选项D正确．故选：D．【点评】本题考查离散型随机变量的期望，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．3．（2025•江苏校级三模）设正数a，b，随机变量X的分布列，若随机变量X的期望为1，则2aX0abP1412cA．1 B．2 C．4 D．2【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；运用基本不等式求最值；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】根据离散型随机变量分布列的性质求出c的值，再利用期望公式得到a与b的关系，然后换元，将所求式子进行变形，结合m与n的关系，运用基本不等式求出其最小值．【解答】解：设正数a，b，随机变量X的分布列，若随机变量X的期望为1，根据离散型随机变量分布列的性质：所有概率之和为1，即14+1已知随机变量X的期望为1，根据随机变量的期望公式可得E(化简可得：a2+b4=1，进一步变形为2a设a+1＝m，b+2＝n，则2m+n＝8，将2a2a根据“1”的代换得到18展开式子：18根据基本不等式，有8m所以18(8+8mn+2nm)≥1则2a2a故选：D．【点评】本题考查了分布列的性质、随机变量的期望公式和基本不等式的应用，属于中档题．4．（2025春•沙坪坝区校级期中）随机变量X的分布列如表，则方差D（X）＝（）X012Pa133aA．13 B．49 C．59 【考点】离散型随机变量的方差与标准差．【专题】对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】由题意，根据分布列的性质求出a的值，利用期望和方差公式求解即可．【解答】解：因为a+13+3a所以a=1此时E（X）＝0×16+1×则D（X）＝（0-43）2×16+（1-43）2×故选：C．【点评】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．5．（2025•西安校级模拟）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（）A．E（X）＜E（Y），DX＞DY B．E（X）＝E（Y），D（X）＞D（Y） C．E（X）＜E（Y），DX＜DY D．E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y）【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】根据二项分布求E（X），D（X），根据超几何分布求E（Y），D（Y），即可得结果．【解答】解：盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，则X∼所以E(随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则Y的所有可能取值为0，1，2，则P(所以E(D(所以E（X）＝E（Y），D（X）＞D（Y）．故选：B．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，考查运算求解能力，属于中档题．6．（2025春•周口期中）2025年2月深圳福田区推出基于DeepSeek开发的AI数智员工，并上线福田区政务大模型2.0版，该模型能进一步驱动政务效能全面跃升．某地也准备推出20名AI数智员工（假定这20名AI数智员工没有区别），分别从事A，B，C三个服务项目，若每个项目至少需要5名AI数智员工，则不同的分配方法种数为（）A．21 B．18 C．15 D．12【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；排列组合的综合应用．【专题】计算题；对应思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】A【分析】先每组分5名员工，然后剩余5名分成三组，采用隔板法即可．【解答】解：先每组分5名员工，然后剩余5名分成三组，采用隔板法，五名员工和两个板，共有七个位置，∴不同的分配方法种数为C72故选：A．【点评】本题主要考查组合的应用，考查运算求解能力，属于基础题．7．（2025春•周口期中）若随机变量X的分布列为P(X=A．12 B．10 C．9 D．8【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】根据分布列中概率之和为1，列方程求得a的值．【解答】解：由题意可得：2+1a即10a=1，解得a＝故选：B．【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列的性质，考查运算求解能力，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）8．（2025春•如皋市期中）某高校强基计划分面试和笔试两部分，500名参加的考生面试成绩Y近似服从正态分布N（15，σ2），P(10≤Y≤20)=12．笔试一共两道题，第1题答对得4分，第2题答对得6分，每道题答错得0分，考生每道题答对与否互不影响．某考生笔试第1A．P(B．500名考生中面试成绩不低于20分约有125人 C．该考生笔试成绩未达6分的概率为13D．该考生笔试成绩的期望为22【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】分类讨论；分类法；概率与统计；运算求解．【答案】ABD【分析】利用正态分布的对称性判断A，B选项；考生两道题都未答对，或只答对第1题时，笔试成绩未达6分，计算概率判断C选项；由题意X的可能取值为0，4，6，10，分别计算各概率，再求期望判断D选项．【解答】解：对于A，因为考生面试成绩Y近似服从正态分布N（15，σ2），P(10所以P（Y＜10）=12-对于B，P（Y≥20）=1所以500名考生中面试成绩不低于20分约有500×14=125对于C，考生两道题都未答对，或只答对第1题时，笔试成绩未达6分，所以其概率为25×2对于D，由题意，X的可能取值为0，4，6，10，且P（X＝0）=25×23=415，P（X＝6）=25×13=215，所以该考生笔试成绩的期望为0×415+4×25+6故选：ABD．【点评】本题考查正态分布的对称性、离散型随机变量的数学期望，综合性较强，属于中档题．（多选）9．（2025•凉山州模拟）下列说法正确的有（）A．