数字信号处理实践与应用-MATLAB话数字信号处理（第2版） 课件 案例八 - 离散时间傅里叶变换离散着算

案例八——离散时间傅里叶变换离散着算内容概要案例设置目的相关基础理论情境任务及步骤一般信号DTFT的计算矩形序列形式单位取样响应的频率响应能量和能量谱密度计算思考题总结报告要求案例设置目的通过编制计算任意序列离散时间傅里叶变换的程序，理解离散时间傅里叶变换的定义、性质，建立幅频函数、相频函数、信号能量和能量密度的概念，掌握模拟信号能量和时域离散序列能量的关系，理解幅频响应的线性表示和对数表示的优缺点。相关基础理论1．序列的离散时间傅里叶变换时域离散信号x(n)若满足绝对可和条件，则其离散时间傅里叶变换（DTFT）存在，且有：（8.1）或者将ω的连续的复函数

改写为（8.2）或者（8.3）其中，表示复函数

的模值或幅度，反映了信号的幅频特性；表示复函数

的相位角，为信号的相频特性，它们与复函数

的实部

、虚部

的关系为（8.4）（8.5）若线性时不变（LTI）系统的单位取样响应用h(n)表示，对序列h(n)做DTFT的结果记为

称为系统的幅频响应，

称为系统的相频响应。图6.1采样开关及其数学描述相关基础理论2．序列DTFT的计算因为是以2π为周期的连续函数，因此从一个周期就可以了解到的全貌。而

在一个周期内的值，可以借助数值计算工具通过计算足够多的离散点

k上的值近似得到。当x(n)为有限长序列，即仅在的范围内x(n)才有非零值，其中N1和N2为任意整数。令，此时式（8.1）可改写为（8.6）从式（8.6）可以看出，离散点

k上值的计算转化为

次多项式在

k上计算的值。此时可以调用MATLAB的内置函数polyval实现，或者用矩阵直接计算，即（8.7）

情境任务及步骤一、一般信号DTFT的计算1．信号产生设x(n)=R6(n)，在Figure1中画出x(n)～n的图，n取

10～10，图中表示每个样值大小的线的末端用实心圈，并要求标注横坐标。2．编程计算x(n)的DTFT（1）根据式（8.6）编制程序，计算X(ejω)在

取

5π∶π/100∶5π时的值。建议调用polyval函数。（2）在Figure2中画出幅频特性图和相频特性图，并标注横纵坐标和图题。（3）观察幅频特性图的周期特性、对称特性。MATLAB的支持函数为abs和angle，可以通过Help文件学习相关函数的调用语法。情境任务及步骤3．相频特性看移位（1）将序列x(n)右移5个样点，

取0∶π/100∶2π，重新计算X(ejω)。（2）在Figure3中画幅频特性图和相频特性图。（3）对比Figure2与Figure3中

取0∶π/100∶2π的部分，结合DTFT的性质对序列时域移位前后对应的幅频图的一致性和相频图斜率的变化进行总结。为了使对比效果明显，建议使用axis函数对Figure2限定显示范围。4．双音信号频谱（1）设

1=π/8,2=π/3，x1(n)=cos1n，x2(n)=cos2n，x3(n)=x1(n)+x2(n)，编制程序计算x1(n)、x2(n)和x3(n)的DTFT，结果记为X1(ej)、X2(ej)、

X3(ej)。要求计算信号的频谱时序列的长度至少为x3(n)的10个周期以上。（2）在Figure4中自上而下画图显示三个信号的幅频特性图。（3）从X3(ej)与X1(ej)和X2(ej)的关系，总结DTFT的性质。情境任务及步骤二、矩形序列形式单位取样响应的频率响应设LTI系统的单位取样响应为h(n)=R51(n)。1．手工推导结论以确定比较基准按照DTFT定义推导H(ejω)的表达式，确定幅频响应和相频响应，并大致画出

在

π～π范围内的幅频响应和相频响应图。2．编程实现验证计算效果1）表达式计算对推导得出H(ejω)的表达式，在

取

π∶π/100∶π的点上计算H(ejω)的值，在Figure1中画出幅频响应和相频响应图，并标注横纵坐标和图题，且横坐标对π进行归一化。2）作图根据式（8.6）或（8.7）编制程序，直接由h(n)计算H(ejω)在

取

π∶π/100∶π上的值，在Figure2中画出幅频响应和相频响应图，并做好标注。比较Figure1和Figure2的异同。情境任务及步骤3）对数形式的幅频特性图以上述任一种方法得出的结果为基础，求出H(ejω)的最大值，并记为maxH，之后在Figure3中画出20⁎lg[|H(ejω)|/maxH]随

变化的图。MATLAB的支持函数为max和log，可以通过Help文件学习调用语法。观察Figure3，借助grid、axis等函数或工具栏上的DataCursor估算最大峰值和次大峰值的幅度，并计算出二者的幅度差。情境任务及步骤三、能量和能量谱密度计算1.能量一估计（1）编制程序计算信号x(n)

的时域能量E和频域能量谱密度P(

)。若存在有界常数B，使序列x(n)

满足：(8.8)则序列称为有界信号。有界时域离散序列的能量定义为序列各样点值的平方和，即(8.9)当E<+∞时，称为能量有限信号或能量信号。能量有限的时域离散信号的能量谱密度可以通过下式计算，即(8.10)根据Parseval定理，式（8.9）和式（8.10）存在如下关系：(8.11)这里只计算G(

)

在

取

π∶π/1000∶π时的值。（2）画出G(

)

随

变化的图，横坐标要求对π进行归一化，即显示范围为

1～1。情境任务及步骤2.能量再估计假设h(n)是从一个持续时间为0.05s的单位幅度门函数（矩形函数）形信号ha(t)

是通过均匀采样得到的。（1）模拟信号能量。计算信号ha(t)的能量Ea。Ea可以通过下式计算，即

（8.12）（2）时域离散序列能量。首先根据ha(t)和h(n)计算信号采样频率Fs，结果记为Fs1；再根据式（8.12）和（8.9）计算ha(t)和h(n)的能量E，结果记为Ea1、E1。（3）若假设h(n)是从一个持续时间为0.5s的单位幅度门函数形信号ha(t)通过均匀采样得到，重复模拟信号、时域离散序列ha(t)和h(n)能量的计算，结果记为Ea2、E2，此时信号采样频率记为Fs2。记下两次的采样频率、对应的时域离散序列能量、对应的模拟信号能量，并计算商E1/Ea1、E2/Ea2，将商值与相应的采样率比较后你有什么发现？结论记于总结报告中。思考题（1）本案例中在计算DTFT时，

的取值或一定区间内的取样间隔还是比较随意的，真可以这样任性选取吗？否则该怎样取？待完成频率采样定理后，希望能对这一问题给出完整准确的回答。（2）比较信号能量E、Ea和总采样点数的关系，试总结时域离散序列能量、模拟信号能量和采样点数之间存在什么样的联系？（3）时域离散序列的功率和模拟信号的功率如何定义？它们之间又存在什么关系？（4）结合时域采样定理和案例一中第四步，是分析该如何看信号的频谱？总结报告要求（1）情境任务总结报告中原理部分要简要描述序列DTFT离散化计算的原理、DTFT