69，63，65，55，71，73，77，78，83，82这组数据的第80百分位数是80 B．若一组数据x1，x2，⋯，xn的方差为12，则2x1，2x2，⋯，2xn的方差为1C．若变量X～B（4，12），则E（X）＝2D．若变量ξ～N（100，σ2），P（100＜ξ≤113）＝0.3，则P（ξ＜87）＝0.2【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；方差；百分位数．【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】ACD【分析】利用百分位数的定义计算判断A；由方差的性质判断B；由二项分布期望公式判断C；由正态分布曲线的对称性判断D．【解答】解：对于A，将数据从小到大排序为55，63，65，69，71，73，77，78，82，83，因为10×80%＝8，所以这组数据的第80百分位数是78+822=80，对于B，若一组数据x1，x2，⋯，xn的方差为12则2x1，2x2，⋯，2xn的方差为22×12=2对于C，若变量X～B（4，12），则E（X）＝4×12=对于D，若变量ξ～N（100，σ2），P（100＜ξ≤113）＝0.3，则由对称性可知，P（87≤ξ＜100）＝0.3，所以P（ξ＜87）＝0.5﹣0.3＝0.2，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查百分位数的定义、方差的性质、二项分布的期望公式、正态分布等知识点，属于基础题．（多选）10．（2025•吉林模拟）已知集合M＝{1，2，3，⋯，19}，现随机选取集合M中3个元素组成子集（简称3元子集），记该子集中的最小数为k．（）A．k的最小取值为1，最大取值为19 B．集合M中以k为最小数的3元子集共有C19-kC．取到“集合M中以k为最小数的3元子集”的概率为C19-D．E（k）＝5【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；子集的个数；古典概型及其概率计算公式．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】BCD【分析】A最小为17；B问题转化为在k+1，k+2，⋯，19中选出2个数即可；C利用古典概型的概率公式可求；D以模型“随机选取集合N＝{1，2，⋯，20}中4个元素组成子集的种类数”证明k=1【解答】解：对于A，由题意可知，k的最小取值为1，最大取值为17，故A错误；对于B，以k为最小元的子集只需在k+1，k+2，⋯，19中选出2个数与k共同组成一个集合，所以有C19-k2个对于C，集合M共有C193个3元子集，由B选项可知集合M中以k为最小数的3元子集共有C所以取到“集合M中以k为最小数的3元子集”的概率为C19-k2对于D，随机选取集合N＝{1，2，⋯，20}中4个元素组成子集共有C20由于N＝{1，⋯，k}∪{k+1}∪{k+2，⋯，20}，k＝1，⋯，17，其中k为集合{1，⋯，k}中的最大数，k+2是集合{k+2，⋯，20}中的最小数，则从{1，⋯，k}中任取1个元素有Ck1种，从{k+2，⋯，20}中任取2个元素有再取k+1，则从集合N中任取4个元素共有Ck则k=1则E(k)=故选：BCD．【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．三．填空题（共3小题）11．（2025春•浙江期中）老师从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，背诵篇数没达到2篇的为不合格，不合格者积分扣1分；能背诵篇数2篇的为合格，不扣分也不加分；3篇都能背诵的为优秀，优秀者积分加2分，某位同学只能背诵其中的6篇课文，记该同学的得分为X，则E（X）＝0．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】分类讨论；分类法；概率与统计；逻辑思维．【答案】0【分析】由题意，X的可能取值为﹣1，0，1，分别求出每种取值对应的概率，可得X的分布列，进而计算E（X）．【解答】解：由题意，X的可能取值为﹣1，0，2，所以P(P(X=0)=则X的分布列为：X﹣102P131216所以E(故答案为：0．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，结合超几何分布等相关知识，属于基础题．12．（2025•重庆模拟）甲同学有3本故事书和1本科普书，乙同学有1本故事书和3本科普书，若甲、乙两位同学各取出i（i＝1，2，3）本书进行交换，记交换后甲同学有故事书的本数为X，X的均值为Ei（X），则E1（X）+E3（X）＝4．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】计算题；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】4．【分析】分别计算交换1本书和3本书时甲同学故事书数量的期望值E1（X）和E3（X），再求和．解题分为两步：先分析交换1本书的情况，再分析交换3本书的情况．【解答】解：当i＝1时，X的取值可能是2，3，4，且P(P(P(则E1当i＝3时，X的取值可能是0，1，2，且P(P(P(则E3故E1（X）+E3（X）＝4．故答案为：4．【点评】本题考查离散型随机变量的均值（数学期望），属于中档题．13．（2025•河西区校级模拟）对某实验项目进行测试，测试方法：①共进行3轮测试；②每轮测试2次，若至少合格1次，则本轮通过，否则不通过．已知测试1次合格的概率为23，如果各次测试合格与否互不影响，则在一轮测试中，通过的概率为89；在3轮测试中，通过的次数X的期望是83【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】89；8【分析】根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，以及二项分布的期望公式，即可求解．【解答】解：由题意可得，一轮测试2次都不合格的概率P1故在一轮测试中，通过的概率为1-1在3轮测试中，通过的次数X的所有可能取值为0，1，2，3，各次测试合格与否互不影响，通过的次数X服从二项分布，即X～B（3，89E（X）＝3×8故答案为：89；8【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，以及二项分布的期望公式，属于基础题．四．解答题（共2小题）14．（2025•滨州二模）某学校组织“一带一路”有奖知识竞赛，有A，B两个问题，已知甲同学答对问题A的概率为0.6，回答正确得奖金10元，回答错误得奖金0元；答对问题B的概率为0.5，回答正确得奖金x元，回答错误得奖金0元，甲同学回答A，B两个问题正确与否相互独立，（1）若甲同学对两个问题都作答，求他仅答对其中一个问题的概率；（2）若规定只有在答对第一个问题的情况下，才能回答下一个问题，若甲先回答A问题和先回答B问题所获得的奖金总额的期望相同，求x的值．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）0.5；（2）15．【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算可得结果；（2）求出甲先回答A问题和先回答B问题所获得的奖金总额的分布列，再由期望值相等解方程求得x＝15．【解答】解：（1）设甲同学答对问题A的概率为P（A），答对问题B的概率为P（B）；易知P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，又回答A，B两个问题正确与否相互独立，所以仅答对其中一个问题的概率为：P＝P（A）[1﹣P（B）]+[1﹣P（A）]P（B）＝0.6×（1﹣0.5）+（1﹣0.6）×0.5＝0.5．（2）设甲先回答A问题所获得的奖金总额为X，则X的所有可能取值为0，10，10+x；易知P（X＝0）＝1﹣0.6＝0.4，P（X＝10）＝0.6×（1﹣0.5）＝0.3，P（X＝10+x）＝1﹣P（X＝0）﹣P（X＝10）＝0.3，则E（X）＝0×0.4+10×0.3+（10+x）×0.3＝6+0.3x；设甲先回答B问题所获得的奖金总额为Y，则Y的所有可能取值为0，x，10+x，所以P（Y＝0）＝1﹣0.5＝0.5，P（Y＝x）＝0.5×（1﹣0.6）＝0.2，P（Y＝10+x）＝1﹣P（Y＝0）﹣P（Y＝x），则E（Y）＝0×0.5+0.2x+（10+x）×0.3＝3+0.5x，因为甲先回答A问题和先回答B问题所获得的奖金总额的期望相同，所以6+0.3x＝3+0.5x，解得：x＝15．【点评】本题考查了相互独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．15．（2025•东昌府区校级模拟）2024年2月27日，电动垂直起降航空器eVTOL“盛世龙”成功飞越深圳至珠海的航线，实现了“飞行汽车”的首飞，打开了未来城际通勤的巨大想象空间，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在全市高一．高二年级举办了一次科技知识竞赛，两个年级的学生人数基本相同．已知高一年级学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩∈（80，100]，单位：分），现从高二年级随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图．（1）从高二年级竞赛分数在（70，90]中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记成绩优秀的学生人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）；（2）以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，求这名学生竞赛成绩优秀的概率；（3）若从参与竞赛的学生中随机抽取n（n≥8）人，求n为何值时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大．【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）分布列见解析，E（X）＝1；（2）14（3）n＝31或n＝32或33时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大．【分析】（1）结合频率分布直方图和分层抽样，可得在（70，80]中抽4人，在（80，90]中抽2人，进而可得随机变量的取值，列出分布列，求得期望；（2）由全概率公式，即可求解；（3）由题设得Y∼【解答】解：（1）由直方图可知，分数在（70，80]中的学生有32人，分数在（80，90]中的学生有16人，从高二年级竞赛分数在（70，90]中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，∴根据分层抽样，在（70，80]中抽6×3232+16=4人，在（80，90]中抽6则成绩优秀的学生人数X可取0，1，2，∴P(P(P(∴随机变量X的分布列为：X012p153515则期望E(（2）以样本的频率估计概率，从参与竞赛的学生中随机抽取1人，记事件A：成绩优秀的学生，事件B：高一年级的学生，由已知条件可知，P(所以P(（3）记随机抽取n人中竞赛成绩优秀的人数为Y，由题意可知，Y∼∴P(Y=8)=则an令3(n+1)4(n-7)＞1，则n＜31，所以n≤30令3(n+1)4(n-7)＜1，则n＞31，所以n≥32令3(n+1)4(n-7)=1，则n＝31∴当n＝31或n＝32或33时，an最大，即n＝31或n＝32或33时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

考点卡片1．子集的个数【知识点的认识】1、子集真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集2、一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．【解题方法点拨】公式计算：若一个集合有n个元素，则它的子集个数为2^n．理解幂集：幂集是一个集合的所有子集组成的集合．【命题方向】已知集合A＝{x|﹣1≤x+1≤6}，当x∈Z时，求A的非空真子集的个数．解：当x∈Z时，A＝{x|﹣2≤x≤5}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，共8个元素，∴A的非空真子集的个数为28﹣2＝254个；2．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2从而得出最小值为2【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则a+1+b解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则a+1当且仅当a＝b=1故答案为：6．3．古典概型及其概率计算公式【知识点的认识】1．定义：如果一个试验具有下列特征：（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．则称这种随机试验的概率模型为古典概型．*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．2．古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）=m【解题方法点拨】1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么．2．解题实现步骤：（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解题方法技巧：（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．4．相互独立事件的概率乘法公式【知识点的认识】﹣对于相互独立事件A和B，P(【解题方法点拨】﹣应用乘法公式计算独立事件的联合概率，确保事件的独立性．【命题方向】﹣重点考察独立事件的概率计算及独立性证明．5．离散型随机变量及其分布列【知识点的认识】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列．（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．6．离散型随机变量的均值（数学期望）【知识点的认识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．7．离散型随机变量的方差与标准差【知识点的认识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…xn…Pp1p2…pn…则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．2、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的EξDξ是随机变量ξ的期望．标准差：Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的标准差，记作．方差的性质：．方差的意义：（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．8．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的认识】1．正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中实数（2）正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为12πσ，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂2．正态分布（1）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ（x）=12πσe（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值12（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．【解题方法点拨】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．【命题方向】题型一：概率密度曲线基础考察典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）=18πA．10与8B．10与2C．8与10D．2与10解析：由18πe-(x-10)答案：B．典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣12P（2≤X≤4）＝0.5-12×0.6826＝题型二：正态曲线的性质典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由12πσ=1φμ，σ（x）=142πe-（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．典例2：设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．答案：A．题型三：服从正态分布的概率计算典例1：设X～N（1，22），试求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）=12[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3=12[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2=12[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ=12×（0.9544＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）=12[1﹣P（﹣3＜X≤5=12[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4=12[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ=12×（1﹣0.9544求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．典例2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝．解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．答案：0.7．题型4：正态分布的应用典例1：2011年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有辆．解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7